Комбинаторика на Ломоносове: способы, логика, игры

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#77042Максимум баллов за задание: 7

Круг разбили на 4 равных сектора по $90∘$ . Сколькими способами можно его раскрасить, если есть 7 цветов и каждый сектор можно красить в любой цвет? Раскраски, которые совпадают при повороте круга, считать одинаковыми.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что будет, если раскраски, отличающиеся поворотом, считать за различные? А какие раскраски считаются несколько раз? Сколько?

Подсказка 2

Рассмотрим одноцветные раскраски, те, что переходят друг в другая поворотом на 180 градусов, и те, что невозможно поворотом перевести в самого себя. Хочется просто вычесть из общего количества повторы. Что может помешать?

Подсказка 3

Заметим, что некоторые раскраске при разборе случае посчитались дважды.

Показать ответ и решение

Если не отождествлять раскраски, отличающиеся поворотом, то их всего будет $74$ . Отнесём каждый из таких способов раскраски к одному из трех видов.

1) Одноцветные раскраски – их всего $7$ . (Каждый поворот на $∘ 90$ переводит их в себя)

2) Разноцветные раскраски с противоположными секторами одинакового цвета – их $7⋅6 2 =21$ , по числу способов выбора пары цветов из семи. (Каждый поворот на $∘ 180$ переводит такие раскраски в себя)

3) Прочие раскраски, не переходящие в себя ни при каком повороте.

Из общего числа $4 7$ , каждая раскраска первого типа считается $1$ раз, раскраска второго типа - по $2$ раза, и раскраска третьего типа - по $4$ раза. Отсюда можно найти число способов раскраски третьего типа. Это

74− 7− 2⋅21 -----4---- = 588

Тогда общее число способов раскраски, с учётом отождествлений, получается как сумма $7+21+ 588= 616$ .

Ответ: 616