Стереометрия на Ломоносове

Пусть сторона нижнего основания пирамиды равна сторона верхнего равна угол спуска равен а число пройденных граней равно

Будем считать, что первооткрыватель поднимался. Обозначим (пока неизвестные нам) величины — высоту постройки через угол наклона боковой стороны пирамиды к земле через Тогда

Посмотрим на пирамиду в проекции сверху.

Заметим, что рисунки на гранях подобны друг другу — поднимаясь, первооткрыватель будет проходить по каждой грани все меньшее расстояние, при том переход по следующей грани будет равен некоторому умноженному на длину перехода по предыдущей грани.

У нас есть трапеции с основаниями и и и и так далее. У последней трапеции верхнее основание будет равно следовательно,

Обозначим высоту, на которую первооткрыватель поднялся по первой трапеции, за Тогда из подобия следует, что за второй переход он добавит к высоте за третий — и так далее. Тогда

Нам известны все величины, кроме

Обозначим на пирамиде некоторые точки. Ребро основания, с которого начат подъем — это путь начат из Первый отрезок пути соединяет точки и на боковом ребре.

Из точки проведем в плоскости прямую, параллельно она пересечет другое боковое ребро в точке Получится трапеция с основаниями Точку ортогонально спроецируем на основание пирамиды — получим точку От точки в плоскости основания пирамиды проведем перпендикуляр к он пересечет в точке

Тогда угол равен так как R падает на диагональ квадрата, являющегося основанием пирамиды. а

Кроме того,

Треугольник прямоугольный, поэтому

Решим квадратное уравнение относительно

Положительным решением будет

По свойствам трапеции

то есть

Тогда

Вспомним, что

Так как

можем подставить Получим

где

По условию, В итоге

Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, 1-я и 2-я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица — ширина квадратика):

Маршрут жучка определяется его начальным положением и направлением его первого перемещения. Хотя всего таких вариантов их все можно разбить на принципиально различных групп:

1) Жучок стартует с центрального квадратика любой грани по направлению к любому ребру

2-3) Старт с углового квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

4-5) Старт с углового квадратика любой грани, а при первом перемещении жучок переползает на соседнюю грань, причем третья примыкающая грань остается соответственно справа или слева от него

6) Старт с приреберного квадратика любой грани по направлению к центру

7) Старт с приреберного квадратика любой грани с переходом на соседнюю грань при первом перемещении

8-9) Старт с приреберного квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

Заполним таблицу, в которой для каждой группы приведем пример маршрута в течение того времени, когда обнаруживается его периодичность, т.е. когда на какой-либо четной секунде жучок оказывается на начальном квадратике, а еще через с — на квадратике, где он был через с после начала движения.

В случае группы выберем для старта квадратик с первым перемещением и проследим весь маршрут, пока не обнаружим, что его период равен c (1-я колонка таблицы после двойной вертикальной черты).

Заметим, что через c после начала движения жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому для нее маршрут также будет иметь период с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому и для нее маршрут будет с периодом с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с имеем начальное состояние группы и получаем ее маршрут с периодом с из маршрута группы сдвигом на с.

Для остальных групп получаются кольцевые маршруты с периодом с, причем в течение одного периода жучок ни на одном квадратике не оказывается дважды.

Так как (остаток от деления на равен ) и (остаток от деления на равен то через с после начала движения жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала, а за с до этого — на том же квадратике, на котором он был через с после начала.

Как видно из таблицы, такое совпадение имеет место только для группы (квадратик Так как этот квадратик встречается на маршруте только дважды в течение периода ( с и с), следующее попадание на него произойдет через (с).

Пусть — центр окружности основания конуса, радиуса - центр одного из шаров радиуса — точка касания этого шара с плоскостью основания, — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса. Значит, из треугольника можем получить

Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного 11-угольника вписанного в окружность с центром в точке радиуса и стороной, равной Поэтому

Докажем, что грани пирамиды — равные треугольники. Для этого рассмотрим развёртку пирамиды , где

Пусть . Так как , то точки лежат на одной прямой. Так как , то — параллелограмм и . Аналогично — тоже параллелограмм. Треугольник равен треугольнику . Значит, грани пирамиды — равные треугольники.

Используя скалярное произведение, легко показать, что косинус угла между главной диагональю (осью луча) и любым ребром куба равен . Такое же значение имеет косинус угла между осью луча и нормалью к любой грани куба.

Изобразим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Площадь проекции на эту плоскость любой плоской фигуры, расположенной на какой-либо грани куба, равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между гранью и плоскостью проекции, т. е. на . Поэтому, вычислив площадь проекции освещённого участка куба и умножив её на , мы получим требуемый ответ.

Длина проекции любого ребра равна произведению длины ребра на косинус угла между ребром и плоскостью проекции или на синус угла между реброми осью луча, т. е. В случае, когда радиус луча не превышает радиуса вписанного в изображённый правильный шестиугольник окружности, проекция освещённого участка имеет площадь, равную Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен Таким образом, при площадь освёщенного участка равна Если радиус больше или равен радиусу описанной около шестиугольника окружности, то полностью освещены три грани куба, т. е. при площадь освещенного участка равна Рассмотрим случай Площадь проекции освещённого участка получается вычитанием из шести площадей сегментов, вылезающих за шестиугольник. Площадь каждого такого сегмента равна разности площадей соответствующих сектора и треугольника. Угол сектора равен Поэтому площадь сегмента равна

где а площадь освещённого участка равна

Отметим, что соотношение равносильно неравенству определяющему -й рассматриваемый случай. По условию имеем имеем

Рассмотрим сечение пирамиды проходящее через боковое ребро и апофему противоположной грани Тогда — высота пирамиды, расстояние от до прямой равно где а расстояние от до прямой равно где Обозначим и тогда и, пользуясь связью между высотой прямоугольного треугольника и его катетами, имеем

В итоге

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности.

Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Обозначим через радиус шара, а через и — середины рёбер и соответственно. Плоскость есть центральное сечение шара. Пусть — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен . Пусть — точка пересечения отрезков и .

Справедливы соотношения , где — центр шара. Если — проекция точки на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников и получаем

Тогда

Значит, . Площадь боковой поверхности

С одной стороны, диаметр шара не может быть меньше диагонали основания (квадрата со стороной 14) содержащейся в нем пирамиды, поэтому радиус искомого шара не меньше С другой стороны, шар радиусом с центром в точке пересечения диагоналей основания пирамиды содержит ее вершину, а с ней и всю эту пирамиду, так как ее высота равна

Пусть — площади треугольников соответственно, а — их высоты, опущенные на общее основание

Обозначим через , ортогональные проекции точек , соответственно на некоторую плоскость, перпендикулярную ребру

Точки и совпадают, причём

Учитывая, что и — медианы треугольников и , имеем

А так как площади пропорциональны высотам , с коэффициентом , получаем

 Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что и , получим, что проекция на плоскость перпендикулярна , то есть

Заметим, что середина гипотенузы - точка это центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Аналогично середина гипотенузы - точка - центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости в точке и перпендикуляр к плоскости в точке , то центр описанной окружности пирамиды - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости в точке совпадает с прямой . То есть точка и есть точка .

При этом на прямой (перпендикуляр к плоскости в точке ) будут лежать все в силу того, что - ГМТ точек равноудаленных от

То есть точка - центр треугольной пирамиды - опять-таки должна лежать на прямой

Хотелось бы добиться того, чтобы ( по очевидным причинам). Но тогда . То есть середина гипотенузы равноудалена от точек . Так же точка равноудалена от точек . Но тогда должен быть ромбом, при этом его диагональ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда . Значит, что , то есть

Пусть , и — основания перпендикуляров, опущенных из основания высоты пирамиды на стороны соответственно , и основания , причём , , .

По теореме о трёх перпендикулярах , и . Значит, , и — высоты боковых граней пирамиды. По условию задачи = = . Прямоугольные треугольники , и равны по катету и прилежащему острому углу, значит, , то есть точка равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника . Следовательно, – либо центр вписанной окружности этого треугольника, либо центр его вневписанной окружности. Обозначим . Заметим, что треугольник —прямоугольный ( ), причём . Пусть — радиус его вписанной окружности, а , и — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон , и соответственно, – площадь треугольника , – его полупериметр. Тогда

Если , , и — высоты пирамиды соответствующей каждому из рассмотренных случаев, то

Поскольку в каждом из этих случаев площадь основания пирамиды одна и та же, объём пирамиды максимален, если максимальна её высота. В свою очередь, максимальная высота соответствует максимальному из найденных четырёх радиусов, то есть . Поэтому

Но так как , , откуда , причем равенство достигается только если радиус равен , и .