Тема Ломоносов

Алгебраические текстовые задачи на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82781

Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (две окружности касаются друг друга попарно в точке $B$ внешним образом и третьей в точках $A$ и $C$ внутренним, причём $AC$ — диаметр третьей окружности). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $∘ 180$ . По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из двух $AB$ длиной $15$ км он проезжает за $7$ минут, любую из дуг $BC$ длиной $25$ км — за $11$ минут, а любую из дуг $AC$ — за $17$ минут. Выехав из точки $A$ , автомобиль через $1$ час $25$ минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?

$PIC$

Источники: Ломоносов - 2024, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке $A$ автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку $C$ , т. е. путем $ABA$ .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( $AC$ или $ABC$ ) добраться до точки $C$ , сделать несколько кругов $CBC$ («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( $CA$ или $CBA$ ) в точку $A$ .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку $A$ .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг $AB$ , $BC$ , $AC$ .

Действительно, выехав из точки $A$ и сделав заданное нечетное число проходов $AB$ , мы окажемся в точке $B$ , после чего, сделав заданное нечетное число проходов $BC$ , мы окажемся в точке $C$ , а после заданного нечетного числа проходов $AC$ — снова в точке $A$ .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа $i$ , $j$ , $k$ , что

7i+11j+17k= 60+ 25= 85

Для $k$ возможны $3$ варианта: $5,3,1.$ Первый случай отбрасываем, так как для него получаем $i= j =0.$

Во втором случае имеем $7i+ 11j = 34$ . Если $j ≥ 3$ , то $i< 1.$ При $j = 1$ число $34− 11⋅1 =23$ не делится на $7$ .

Наконец, при $k= 1$ имеем $7i+ 11j =68$ . Для $j =5,3,1$ получим $7i=13,35,57$ , откуда $j = 3,$ $i= 35:7= 5,$ а пройденный путь равен $15⋅5+ 25⋅3+ 40⋅1= 190(км).$ Здесь $40= 15+ 25$ — длина дуги $AC$ , которую находим геометрически:

AC = πR= π(r1+ r2)=πr1+ πr2 = AB+ BC,

где $R,r1,r2$ — радиусы.

Ответ: 190

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82783

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $2 y = a− bx$ ). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна $24$ , высота туннеля равна $18$ . Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$ , и при этом $∘ ∠ACB = ∠ADB = 90$ . Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим ширину тоннеля за $2l$ , а высоту за $h$ . Из этих параметров однозначно выводятся параметры параболы: $x$ принадлежит отрезку $[−l,l],$ а $y(l)= y(−l)= 0,$ так что

hx2 y(x)= h− -l2-

Теперь зададим координаты точек так:

2 2 2 2 A = (x1,h(1− xl12 )),B = (−x1,h(1 − x1l2 )),C = (x2,h(1 − x2l2 )),D = (x2,h(1− x2l2 ))

Так как $AB$ и $CD$ параллельны полу, то понятно, что ординаты $A$ и $B$ одинаковы. Значит, абсциссы отличаются только знаком. Аналогично для $C$ и $D$ .

$PIC$

Тогда перпендикулярность $AC$ и $CB,$ $AD$ и $DB$ можно выразить, например, через равенство нулю скалярных произведений. Достаточно рассмотреть одну пару, так как рисунок симметричен.

AC = (x2− x1; h(x2− x2),CB = (−x1 − x2; h(x2− x2)) l2 1 2 l2 2 1

2 2 h2- 2 22 AC ⋅CB =− (x2− x1)− l4 (x2− x1)= 0

Тогда либо $2 2 (x2− x1) =0$ (но балки не совпадают, поэтому такой вариант не подойдет), либо

2 2 l4 (x2− x1)= − h2

А расстояние между балками это:

2 |hl2(x22− x21)|= lh-= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70491

Если действительные числа $a,b,c$ упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку $x ≤x ≤ x , 1 2 3$ то число $x 2$ будем называться средним из чисел $a,b,c.$ Найдите все значения $t,$ при каждом из которых среднее из трёх чисел

3 t 1 a= t − 100t; b= 2− 16; c= sint− 2

положительно.

Источники: Ломоносов-2022, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Напрямую значения $a,b,c$ сравнивать сложно. Однако, чтобы среднее из трёх чисел было положительным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере два числа из тройки были положительны.

3 a= t − 100t= t(t− 10)(t+ 10)> 0⇒ t ∈(−10;0)∪ (10;+ ∞)

t b= 2 − 16> 0⇒ t> 4

( ) c= sint− 1> 0⇒ t∈ 2πn+ π;2πn+ 5π , где n ∈ℤ 2 6 6

Нужно, чтобы хотя бы два из трех чисел были положительны. $a> 0$ и $b> 0$ при $t> 10,$ область $(10;+∞ )$ идёт в ответ. $a≤ 0$ и $b≤ 0$ при $t∈(−∞;− 10]∪ [0;4],$ эта область в ответе быть не может. На оставшейся области $t∈ (− 10;0)∪(4;10]$ положительно только одно из чисел $a,b.$ Значит, в ответ пойдут те её части, где $c> 0.$ Посмотрим, как пересекаются

( π 5π ) t∈(−10;0)∪ (4;10] и t∈ 2πn+ 6;2πn + 6 , где n ∈ℤ

При $n =0$ получим интервал $( ) t∈ π6;5π6 .$ Он с областью $t∈(−10;0)∪ (4;10]$ не пересекается, ведь $0< π6 < 5π6-< 4.$

При $n =1$ получим интервал $( ) t∈ 2π+ π6;2π+ 56π .$ Он лежит в области целиком, ведь $4< 2π+ π6 <2π + 5π6 <10.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 1$ получим интервал $t∈ (− 2π + π6;− 2π + 5π6 ).$ Он тоже лежит в области целиком, ведь $− 10< −2π+ π6 <− 2π + 5π6-< 0.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 2$ получим интервал $( π 5π-) t∈ − 4π+ 6;−4π+ 6 .$ Тут получается такое неравенство: $π 5π − 4π+ 6 < −10< −4π+ 6 ,$ интервал пересекается с областью $t∈ (−10;0)∪(4;10],$ пересечение - это множество $( 5π) −10;− 4π + 6 ,$ которое пойдёт в ответ.

При остальных $n$ интервалы заведомо лежат либо далеко левее $− 10,$ либо правее $10,$ и на ответ не повлияют.

В итоге ответ складывается из объединения множеств

( π 5π) ( π 5π) ( 5π) (10;+∞ ), 2π+ 6;2π+ 6- , − 2π + 6;−2π+ 6- , −10;−4π+ -6

Ответ:

$(− 10;−4π+ 5π)∪(−2π + π ;− 2π + 5π)∪ (2π + π;2π + 5π)∪ (10;+∞ ) 6 6 6 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90892

Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно 4022 м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно 4022 м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые 55 минут, но чаще, чем каждые 64 минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $v 1$ — скорость велосипедиста, $v 2$ — скорость мотоцикла. Тогда из условия “если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты” следует, что длина трассы $32v2$ , а из второго условия следует, что $55v1 < 32v2 <64v1,$ то есть $1 32 2v2 < v1 < 55v2.$

Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста каждые $32v2- v2−v1.$ Тогда

32v2 32 32⋅55 64< v2− v1-< 1−-32-=-23--< 77 55

Это значит за это время мотоцикл проедет от 2 кругов до 2.5 кругов.

Когда они едут навстречу друг другу, то до момента встречи он проезжает не больше половины круга, так как скорость велосипеда меньше. Так как оба места встречи находятся на одном расстоянии от начала и в одной и той же половине круга, то эти места встречи совпадают.

Пусть по дуге от начала место встречи находится на расстоянии $x.$ Тогда

-x = 32v2−-x- v1 v2

32v2 +x 2⋅32v2+ x --v1---= ---v2----

Отсюда получаем, что

32v2−-x- 2-⋅32v2+-x v2 (32v2+ x)− x v2 = 0

(32v2− x)(32v2+ x)− x(2⋅32v2+ x)= 0

Обозначим $-x- t= 32v2$ .

2 (1− t)(1+ t)− t(2 +t)=− 2t− 2t+1 =0

Оттуда $t= √3−1. 2$ Так как это отношение длины дуги ко всей окружности, то угол, который опирается на эту дугу из центра равен $√ - ( 3− 1)π,$ а угол, который опирается на эту дугу из точки на окружности равен $(√3−1)π- 2 .$ По теореме синусов

4022 2R =---((√3−1)π) sin 2

Ответ:

$--(-20√11--) sin (-3−21)π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#102483

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км /ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?

Источники: Ломоносов - 2020, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — длина грунтовой части трассы, тогда $3S$ км — длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за

S- 3S 11S 80 + 90 = 240 ч ,

а Тойота — за

S 3S 12S 11S 40 + 120 = 240 > 240 ч

Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдёт вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше. Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет $n$ целых кругов и ещё расстояние $S⋅x$ , где $0< x< 1$ (если $x= 1$ , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно $122S40-⋅n+ S4⋅x0-$ , а время Нивы будет равно

11S ⋅(n+ 1)+ S⋅x- 240 80

Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение

12S ⋅n+ S⋅x-= 11S-⋅(n +1)+ S⋅x, 240 40 240 80

откуда

12n+ 6x= 11n +11+ 3x

n +3x= 11

Поскольку $0< x< 1$ , отсюда следует, что $n =9$ или $n= 10$ . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет 9 полных кругов и перейдёт на 10-й, а Нива проедет 10 полных кругов и перейдет на 11-й.

Ответ:

Нива на своём $11−$ м круге обгонит Тойоту на её $10−$ м круге

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#47235

Из поселка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром - дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к поселку, а дачник Б пошел к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привез на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от поселка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?

Источники: Ломоносов-2019, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1$ . Если какой-то из дачников ехал на мотоцикле дольше другого, то он должен был преодолеть большее расстояние (меньше перемещаясь пешком), поскольку их скорости пешком равны. Значит, дачники ехали на мотоцикле (и шли пешком) одинаковое время. Пусть каждый прошёл $x$ , тогда мотоциклист высадил дачника Б в точке $1− x$ , считая от посёлка, а затем забрал дачника А в точке $x$ , проехав до неё $1− x− x= 1− 2x$ . Отсюда суммарно до встречи с дачником А мотоцикл проехал расстояние $1− x+ 1− 2x =2 − 3x$ , за это время сам дачник прошёл $x$ . Из условия на скорости выполнено соотношение

1 2− 3x= 9⋅x ⇐⇒ x= 6

Отсюда на мотоцикле каждый дачник проехал $56$ пути.

Второе решение.

$PIC$

Будем решать задачу графически. Условие про скорость в девять раз больше будет означать в 9 раз больший коэффициент наклона (на графике приблизительно, чтобы никого не шокировать чертежом). Пусть первый дачник следовал по маршруту $ABC$ , мотоциклист — по $ABDC$ , второй дачник — по $ADC$ . Из равных скоростей дачников следует, что $AD ∥BC$ , из одинаковой скорости мотоциклиста $AB ∥CD$ , значит, $ABCD$ — параллелограмм, откуда мотоциклист проехал с каждым дачником одно и то же расстояние и каждый дачник прошёл одно и то же расстояние. Пусть каждый дачник шёл пешком часть пути $r∈ [0,1]$ , тогда мотоциклист вёз каждого из них часть $1− r$ , при этом кусочек $m0$ является частью пути $1− r− r =1 − 2r$ . Тогда пока второй дачник шёл $r$ , мотоциклист проехал $m0+ m1$ , получаем соотношение $1 m1+ m0 =1− r+ 1− 2r =2 − 3r= 9⋅r⇐⇒ r= 6$ .

Ответ:

$5 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47039

На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки

5 8 2 6 x < y <y < x ,

лежит число $0?$

Источники: Ломоносов-2018, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Не умаляя общности, можно считать, что $y > 0$ , т.к. равенства быть не может.

$2 8 6 y >y ⇒ 1> y ⇒ y ∈ (0, 1)$ . Далее всё зависит от знака $x$ .

Если $x> 0$ , тогда т.к. $6 2 5 x > y > x$ , $x> 1$ и $y > 1$ . Но при таком условии $8 2 y > y$ , так что этот случай невозможен.

Если $x< 0$ , то ответом может быть только $5 8 (x , y)$ . Осталось привести пример, вполне подойдёт $1 x= −1, y = 2$ .

Ответ:

$(x5, y8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#78229

Архив фотографий укладывают в порядке их нумерации в одинаковые альбомы, ровно по 4 фотографии на одну страницу. При этом 81-я по счёту фотография попала на 5-ю страницу одного из альбомов, 171-я — на 3-ю страницу другого. Сколько фотографий вмещает каждый альбом?

Источники: Ломоносов - 2018. 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,y$ — номера альбомов, в которые попали $81−$ я и $171−$ я фотографии соответственно, $n >4$ — количество страниц в альбоме. Тогда

4n(x − 1)+ 16 <81≤ 4n(x − 1)+ 20⇒ 61≤ 4n(x− 1)< 65

4n(y− 1)+ 8< 171 ≤4n(y− 1)+ 12⇒ 159≤ 4n(y− 1)<163

Тогда

n(x− 1) =16, n(y− 1)= 40

Из первого неравенства следует, что $n$ может быть равно $1, 2, 4, 8, 16,$ из второго неравенства — $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.$ Таким образом, $n =8, 4n =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90889

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$ , он тратит $25%$ времени на путь в гору, $60%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Показать ответ и решение

Пусть скорость с горы в $x$ раз больше, чем скорость в гору. Тогда

25 15+ 25= x-+ 15x

15x2− 40x+ 25= 0

5(x− 1)(3x − 5)= 0

$x> 1,$ так что $x= 5. 3$

Ответ:

$5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31288

Незнайка прыгал от своего дома к дому Знайки. Три четверти пути он пропрыгал прыжками, длина которых равна двум его обычным шагам, а остальную четверть пути — прыжками, длина которых равна трем его обычным шагам. Оказалось, что прыжков в два шага оказалось на $350$ больше, чем прыжков в три шага. Сколько обычных шагов от дома Знайки до дома Незнайки? Считаем, что все шаги у Незнайки одинаковые.

Источники: Ломоносов-2016, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть Незнайка сделал $x$ прыжков по $2$ шага, $x − 350$ — по $3$ . Тогда $2x= 3⋅3(x− 350)$ , то есть $7x= 9⋅350=⇒ x= 450$ , а значит, всего шагов $2x +3(x− 350)= 900 +300= 1200$ .

Ответ:

$1200$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#83946

Том Сойер, Сид Сойер и Гек Финн красили забор. Вначале Том красил один в течение времени, за которое Сид и Гек, работая вместе, могли бы покрасить половину забора. Затем красил один Сид в течение времени, за которое Том и Гек, работая вместе, могли бы покрасить $5 4$ всего забора. Потом красил один Гек в течение времени, за которое Том и Сид работая вместе, могли бы покрасить четверть всего забора. В результате забор был покрашен. Во сколько раз быстрее они окончили бы работу, если бы с самого начала все время работали вместе? (Предполагается, что скорость работы каждого мальчика постоянна.)

Показать ответ и решение

Обозначим через 1 всю работу по окраске забора, через $x,y$ и $z$ производительность Тома, Сида и Гека соответственно, а через $t,t ,t 1 2 3$ — промежутки времени, в которых Том, Сид и Гек соответственно работали по одному. Тогда, по условию,

1 5 1 (y+ z)t1 = 2, (x+ z)t2 = 4, (x+ y)t3 = 4, xt1+ yt2+ zt3 =1.

При этом найти нужно

t +t +t 1--12--3-=(x+ y+ z)(t1+t2+ t3)= x+y+z

1 5 1 xt1+ (y+ z)t1+yt2+ (x+ z)t2+ zt3+ (x+ y)t3 = 1+ 2 + 4 + 4 =3

Ответ: в 3 раза

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89257

На покраску дома жёлтой краски потребовалось больше, чем белой, на $20%$ , а коричневой краски — на $25%$ меньше, чем жёлтой. На сколько процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше, чем белой?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – количество белой краски. Тогда желтой краски потребовалось $6x, 5$ а коричневой $3⋅ 6x= 9x. 4 5 10$ Отношение общего количества коричневой и желтой краски к количеству белой краски равно

( 9x 6x) 210 10 + 5 :x = 100.

Ответ: на 110 %

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#43621

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно отправились два поезда. Известно, что в $14 :00$ они встретились и, не меняя скорости, продолжили движение. Один поезд прибыл в пункт $B$ в $18:00$ , а другой прибыл в пункт $A$ в $23:00$ . В какой момент времени поезда отправились в путь?

Показать ответ и решение

Пусть поезда отправились за $t$ часов до момента встречи, и пусть $v 1$ - скорость первого поезда, $v 2$ - скорость второго. Тогда первый поезд прошёл расстояние $tv1$ от пункта $A$ до пункта встречи со вторым поездом, а второй поезд прошёл это же расстояние (после встречи с первым поездом) за 9 часов, поэтому $tv1 = 9v2$ . Аналогично второй поезд прошёл расстояние $tv2$ от пункта $B$ до пункта встречи, а первый поезд затем прошёл это расстояние за $4$ часа, поэтому $tv2 =4v1.$ Перемножая эти два уравнения, получим

tv1⋅tv2 =9v2⋅4v1 ⇒ t2 =36 ⇒ t=6

Итак, поезда отправились в путь за $6$ часов до $14:00$ , т. е. в $8 :00.$

Ответ:

$8 :00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67154

Два поезда, содержащие по $15$ одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через $28$ с после встречи их первых вагонов пассажир Саша, сидя в купе третьего вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Валерой, а еще через $32$ с последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Валера?

Показать ответ и решение

Так как с момента встречи их первых вагонов до момента разъезда последних вагонов прошло $60$ секунд, то, так как вагоны одинаковые, через каждые $60:15= 4$ секунды разъезжались очередные вагоны. Поэтому через $28$ секунд разъехались седьмые вагоны поездов, то есть седьмой вагон одного поезда поравнялся с восьмым вагоном другого. В этот момент третий, Сашин, вагон поравнялся с Валериным вагоном, имеющим номер $8+ (7 − 3)= 12.$

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80196

На доске написан квадратный трёхчлен $x2 +9x+ 47$ . Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при $x$ , после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых действиях Тани, если

(a) $m =2?$

(b) $m =3?$

Показать ответ и решение

(a) Пусть $f(x)=x2+ 9x+ 47.$ Ваня сможет за конечное количество ходов добиться $f(1)= 0.$ Вначале $f(1)= 1+9 +47= 57.$

Далее каждым своим ходом Ваня может уменьшать $f(1)$ и добиться, чтобы (после его хода) $− 1≤ f(1) ≤1.$ Если Таня сделает $f(1)$ равным нулю (или оно уже равно нулю), то Ваня сразу выиграл.

Иначе Таня вынуждена сделать $f(1) =− 2$ или $f(1)=2$ и опять-таки Ваня выигрывает.

(b) Стратегия Тани — держать коэффициент при $x$ равным 10 или 11.

В этом случае значение многочлена $f(x)$ будет не кратно трем и, следовательно, не равно нулю.

Действительно, многочлены

f(x)= x2+10x+ 2+ 3k и f(x)= x2+11x+ 2+ 3k

не кратны трем при любом целом $x.$

При $x= 3n$ остаток от деления $f(x)$ на три равен 2; при $x= 3n+ 1$ остаток от деления $f(x)$ на три составляет 1 и 2, соответственно; при $x = 3n +2$ остаток от деления $f(x)$ на три составляет 2 и 1, соответственно.

Ответ:

(a) да

(b) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#89255

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,04. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на $0,06$ ?

Показать ответ и решение

Пусть изначально суммарный вклад составлял $y$ миллионов рублей, из них $x$ миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла $x y$ . После того, как первый добавил 1 млн рублей, суммарно вклад составил $(y+ 1)$ млн рублей, из них $(x+ 1)$ — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до $x+1 y+1$ . По условию:

x +1 x y-+1 − y = 0,05

Умножим обе части на $y⋅(y+ 1):$

(x+1)⋅y− x⋅(y+1)= 0,05⋅(y+ 1)⋅y

y− x= 0,05y(y +1)

После того как он снова добавил 1 млн рублей, общая сумма вклада стала равна $(y +2)$ млн рублей, из них $(x+ 2)$ — первого вкладчика. По условию:

x+ 2 x+ 1 y+-2 − y+-1 =0,04

Умножим обе части на $(y+ 1)⋅(y+ 2):$

(x +2)⋅(y+1)− (x+1)⋅(y+2)= 0,04⋅(y+ 1)⋅(y+ 2)

y− x= 0,04(y+1)(y +2)

Тогда:

0,05y(y+ 1)= 0,04(y+ 1)(y+ 2)

0,05y = 0,04(y+ 2)

5y = 4(y+ 2)

y = 8

Из условия:

y− x= 0,05y(y +1)

Получим:

8− x= 0,05⋅8⋅9

x= 8− 3,6

x= 4,4

Если тот же вкладчик добавит ещё $k$ млн рублей, то его доля составит $x+2+k y+2+k$ . При найденных значениях $x$ и $y$ решим относительно $k$ уравнение, составленное из условия задачи:

4,4+2-+k − 4,4+-2= 0,06 8+ 2+ k 8+ 2

64 +10k− 6,4(10+ k)= 0,6(10+ k)

64+10k= 70+ 7k

3k= 6

k= 2

Таким образом, для того, чтобы достичь требуемого, вкладчик должен добавить 2 млн рублей.

Ответ: 2 млн р.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77820

В свежих грибах содержание воды колеблется от $80%$ до $99%$ , а в сушёных — от $20%$ до $40%$ . В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Источники: Ломоносов - 2009, 11 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — вес сухой части грибов, $a%$ — содержание воды в свежих грибах, $b%$ — в сушёных.

Тогда вес грибов в обоих состояниях будет равен соответственно

x x 100⋅100− a-и 100⋅100−-b

Значит, вес грибов уменьшился на

-x-- -100x−a= 100−-b 100−b 100− a

Чтобы максимум этого значения, нужно взять наибольшее значение $a$ и наименьшее $b.$ В итоге получается

100−-20- 100− 99 = 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91917

Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от кролика до норы было равно $7$ м, а до лисы – $13$ м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость кролика, $y$ — скорость лисы. Пусть через время $t$ после первого момента настал второй момент. Получаем уравнение $20−yt 7−xt = 3$ , откуда $3xt= yt+ 1$ , то есть $3x > y$ , поэтому лиса не догонит кролика.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#64355

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$