Планиметрия на Ломоносове

Вначале докажем, что отрезок проходит через точку . Треугольники и подобны, а значит,

Проведём прямую и обозначим точку её пересечения с отрезком через . Треугольники и подобны, а значит,

Аналогично,

Поделим первое из этих равенств на второе и получим

т.е. точка совпадает с точкой , а значит, отрезок совпадает с отрезком и проходит через точку .

По условию

В силу подобия треугольников, , откуда

Найдем из теоремы косинусов в треугольнике

Тогда , а . Высоту трапеции можно найти из прямоугольного треугольника:

В силу подобия, высоты в треугольниках и равны, поэтому

Тогда можно найти площадь трапеции и площади треугольников и :

Поскольку в любой трапеции площади треугольников и равны, окончательно получаем