Алгебраические текстовые задачи на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно 4022 м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причем расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно 4022 м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые 55 минут, но чаще, чем каждые 64 минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.
Источники:
Подсказка 1
Задача на движение, значит нам хотелось бы как-то обозначить скорости велосипедиста и мотоциклиста. Может, стоит попробовать их связать?
Подсказка 2
Используем условие на то, что происходит, если один из гонщиков отдыхает. Подумаем, а как их скоростей выразить длину трассы?
Подсказка 3
Отлично, теперь мы можем связать скорости гонщиков при помощи неравенств и знаем, как выразить длину трассы с помощью скорости одного из них! Теперь нужно понять, как использовать другое условие. С какой скоростью происходит обгон?
Подсказка 4
Итак, теперь мы можем оценить то, сколько времени нужно, чтобы со скоростью обгона пройти весь круг! А на что могут намекать равные расстояния между последовательными встречами/обгонами?
Подсказка 5
А что если места встреч совпадают?
Пусть — скорость велосипедиста,
— скорость мотоцикла. Тогда из условия “если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист
проезжает мимо него каждые 32 минуты” следует, что длина трассы
, а из второго условия следует, что
то есть
Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста каждые
Тогда
Это значит за это время мотоцикл проедет от 2 кругов до 2.5 кругов.
Когда они едут навстречу друг другу, то до момента встречи он проезжает не больше половины круга, так как скорость велосипеда меньше. Так как оба места встречи находятся на одном расстоянии от начала и в одной и той же половине круга, то эти места встречи совпадают.
Пусть по дуге от начала место встречи находится на расстоянии Тогда
Отсюда получаем, что
Обозначим .
Оттуда Так как это отношение длины дуги ко всей окружности, то угол, который опирается на эту дугу из
центра равен
а угол, который опирается на эту дугу из точки на окружности равен
По теореме
синусов
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!