Стереометрия на Ломоносове

Пусть , и — основания перпендикуляров, опущенных из основания высоты пирамиды на стороны соответственно , и основания , причём , , .

По теореме о трёх перпендикулярах , и . Значит, , и — высоты боковых граней пирамиды. По условию задачи = = . Прямоугольные треугольники , и равны по катету и прилежащему острому углу, значит, , то есть точка равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника . Следовательно, – либо центр вписанной окружности этого треугольника, либо центр его вневписанной окружности. Обозначим . Заметим, что треугольник —прямоугольный ( ), причём . Пусть — радиус его вписанной окружности, а , и — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон , и соответственно, – площадь треугольника , – его полупериметр. Тогда

Если , , и — высоты пирамиды соответствующей каждому из рассмотренных случаев, то

Поскольку в каждом из этих случаев площадь основания пирамиды одна и та же, объём пирамиды максимален, если максимальна её высота. В свою очередь, максимальная высота соответствует максимальному из найденных четырёх радиусов, то есть . Поэтому

Но так как , , откуда , причем равенство достигается только если радиус равен , и .