Тема Ломоносов

Планиметрия на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125176Максимум баллов за задание: 7

В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны $3,3,3√2.$ Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.

Источники: Ломоносов - 2025, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала начертим сам четырёхугольник с окружностью, а потом соединим его вершины с центром окружности. Что мы можем сказать про получившиеся треугольники?

Подсказка 2

Нетрудно заметить, что два из них — равные правильные (со стороной 3), другой — прямоугольный с катетами 3 и гипотенузой 3√2. Их площади легко найти, так что разберёмся с оставшимся. Как можем найти его площадь (знаем как минимум две его стороны)?

Подсказка 3

Вспомним, что можно вычислить площадь прямоугольника через полупроизведение двух его сторон и синусу угла между ними. Так как все про остальные треугольники мы знаем, то и градусную меру этого центрального угла легко можем найти. Считаем оставшуюся площадь и складываем с площадями всех остальных треугольников, получая ответ.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решим задачу в общем случае. Обозначим четырехугольник $ABCD.$ Пусть $AB = BC = R,$ $√- CD = R 2.$ В такой конфигурации угол между сторонами $AB$ и $BC$ равен $∘ 120 .$ Угол $∘ ∠ADC = 60,$ как противолежащий.

$PIC$

Диагональ $√- AC = R 3.$ Из теоремы синусов для треугольника $ACD$ следует, что угол $∠CAD$ равен $∘ 45$ (угол $∠CAD$ острый, т.к. иначе $∘ ∠CAD = 135,$ и сумма углов треугольника $ADC$ будет больше $∘ ∘ ∘ 60 +135 > 180$ ). Значит, угол $∠ACD$ равен $∘ 75.$ Площадь $S$ четырехугольника можно вычислить, как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ADC.$

2√- SABC = R--3- 4

√- √ - √ - S = R2-6-⋅sin 75∘ = R2-6⋅cos15∘ = R2-3(1 +√3) ADC 2 2 4

R2√3 R2√3- √- 3R2 R2√3- S = -4--+ --4--(1+ 3)= -4- +--2--

Возможна другая конфигурация: $AB = CD =R,$ $√- BC =R 2.$ В этом случае четырехугольник — равнобочная трапеция с углом при основании $75∘.$

$PIC$

Тогда высота $CH = R sin75∘,$ и площадь трапеции равна

1 3R2 R2√3- S = 2(AD + BC)⋅CH = -4- +--2--

Оба варианта одинаковые, при подставновки $R= 3$ ответ равен

2 2√ - √- 3R-+ R---3= 27+ 9-3 4 2 4 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Соединим вершины четырехугольника с центром окружности.

$PIC$

Получается, что четырехугольник составлен из двух правильных треугольников со стороной 3, площадь каждого $√ - 9--3 4 ;$ одного прямоугольного треугольника с катетами 3, 3 и гипотенузой $√- 3 2,$ площадь $92;$ одного равнобедренного треугольника со сторонами 3 и 3 и углом между ними $150∘,$ площадь равна

1⋅3⋅3⋅sin150∘ = 9 2 4

Суммарная площадь одинакова вне зависимости от того, в каком порядке они расположены, и равна

27 9√3 4-+ -2-

Ответ:

$27 9√3- 4 + 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125181Максимум баллов за задание: 7

Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса $4− 2√2.$ На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть.

Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего. Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.

Источники: Ломоносов - 2025, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте инвертируем путь мышки (т.е. представим, что мышка наоборот выбегает из норы). Очевидно, что ответ от этого никак не поменяется, а решать задачу будет проще. Хорошо, тогда часть своего пути мышь пробежит под двумя поливалками, а другую часть — только под одной.

Подсказка 2

Давайте попробуем чем-нибудь параметризировать траекторию, по которой бежит мышка. Ага! Мы можем задать траекторию бега мышки единственной точкой — точкой, в которой мышь выбегает из зоны двух поливалок. Назовём эту точку H. До (⋅) H мышке выгодней бежать по прямой, а дальше по радиусу одной из окружностей.

Подсказка 3

Пусть (⋅)A и (⋅)B — центры окружностей. Очевидно, что положение (⋅)H определяется углом ∠HAB, а также через этот угол и радиусы окружностей можно записать функцию, описывающую расстояние, которое пробежит мышка!

Подсказка 4

Запишем эту функцию, затем возьмём её производную и найдём локальный экстремум. Также не забываем, в каком диапазоне у нас может меняться ∠HAB! Проверим, что мы нашли именно минимум и найдём соответствующее ему расстояние.

Показать ответ и решение

Пусть радиус полива равен $R.$ В точках $A$ и $B$ расположены поливалки, нора находится в $O.$ Поменяем направление — пусть мышь выбегает из норы и стремится на сухую землю. Путь мыши может быть какой угодно формы, но, так или иначе, ей придётся покинуть область двойного полива — пусть это произойдёт в точке $H.$ Тогда оптимальный путь до точки $H$ — это отрезок $OH,$ а оптимальный путь от $H$ до сухой земли — это $HL,$ где $H$ лежит на радиусе $BL.$ Значит, кандидаты на оптимальный путь — ломаные вида $OHL$ и определяются они одним параметром — положением точки $H.$

$PIC$

Мышь мокнет от каждой поливалки, поэтому нужно минимизировать сумму расстояний, пройденных под каждой поливалкой. Путь под поливалкой $A$ равен $|OH |,$ путь под поливалкой $B$ равен $|OH |+ |HL |,$ поэтому нужно найти минимально возможное значение $|OH|+ (|OH |+ |HL|)=2|OH|+ |HL |.$

Опишем положение $H$ через угол $∠HAB =α,$ где $α ∈[0,60∘].$

Тогда:

|AH|= R, |OA|= R- 2

По теореме косинусов:

∘ --------------- R2 |OH |= R2+ -4-− R2cosα

Далее, $|HL |= R− |BH |,$ а $|BH |$ найдём как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и известным углом между ними:

|HL |= R − 2R ⋅sinα 2

Значит:

( ∘ ------- ) 2|OH |+|HL|= f(α )=R 2 5− cosα +1− 2sin α-, где α∈ [0,π] 4 2 3

Нужно найти минимум функции $f(α),$ которая характеризует степень намокания — берём производную:

( ) α ′ | α sinα | R cos 2- ( ∘ 5------ α ) f (α)= R |(− cos2-+ ∘5-----|) = ∘-5------ − 4 − cosα+ 2sin2 4 − cosα 4 − cosα

Нулю может равняться только скобка (угол $α$ меняется в таких пределах, что $α cos2-$ в ноль не обращается). Решаем уравнение:

∘------- 2sinα-= 5− cosα 2 4

4sin2 α= 5 − cosα 2 4

2 − 2cosα= 5− cosα 4

cosα = 3 4

Если $cosα = 3, 4$ то $sin α-= √1- 2 2 2$

Значит, экстремум $f$ равен:

( √2) f(α)= R ⋅ 1+ 2--

На всякий случай проверим, точно ли это точка минимума. Если бы мышь взяла курс ровно наверх, то $f(α)$ приняла бы значение $√3 √ - 2R ⋅2--=R 3,$ что больше, чем $( √2) R ⋅ 1+ -2- .$ Если бы побежала направо — $f(α)$ равнялось бы $2R.$ Так что мы действительно нашли минимум.

Длина пути при этом равна:

( ∘------- ) ( ∘-- ) |OH |+|HL|= R 5 − cosα+ 1− 2sinα = R 1+ 1− √2- =R = 4− 2√2 4 2 2 2 2

Ответ:

$4− 2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#129844Максимум баллов за задание: 7

Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O.$ Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M.$ Найдите длину секущей $OM,$ если $BC =6,$ $AB :AC = 3:1$ и $∘ ∠BAC = 60 .$

Источники: Ломоносов - 2025, 10.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Небольшой счёт углов и знание теоремы синусов помогут нам сразу же узнать радиус имеющейся на рисунке окружности. Но как нам связать его с искомым отрезком?

Подсказка 2

Попробуем вычислить угол, опирающийся на эту дугу! Поищите на рисунке равные уголочки и свяжите искомый угол с углами △ABC.

Подсказка 3

Осталось лишь вспомнить свойство вписанного угла, равного 90°, и записать ответ!

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что

∠OBM = ∠ABC- +∠CBM = ∠ABC- +∠COM = ∠ABC-+ ∠OAC + ∠OCA = ∠ABC-+-∠BAC-+-∠ACB-= 90∘ 2 2 2 2

Значит, $OM = 2R,$ где $R$ — радиус описанной около треугольника $OBC$ окружности.

Также

∠BOC = 180∘− ∠B-+-∠C =180∘− 180∘−-∠A-= 90∘ + ∠A-= 120∘ 2 2 2

Поэтому, по теореме синусов:

BC √6⋅2 √- OM = 2R =sin120∘ = -3--= 4 3

Ответ:

$4√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#129853Максимум баллов за задание: 7

Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD,$ состоящую из четырех звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC?$

Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.

Источники: Ломоносов - 2025, 10.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока не совсем понятно, как у нас может выглядеть картинка, попробуем порассуждать без неё... Что интересного нам может дать условие на перпендикулярность отрезка дуге окружности?

Подсказка 2

По условию это значит, что отрезок перпендикулярен касательной. А что ещё у окружности перпендикулярно касательной?

Подсказка 3

Правильно, радиус. Получается, радиус лежит на той же прямой, что и отрезок из условия. А можем ли мы сказать это про другой отрезок? Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 4

Да, центр каждой из окружностей — это пересечение прямых, на которых лежат отрезки из условия. С этим знанием уже гораздо проще построить картинку, главное не забыть про все возможные конфигурации!

Подсказка 5

Нам не дано вообще никаких численных данных, а спрашивают, какими получатся угловые меры дуг. Может быть, мы сможем связать искомые дуги через угол, на который они опираются? Тогда, посчитав этот угол разными способами, мы получим для него уравнение, а если мы знаем угол, то недалеко и до градусной меры исходных дуг.

Подсказка 6

Как можно связать центральный угол окружности (выраженный в радианах) и длину дуги, на которую он опирается?

Подсказка 7

Произведение радиуса окружности на центральный угол будет длиной соответствующей дуги (вспомните, что такое 1 радиан по определению). Как тогда выразить угол каждой дуги через радиус и длину дуги?

Подсказка 8

Давайте введём длины дуг и радиусы окружностей и свяжем их между собой через длину отрезков из условия. Пусть обе дуги будут a, меньший радиус — r, тогда больший радиус — это R=r+a или R=2r+a в зависимости от картинки.

Подсказка 9

Выразим длины нужных нам дуг через введённые обозначения. Приравняйте величины углов и решите квадратное уравнение для r.

Показать ответ и решение

Так как прямая $BC$ перпендикулярна дуге $A⌣B,$ то радиус окружности, на которой лежит дуга, лежит на прямой $BC.$ Аналогично, на прямой $BC$ лежит радиус окружности, содержащей дугу $⌣ CD,$ а также радиусы обеих окружностей лежат на прямой $DA.$ Из-за того, что дуги не равны полуокружностям по условию, прямые $BC$ и $DA$ пересекаются. Из всего этого следует, что окружности имеют общий центр.

Также есть требование, что одна дуга больше полуокружности, а другая — меньше. С учётом того, что мы хотим получить равные длины всех звеньев ломаной, большая полуокружность должна быть у окружности меньшего радиуса, что оставляет нас с двумя вариантами ломаной.

Пусть

⌣ ⌣ |AB |=BC = |CD |= DA =a

Первый вариант ломаной.

$PIC$

Предположим, что радиус $⌣ CD$ меньше. Обозначим за $O$ центр окружности, содержащей дугу $⌣ CD,$ пусть $r$ — ее радиус, $∠AOB = α.$ С одной стороны,

⌣ α= |AB|= --a- r+ a r +a

С другой,

2πr− |C ⌣D | 2πr− a α= ----r----= --r---

Таким образом,

-a--= 2πr− a r+a r

ra= (2πr− a)(r+ a)

ra =2πr2+ 2πra− ar− a2

2πr2+ (2π− 2)ar− a2 =0

Решим квадратное уравнение относительно $r.$

2 2 2 2 2 D= (2π− 2) a +8πa = 4a(π + 1)

−(2π−-2)a-±2a√π2+-1 r= 4π

Поскольку $√-2--- π +1> π,$ один из корней будет положительным, а другой — отрицательным. Радиус не может быть отрицательным, следовательно

−(2π− 2)a +2a√π2+-1 r= --------4π--------

Тогда

( √----- ) α1 =2π− a =2π −---√--4π----- =2π -2-π2√-+1−-2π-- r 2 + π2+1 − 2π 2+ 2 π2+ 1− 2π

Это примерно $0.844684$ радиан. У второй дуги угол равен $2π− α1.$

Второй вариант ломаной.

$PIC$

Пусть $R$ — радиус большей окружности, $r$ — меньшей, $α = ∠AOB ∈(0;180).$ Тогда

⌣AB =-πR ⋅α 180

А также

⌣CD = πr-⋅(360− α) 180

При этом $|BC|= |AD |=R + r.$ Резюмируя, получим

(|| R +r =-πR⋅α { 180 ||( πR-⋅α = πr-⋅(360− α) 180 180

Из второго уравнения

Rα =r⋅(360− α)

Из первого уравнения

(-π- ) r= R⋅ 180 ⋅α − 1

Тогда

( π ) Rα = R⋅ 180 ⋅α− 1 ⋅(360− α)

α = 2πα − π180α2− 360+ α

π-α2 − πα +180= 0 360

Решим квадратное уравнение относительно $α.$

D = π2− 2π > 0

√------ α± = π±--π2−-2π⋅360 2π

В результате вычислений, $α+ > 180,$ а $α− ∈(0;180).$ Тогда получим второй вариант угла

α =π − ∘ π2−-2π 2

Ответ:

$( 2√π2-+1− 2π ) α1 =2π 2+-2√-π2+-1− 2π$ и $2π − α1;$ $√ ------ α2 =π − π2− 2π$ и $2π− α2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82779Максимум баллов за задание: 7

Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг — одна от окружности с центром в $(0;0)$ , проходящей через $(0;1)$ , другая — от окружности с центром в $(1;0)$ , проходящей через $(0;1)$ . К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $1∕2.$

$PIC$

Найдите площадь получившейся фигуры.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда краска расплылась, мы получили сложную фигуру, для площади которой точно не существует формулы. В таких случаях мы разбиваем фигуру на более простые, площади которых умеем вычислять.

Подсказка 2

Мы умеем находить площади окружностей, колец, секторов. Данная картинка удобно разбивается на эти фигуры или их части. При том, очевидно, что на концах нашего полумесяца нельзя брать целые окружности, потому что иначе усложняется вычисление площади остальной части фигуры. Подумайте, как можно, используя данные фигуры, разбить нашу?

Подсказка 3

Давайте разобьём фигуру на следующие части:

1) Сам полумесяц

2) Внешнее полукольцо, границы которого это окружности с центром (0; 0) и радиусами 1 и 1,5, а также ось Oy

3) Часть кольца внутри полумесяца, которая ограничена окружностями с центром в (1; 0) и радиусами √2 и √2 – 0,5, а также отрезками, соединяющими точку (1; 0) с точками (0; 1) и (0; -1).

Показать ответ и решение

Пусть рисунок расплылся на радиус $r$ . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

$PIC$

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса $1$ минус сегмент круга радиуса $√- 2.$

π − 2π-− 4 =1 2 4

Площадь левого поля ”— половина от площади кольца с радиусами $1$ и $1 +r$ :

π(1+-r)2− π- 2

Площадь правого поля ”— четверть от площади кольца с радиусами $√2$ и $√2 − r$ :

π(√2)2− π(√2− r)2 -------4--------

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса $r$ :

3 2 4πr

Вместе получается:

π(1+ r)2 − π π(√2)2− π(√2-− r)2 3 1+ ----2-----+ -------4-------+ 4πr2 =

√ - √- 1+πr + π r2 + π-2r− πr2+ 3πr2 = 1+(1+-2)r+ πr2 2 2 4 4 2

И тогда ответ:

3π π√2- 1+ 4 + 4

Ответ:

$3π π√2- 1+ 4 + 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#134217Максимум баллов за задание: 7

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N,$ что $∠ABM = 15∘,$ $∠MBN = 45∘$ и $∠NBC = 75∘,$ а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Источники: Ломоносов - 2024, 10.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Площади каких треугольников нам неизвестны?

Подсказка 2

ABC и MBN. Как их можно связать с площадями треугольников ABM и NBC?

Подсказка 3

Например, можно рассмотреть разность и произведение площадей треугольников ABC и MBN, пользуясь при вычислениях синусами известных нам углов.

Подсказка 4

А не похоже ли это на теорему Виета?

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначив $S = S△ABC$ и $s=S△MBN ,$ имеем

1 1 S− s= S△ABM + S△NBC = 5, Ss= 2AB ⋅BC sin(15∘+ 45∘+ 75∘)⋅2 MB ⋅NB sin45∘ =

= 1AB ⋅BC ⋅MB ⋅NB = 2⋅ 1AB ⋅BM sin 15∘⋅ 1 NB ⋅BC sin 75∘ = 2S△ABM ⋅S△NBC = 6, 8 2 2

так как

sin(90∘+45∘)sin45∘ = sin245∘ = 1 2

sin15∘sin75∘ = sin15∘ cos15∘ = 1sin30∘ = 1 2 4

Поэтому числа $S$ и $− s$ образуют пару корней квадратного трёхчлена

2 t − 5t− 6 =(t− 6)(t+1),

откуда $S =6.$

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67940Максимум баллов за задание: 7

Две стороны выпуклого четырёхугольника имеют длину 6, ещё одна — длину 1, а его площадь — наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвёртой стороны четырёхугольника?

Источники: Ломоносов-2023, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наши известные стороны это b, b и c, но мы не знаем, в каком порядке они расположены в четырехугольнике: как b, b, c или b, c, b? А вдруг это не важно?)

Подсказка 2

Пусть наш четырехугольник это ABCD, где AB = CD = b, BC = c. Тогда на самом деле площадь четырехугольника AB'CD, где AB' = c, B'C = CD = b будет такой же, потому что треугольник ACD не изменился, а ABC = AB'C, то есть площадь осталась такой же) Давайте теперь мыслить про первый вариант.

Подсказка 3

Можно ли отдельно максимизировать площадь, учитывая наши условия? Например, разбить четырехугольник на какие-то части, и меняя что либо, менять площадь?

Подсказка 4

Давайте отдельно максимизируем площадь ABC и ACD) Начнем с ABC. Мы знаем, что A находится на расстоянии b от точки B. Так давайте будет двигать A по окружности с центром в точке B и радиусом b! Сторона BC как раз не меняется в таком случае. В какой момент площадь ABC будет максимальна?

Подсказка 5

Тогда, когда AB станет перпендикулярна BC! Потому что площадь ABC = 1/2 ⋅ (высота к BC) ⋅ BC, и высота максимальна будет как раз в этом случае. Попробуйте сделать тоже самое с ACD) Какой четырехугольник в таком случае у нас выйдет?

Подсказка 6

Т.к. углы ABC и ADC станут по 90°, то ABCD - вписанный, да и еще у него AB = CD, то есть ABCD - равнобокая трапеция! Осталось посчитать сторону AD, зная все это)

Подсказка 7

Для удобства подсчета, стоит опустить высоты из B и C на AD и воспользоваться формулой высоты в прямоугольном треугольнике)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть известные длины сторон четырехугольника равны $b,b$ и $c.$ В условии не указан порядок расположения этих сторон: $b,b,c$ или $b,c,b.$ Но вместо четырехугольника $ABCD,$ в котором, скажем $AB = CD =b,BC =c,$ рассмотрим четырехугольник $AB′CD,$ в котором, $B ′C = CD =b,AB′ = c.$ В нем тот же набор известных длин сторон (но в другом порядке), а площади этих четырехугольников равны, так как это суммы $SABC + SACD$ и $SAB′C + SACD,$ причем $△ABC = △AB ′C.$

Поэтому можно считать, что $AB =CD = b,BC =c.$

Заметим, что двигая точку $D$ по дуге окружности радиуса $b$ с центром в точке $C,$ мы будем получать четырехугольник с тем же набором известных длин сторон, с той же частью $ABC,$ а площадь части $ACD$ будет наибольшей тогда, когда $CD ⊥ AC$ (иначе при том же основании $AC$ высота из точки $D$ будет короче, чем $b).$ Двигая аналогично точку $A$ вокруг точки $B,$ получим, что из свойства максимальной площади четырехугольника $ABCD$ вытекает $AB ⊥BD.$

Итак, имеются два прямоугольных треугольника $ABD$ и $ACD$ с общей гипотенузой $AD$ и равными катетами $AB$ и $CD.$ Значит, треугольники равны, как и их высоты на гипотенузу, т.е. $ABCD$ — равнобедренная трапеция с тупыми углами $B$ и $C.$

$PIC$

Пусть $d= AB′ = C′D,$ где $B′$ и $C′$ — проекции точек $B$ и $C$ на $AD.$ Тогда из свойства высоты прямоугольного треугольника получаем

′ ′ ′ 2 2 2 2 2 AB ⋅B D= B B ⇔ d(c+ d)=b − d ⇔ 2d + cd− b = 0

Отсюда, с учётом того, что $d >0,$ получаем

−c+-√c2+-8b2- c+-√c2+-8b2 d= 4 ⇒ a= AD = c+2d= 2

Подставляем $b= 6,c= 1$ и получаем

1+-√1-+8⋅36 a= 2 = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70493Максимум баллов за задание: 7

Высота $BD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекается с его другими высотами в точке $H.$ Точка $K$ лежит на отрезке $AC$ так, что величина угла $BKH$ максимальна. Найдите $DK,$ если $AD =2,DC = 3.$

Источники: Ломоносов-2022, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти наибольшую величину угла, попробуем искать наибольшее значение одной из тригонометрических функций этого угла. Какую будет использовать удобнее всего? В △BKH нет прямых углов, поэтому подумайте через какие углы лучше всего выразить ∠BKH?

Подсказка 2

tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / 1 + tg(x) * tg(y). Заменив длину неизвестной стороны DK за x, получим функцию от x, максимум которой мы ищем

Подсказка 3

Производная функции обнуляется при x² = BD * BH. Как выразить это произведение через AD и DC?

Подсказка 4

tg(∠HAD) = ctg(∠BCD)

Показать ответ и решение

$PIC$

Чем больше острый угол, тем больше его тангенс. Поэтому условие максимальности угла $BKH$ можно заменить на условие максимальности его тангенса. По формуле тангенса разности имеем

tg ∠BKH = tg(∠BKD − ∠DKH )= -tg∠BKD--−-tg∠DKH----=--BDDK-−-DDHK- = 1+ tg∠BKD ⋅tg∠DKH 1 +DBKD⋅ DDHK-

(BD − DH )⋅DK = DK2-+-BD-⋅DH-

Максимум этого выражения достигается при том же значении $DK$ , что и минимум выражения

2 y = x-+BD-⋅DH--=x + BD-⋅DH-, x x

где $x =DK.$ Производная $y′$ равна $1− BDx⋅D2H-$ и обращается в нуль при $x =√BD--⋅DH--$ (нас интересуют только положительные значения $x).$

Заметим, что $DH :AD =tg∠HAD =ctg∠BCD = DC :BD,$ откуда $AD ⋅DC = DH ⋅BD.$ Таким образом, $x= √AD-⋅DC-= √2⋅3= √6.$

Ответ:

$√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92159Максимум баллов за задание: 7

Из равнобедренного треугольника с углом $α$ при вершине и площадью 1 вырезают максимальный по площади круг, а из него — максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь $S(α)$ полученного в итоге треугольника при $∘ ∘ 60 ≤α ≤120 ?$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймём, что это за треугольники и окружности — очевидно, что это соотвественно вписанная окружность и вписанный в нее треугольник (иначе, мы могли бы увеличить площадь, дополнив до вписанной/ого). Значит, площадь вырезанного треугольника легко считается и выражается через наши параметры — площадь начального и угол. Однако нужно ли нам выражать? Просто ли так нам дали площадь большого?

Подсказка 2

Конечно, не просто так. Нам можно получить лишь отношение сторон и найти отношение площадей как коэффициент подобия в квадрате. Поэтому, найдя отношение сторон, мы сможем его промаксимизировать. Но через что выразить? Через стороны большого треугольника долго и некрасиво, а вот через радиус и угол - более чем! Подумайте лишь над тем, всегда ли одинаково все выражается.

Подсказка 3

При разных alpha размер стороны вырезанного треугольника выражается одинаково, вот только угол будет разный в зависимости от того, тупой ли треугольник, но синус остается неизменным. Осталось понять, как нам максимизировать функцию отношения… Но ведь она монотонна!

Показать ответ и решение

Пусть дан треугольник $ABC,$ $M$ — это середина $AB.$ Заметим, что максимальный по площади круг лежащий в данном треугольник является кругом, ограниченный вписанной окружностью. Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $α- β = 2$ и $r$ — радиус окружности.

$PIC$

Тогда половина основания можно вычислить из подобия $△ACM$ и $△CID$

AM CM -ID- = CD-

r AM sin-β + r --r = -rcosβ-- sinβ

AM = r(1c+ossinββ)-

Так как вырезаемый треугольник $△A ′B ′C ′,$ подобный исходному $△ABC,$ лежит внутри фиксированной окружности, то у него по крайней мере две вершины лежат на окружности, в противном случаи мы сможем увеличить площадь. Дальше рассмотрим два варианта:

Исходный треугольник $ABC$ остроугольный или прямоугольный, то есть тогда $β ≤45∘.$ Тогда треугольник $A ′B′C′$ будет вписан в вырезанную окружность.

$PIC$

В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна
$A′M′ = rsin2β$
Исходный треугольник $ABC$ тупоугольным, то есть тогда $β >45∘.$ Тогда треугольник $A′B ′C′$ будет расположен так, что $AB$ будет диаметром вырезанной окружности.

$PIC$

В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна
$′ ′ A M = r$

В итоге получаем

( ′ ′ |{r sin2β , β ≤45∘ A M = |( ∘ r , β >45

Тогда коэффициент подобия будет равен

( A′M′ |{ 2sinβ⋅(1− sinβ) , β ≤45∘ -AM- =|( -cosβ-- ∘ 1+ sinβ , β > 45

В силу подобия $△ABC$ и $△A ′B′C′$ и того, что площадь исходного треугольника была равна 1, получаем, что

( ′ ′)2 S(α )=S(2β)= A-M- AM

Функция убывает при $α∈ [60∘;120∘],$ то есть $β ∈ [30∘,60∘],$ поэтому

S = S (60∘)=(2sin30∘⋅(1− sin 30∘))2 = 1 max 4

∘ ( cos60∘ )2 √- Smin = S(120 )= 1+-sin60∘ = 7− 4 3

Ответ:

$1 ;7− 4√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45589Максимум баллов за задание: 7

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $6,$ а точка $C$ равноудалена от точек $A,B$ и $O$ . Другая окружность с центром $Q$ и радиусом $8$ описана вокруг треугольника $ACO$ . Найдите $BQ.$

Источники: Ломоносов-2020, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии много чего написано, но не особо понятно, как собрать все факты вместе и не погрязнуть в рисунке. Постепенно будем решать задачу. Внимательно посмотрим на отрезок, который нам надо найти. Он состоит в треугольнике с известными сторонами 6 и 8. О какой схеме решения тогда можно подумать, чтобы найти эту сторону?

Подсказка 2

Верно, ведь если мы будем знать угол напротив стороны, то легко найдём её по теореме косинусов. К тому же можно предположить, что это какой-то хороший угол. Вернёмся к условию. Нам дали замысловатую точку С. А не можем ли мы сказать, что это за точка в треугольнике?

Подсказка 3

Ага, это же "засекреченный" центр описанной окружности в треугольнике AOB. И из-за того, что он равнобедренный, мы даже знаем, где лежит точка С. Она располагается на серединном перпендикуляре. Хм... Какой тогда можно вспомнить факт, про вписанный и центральный угол?

Подсказка 4

Да, ведь центральный угол в два раза больше вписанного! Тогда получается, что OBA в два раза меньше OCA. Теперь давайте снова заглянем в условие и увидим, что мы ещё не пользовались точкой Q. Что можно сказать про пару треугольников ею образованных?

Подсказка 5

Верно, образуется пара равных треугольников по трём сторонам. Но тогда углы OCQ и OBA равны между собой. Осталось только вспомнить про высоту CO и понять, что угол QOB равен 90 градусам.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия вытекает, что

1) точка $C$ является центром описанной окружности треугольника $OBA,$ поэтому центральный угол $OCA$ вдвое больше угла $OBA;$

2) треугольники $OBC$ и $OCA$ равны по трём сторонам, поэтому $OC$ является биссектрисой равнобедренного треугольника $OBA,$ следовательно, и высотой;

3) треугольники $OCQ$ и $ACQ$ равны по трём сторонам, поэтому угол $OCQ$ в два раза меньше угла $OCA.$

Из пунктов $(1)$ и $(3)$ делаем вывод, что $∠OCQ = ∠OBA.$ С учётом пункта $(2)$ получаем, что $∠OCQ +∠BOC =90∘.$

Тогда $∠QOB = ∠QOC +∠BOC = ∠QCO +∠BOC = 90∘.$

По теореме Пифагора $QB = 10.$

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88173Максимум баллов за задание: 7

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$ . В большей окружности проведена хорда $AB$ , касающаяся меньшей окружности в точке $L$ . Найдите $BL,$ если $AL = 10$ и $AK :BK = 2:5.$

Источники: Ломоносов - 2011, 11.5 и Бельчонок - 2019, 11.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на картинку. Было бы очень удобно, если бы оказалось, что KL — биссектриса... Попробуем это доказать.

Подсказка 2

Пусть общая касательная к окружностям пересечет AB в точке S. Поотмечайте углы.

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.

Показать ответ и решение

Покажем, что $KL$ является биссектрисой угла $AKB$ (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим

BL- = BK--= 5 BL = 5⋅10= 25 AL AK 2 2

______________________________________________________________________________________________________

Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую $AB$ в точке $S.$ Пусть $∠SKA = α,∠AKL =β.$ Отрезки $SK$ и $SL$ равны как отрезки касательных, проведенных из точки $S$ к меньшей окружности, следоваетельно,

∠SLK =∠SKL = ∠SKA +∠AKL = α +β

По теореме об угле между касательной и хордой верно, что $∠KBA = ∠SKA = α.$ Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике $LKB,$

∠LKB = ∠KLA − ∠KBL = (α +β )− α = β

$PIC$

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $K,$ переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая $KL$ пересекает большую окружность в точке $W,$ тогда прямая $AB$ под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке $W.$ Таким образом, данная касательная паралельна $AB,$ то есть $W$ является серединой меньшей дуги $AB$ большей окружности.

$PIC$

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 3. Пусть $W$ — середина меньшей дуги окружности $AB$ большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке $W$ и радиусом $W A.$ Точки $A$ и $B$ под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая $AB$ переходит в окружность, проходящую через точки $A,$ $B,$ и центр окружности инверсии — $W,$ то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой $AB$ и гомотетична своему пробразу с центром в $W,$ то есть остается на месте, то есть точка $L$ перейдет в точку $K,$ а значит, прямая $KL$ проходит через центр инверсии — $W.$

$PIC$

Ответ: 25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#46041Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC,$ площадь которого равна $20,$ проведена медиана $CD.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если известно, что $√-- AC = 41,$ а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD,$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD.$

Источники: Ломоносов-2018, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала обозначим центр вписанной окружности △ACD как точку I. Тогда по условию BDIC — вписанный. Можем ли мы что-то сказать про углы BDIC? Например, угол DIC образован биссектрисами, он должен хорошо считаться через углы △ABC.

Подсказка 2

Конечно, он равен 90 + ∠A/2 (это несложно доказывается через сумму углов треугольника). Тогда, пользуясь свойством вписанного ч/у мы можем посчитать ∠B, он будет равен 90 - ∠A/2. Посчитаем для интереса оставшийся ∠C. Может быть, сможем что-нибудь сказать про △ABC.

Подсказка 3

Опа, а ведь ∠B = ∠C. Тогда △ABC равнобедренный. Это уже здорово! Ведь мы можем найти радиус описанной окружности по теореме синусов, а раз теперь имеем равнобедренный треугольник, то сможем скорей всего посчитать синус какого-нибудь угла! Тогда логичный ход — опустить высоту AH, H будет серединой BC. А теперь можно и составить кое-какие уравнения!

Подсказка 4

Первое уравнение, конечно, будет на площадь △ABC. А второе — теорема Пифагора для △AHB. Из получившейся системы найдём синус ∠B, задача решена! Не волнуйтесь, что получилось два ответа, так и должно быть)

Показать ответ и решение

Пусть $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$ . Тогда $AQ$ и $CQ$ — биссектрисы углов $DAC$ и $ACD$ соответственно, а по свойству вписанных углов имеем $∠DBQ = ∠DCQ$ . Значит, треугольники $ABQ$ и $ACQ$ равны (по стороне и двум углам), поэтому $AB = AC$ , т.е. треугольник $ABC$ равнобедренный.

$PIC$

Обозначив $BC = 2x$ , из условия на площадь треугольника $ABC$ получаем

x⋅∘41-− x2-=20

x4− (16+ 25)x2+ 42⋅52 =0

$x= 4$ или $x =5$ , причём оба найденных значения $x$ реализуются в условиях задачи: одно $(x= 4)$ получается для острого угла $BQC$ , а другое $(x= 5)$ — для тупого. Подставляя их в формулу для искомого радиуса описанной около треугольника $ABC$ окружности

√-- √-- R= AB-⋅AC-⋅BC- = -41⋅-41⋅2x= 41x, 4S 4⋅20 40

получаем два возможных ответа: $R = 4110-$ и $R = 481$ .

Ответ:

$41 8$ или $41 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91248Максимум баллов за задание: 7

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $A$ и $C,$ пересекаются на прямой $BD.$ Найдите $AD$ , если $AB = 2$ и $BC :CD = 4:5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А Вы случайно не знаете, что такое гармонический четырёхугольник? Если знаете, то задачка становится устной, однако если не знаете, не спешите расстраиваться! Подумайте про подобные треугольники на данной картинке.

Подсказка 2

Действительно, не так сложно догадаться, что △PAB ∼ △PDA, а также △PCB ∼ △PDC, затем надо применить теорему об отрезках касательных, проведённых из одной точки и аккуратно расписать отношения сторон, следующие из подобия.

Показать ответ и решение

Пусть касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точки $P.$

$PIC$

По свойству касательной получаем, что $∠PAB = ∠ADP$ и $∠PCB = ∠CDP.$ Следовательно, будет две пары подобных треугольников: $P AB$ и $ADP,$ $PCD$ и $CDP.$ Тогда из подобия получаем

AD PB DC PD AB- = AP- и BC-= CP-

Заметим, что $AP = CP,$ как касательные из одной точки, значит,

AD-= DC- AB BC

AD = AB ⋅ DC-= 2⋅ 5 = 5 BC 4 2

Замечание. Такие четырёхугольники как $ABCD,$ т.е. для которых верно, что произведения противолежащих сторон равны, называются гармоническими.

Ответ:

$5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#76408Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ точки $A ,B ,C − 1 1 1$ середины сторон $BC,AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$ , если известно, что сумма векторов

−−→ −−→ −−→ 3⋅AA1+ 4⋅BB1+ 5⋅CC1

равна вектору с координатами $(2,1).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самое главное в этой задаче — это удобно ввести обозначения. Пусть середина каждого из отрезков равна a, b, c. Но надо правильно выбрать направления. Почему треугольник в данном случае очень полезен?

Подсказка 2

Верно, если задать все направления по часовой стрелке, то просто сумма 2a+2b+2c=0, так как мы вернулись в начальную точку треугольника. А теперь нужно подставить в формулу из условия выражения через наши векторы. Попробуйте это сделать. Хорошо бы было получить в итоге просто один вектор, так как теперь нам будут известны его координаты. Но через какой удобнее всего будет выразить?

Подсказка 3

Да, вспомним в принципе условие задачи. Нам нужно найти длину стороны, а значит, через этот вектор и будет удобно выразить всю сумму(например, если AC = |2b|, то через b). Осталось только вспомнить, что через координаты вектора можно найти его длину, и победа!

Показать ответ и решение

Обозначив

−−→ ⃗ −→ −→ 2⃗a= BC, 2b= CA и 2⃗c= AB,

$PIC$

получаем

−→ 2⃗a+ 2⃗b+2⃗c= 0

−→ −−→ −−→ (2,1)= 3⋅AA1+ 4⋅BB1 +5 ⋅CC1 = 3(2⃗c+ ⃗a)+4(2⃗a +⃗b)+ 5(2⃗b+⃗c)=

⃗ ⃗ ⃗ =4(2⃗a+ 2b+ 2⃗c)+4(⃗a+b +⃗c)− (2⃗c+⃗a)+ (2b +⃗c)=

=−→0 + −→0 − (⃗a+ ⃗b+ ⃗c)+ 3⃗b= 3⃗b⇒

| | | | √-2--2- √- ⇒ AC = |2⃗b|= |||2⋅3⃗b|||=|||2 ⋅(2;1)|||= 2-2-+-1-= 2-5 3 3 3 3

Ответ:

$2√5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91249Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD,$ пересекающий $AC$ в точке $O.$ Найдите $AO$ , если $AB = 4,OC =6.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам могут дать прямые углы?

Подсказка 2

Через них можно доказать вписанность четырёхугольника в окружность.

Подсказка 3

Например, вписанным является HOCD. Рассмотрите окружность, описанную вокруг него.

Подсказка 4

Обратите внимание на секущие, проведенные из точки А.

Подсказка 5

Есть ли на картинке подобные треугольники?

Подсказка 6

Нас просят найти отрезок AO, обозначим его длину за x.

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $HOCD$ — вписанный, следовательно, произведения отрезков секущих, проведённых из одной точки равны:

AO ⋅AC =AH ⋅AD

Заметим, что треугольники $△ABH$ и $△ADB$ подобны $(∠BAD$ — общий, $∘ ∠AHB = ∠ABD = 90 ).$ Отсюда получаем, что

AH AB AB-= AD-

AH ⋅AD = AB2

2 AO ⋅AC = AB

Обозначим $AO = x,$ тогда $AC = x+ 6.$ Получаем, что

x(x+ 6)= 16

x2 +6x− 16= 0

x1 = 2, x2 = −8

Так как длина отрезка положительна, значит, $AO =2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91250Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ , где $BC ∥AD,$ а диагонали пересекаются в точке $O,$ на отрезке $BC$ выбрана такая точка $K,$ что $BK :CK = 2:3,$ а на отрезке $AD$ выбрана такая точка $M,$ что $AM :MD =3 :2.$ Найдите площадь треугольника $COD,$ если $AD = 7,BC =3,KM =6,$ a $1 cos∠CAD = 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана трапеция, а также некоторые отношения. Это явный намёк на подобные треугольники!

Подсказка 2

Проведите прямую KO и поймите, где она пересечет сторону AD.

Подсказка 3

Постройте CH перпендикулярно AD.

Подсказка 4

Выразите S(COD) через площади других фигур.

Показать ответ и решение

$PIC$

Вначале докажем, что отрезок $KM$ проходит через точку $O$ . Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны, а значит,

DO AO AD 7 BO- = CO-= BC-= 3

Проведём прямую $KO$ и обозначим точку её пересечения с отрезком $AD$ через $N$ . Треугольники $DON$ и $BOK$ подобны, а значит,

DN- = DO = NO-= 7 BK BO OK 3

Аналогично,

AN-= AO-= 7 CK CO 3

Поделим первое из этих равенств на второе и получим

DN- = BK- AN CK

т.е. точка $N$ совпадает с точкой $M$ , а значит, отрезок $KM$ совпадает с отрезком $KN$ и проходит через точку $O$ .

По условию

6 9 21 14 BK = 5;CK = 5;AM = 5 ;DM = 5

В силу подобия треугольников, $KO :OM = 3:7$ , откуда

9 21 KO = 5;OM = 5-

Найдем $AO$ из теоремы косинусов в треугольнике $AOM :$

OM2 =AM2 + AO2 − 2⋅AO ⋅AM ⋅cos∠CAM

42 AO = 25

Тогда $CO = 37AO = 1285$ , а $AC = 152$ . Высоту трапеции $CH$ можно найти из прямоугольного треугольника:

√- CH = ACsin∠CAD = 24-6 25

В силу подобия, высоты в треугольниках $AOD$ и $BOC$ равны, поэтому

-7 84√6 10CH = 125

3 36√6 10CH = -125-

Тогда можно найти площадь трапеции и площади треугольников $AOD$ и $BOC$ :

√- √ - SABCD = 1(3+ 7)24-6 = 24--6 2 25 5

7 84√6 294√6- SAOD = 2 ⋅-125 =-125-

√- √- SBOC = 3 ⋅ 36-6= 54-6 2 125 125

Поскольку в любой трапеции площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, окончательно получаем

√- SCOD = 1(SABCD − SAOD − SBOC)= 126-6 2 125

Ответ:

$126√6 125$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#43620Максимум баллов за задание: 7

В треугольник со сторонами $3,5$ и $6$ вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в точках $A,B$ и $C.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Обозначим через $K, L$ и $M$ вершины треугольника. Пусть точки $A,B$ и $C$ лежат на сторонах $KL = 3,LM = 5$ и $KM =6$ соответственно.

$PIC$

Из системы

( |{ KA +AL = 3 |( LB +BM =5 KC +CM = 6

с учётом свойства касательных получаем $AK = KC = 2,AL = LB = 1$ , $BM =MC =4.$

Тогда

SAKC AK KC 2 2 2 2 SKLM-= KL-⋅KM--= 3 ⋅6 = 9 ⇒ SAKC =9 SKLM SBCM- BM-- MC-- 4 4 -8 8- SKLM = LM ⋅KM = 5 ⋅6 = 15 ⇒ SBCM = 15SKLM SLAB-= LA-⋅ LB = 1⋅ 1 = 1-⇒ S = 1S SKLM LK LM 3 5 15 LAB 15 KLM

а значит,

SABC =S(KLM − SAKC − S)BCM − SLAB = = 1− 2− 8-− 1- SKLM = -8SKLM 9 15 15 45

Площадь треугольника KLM можно найти, например, по формуле Герона:

p = KL-+LM-+-KM--=7, SKLM = √7⋅4⋅2⋅1= 2√14 2

поэтому $√-- SABC = 164154.$

Ответ:

$16√14 45$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#68198Максимум баллов за задание: 7

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BO$ за точку $O$ пересекает описанную вокруг треугольника $ABC$ окружность в точке $D.$ Найдите угол $B,$ если $OD = 4AC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали прямую, проходящую через центр вписанной окружности, которая пересекает описанную окружность треугольника. Какую тогда теорему можно вспомнить, связанную с такой конструкцией?

Подсказка 2

Верно, здесь можно применить лемму о трезубце. Откуда поймём, что OD = AD =CD. Теперь взглянем внимательно на условие. Нам дали OD=4AC, и выходит, мы знаем все стороны в равнобедренном треугольнике ACD. Вспомним ещё, что сумма противоположных углов в четырёхугольнике равна 180. Как отсюда можно попробовать найти угол B? Какую тогда теорему можно применить к равнобедренному треугольнику ADC?

Подсказка 3

Ага, давайте посчитаем ∠ADC по теореме косинусов. Но мы знаем, что ∠ABC = 180− ∠ADC. Осталось вспомнить, чему равен косинус смежного угла, и победа!

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое решение.

Если $AC =a,$ то по лемме о трезубце $AD = DO = 4a =CD.$ Отсюда по теореме косинусов

2 2 2 cos∠ADC = 16a-+16a-−-a-= 31 2⋅4a⋅4a 32

Так как $ABCD$ — вписанный четырехугольник, то $∠ABC = 180∘− ∠ADC$ и $cos∠ABC = − 3312.$ Значит, $∠ABC = arccos(− 3312).$

Второе решение.

Пусть $M$ — середина $AC$ , тогда $∠DMC = 90∘$ , потому что треугольник $ACD$ равнобедренный. По лемме о трезубце $CD = OD = 4AC =8MC.$ Следовательно, $∠MDC = arcsin1 8$ . Далее нетрудно посчитать:

∠ABC =180∘− ∠ADC = 180∘− 2∠MDC =

( ) = 180∘− 2arcsin 1= 2arccos 1= arccos − 31 8 8 32

Ответ:

$2arccos1 =arccos(− 31) 8 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#89915Максимум баллов за задание: 7

Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$ . Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $L$ , причём $AL = 10$ . Найдите $BL$ , если $AK :BK =2:5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим за P и Q точки пересечения KA и KB с меньшей окружностью соответственно. Когда происходит касание окружностей, что бывает полезно провести?

Подсказка 2

Проведем общую касательную! Что можно сказать об углах, которые она образует с хордами?

Подсказка 3

Углы ∠PQK и ∠ABK равны! Как тогда связаны PQ и AB? Также подумаем, на что может намекать отношение AL:LВ в треугольнике ABК?

Подсказка4

PQ параллельно AB! Чем тогда является KL? ;)

Показать ответ и решение

Проведем хорду $PQ$ и общую касательную $MN$

$PIC$

Тогда

1 1 ∠PQK = 2 ⌣ PK = ∠PKM =2 ⌣ AK = ∠ABK,

поэтому $PQ ∥AB$ и $⌣ P L= ⌣ QL$ . Следовательно, $∠PKL =∠QKL$ , т.е. $KL −$ биссектриса треугольника $AKB$ , откуда получаем

AL-= AK-= 2 =⇒ BL =10⋅ 5 = 25 BL BK 5 2

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#79931Максимум баллов за задание: 7

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$ , а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE ∥BC$ и $EF ∥AB$ . Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF,$ если $BF :EF = 2:3?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте подобные треугольники.

Подсказка 2

А есть ли на данной картинке параллелограмм?

Подсказка 3

Как его площадь будет относиться к площади треугольника DEF? А как относятся площади подобных треугольников?

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырёхугольник $BDEF$ — параллелограмм, а треугольники $ADE$ и $EFC$ подобны треугольнику $ABC,$ так как $DE ∥BC$ и $EF ∥AB,$ с коэффициентами подобия, равными

DE-= --2x---= 2 и F-C = -2x---= 3 BC 2x+ 3x 5 BC 2x +3x 5

соответственно. Следовательно, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е. соответственно

SADE-= 4- и SEFC-= -9 SABC 25 SABC 25

Раз $BDEF$ — параллелограмм, то его площадь в два раза бальше площади $DEF$ , при чём площадь $BDEF$ можно посчитать, как разность площади исходного треугольника $ABC$ и суммы площадей треугольников $ADE$ и $EF C,$ в итоге

1 1 1 ( 4 9 ) 6 SDEF = 2SBDEF =2 (SABC − SADE − SEFC) =2 1− 25 − 25 SABC = 25SABC

Ответ:

$-6 25$