Тема . Ломоносов

Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70323

Дано простое число $p.$ Решите в натуральных числах уравнение

2 2 x = y +2010p

Показать ответ и решение

$2010= 2⋅3⋅5⋅67;$

Преобразуем исходное уравнение

2 2 x − y = 2010p⇔ (x− y)(x +y)= 2⋅3⋅5⋅67

Заметим, что $x− y$ и $x+ y$ одинаковой четности, так как $x+ y = x− y+ 2y.$

Поэтому, так как $2010$ четно, обе скобки тоже должны быть четными. И тогда $p= 2,$ иначе

. (x− y)(x +y)..4,

но $2010p$ не кратно $4.$

Получаем

(x− y)(x+ y)= 22⋅3⋅5⋅67

Поскольку $x,y ∈ℕ,$ обе скобки положительные, а также $x +y > x− y.$

Следовательно, возможны только следующие случаи:

⌊ x− y = 2⋅3⋅5 и x+ y = 2⋅67 || x− y = 2⋅3 и x+ y = 2⋅5⋅67 ||⌈ x− y = 2⋅5 и x+ y = 2⋅3⋅67 x− y = 2 и x+ y = 2⋅3⋅5⋅67

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(82,52),(338,332),(206,196),(1006,1004)$ при $p= 2,$ иначе решений нет.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse