Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

Максимальное -значное натуральное число это Докажем, что оно подходит под условие.

Если тогда Сумма цифр у числа равняется Рассмотрим сумму цифр у Будем рассматривать такие что они не оканчиваются на так как нули не влияют на сумму цифр Соответственно переходов через разряд у нет.

Когда из вычитается число происходит следующее:

(a) У -го разряда числа занимается единица. Тогда у остальных младших разрядов вместо будет кроме последнего, у которого будет

(b) При вычитании числа в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из стоящей на том же разряде, они дадут кроме первого разряда, у которого в сумме будет

Тогда сумма цифр до -го разряда будет равняться

так как изначально было девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа будет равняться Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что

Тогда сумма цифр числа это

что совпадает со суммой цифр числа

Заметим, что

Аналогично,

Тогда

Значит, число целое, причем так как Отсюда а ответ равен

Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это Так как первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: в которой период равен 4. Тогда на 2022 месте будет цифра 6, так как Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят Тогда последняя цифра числа 8.

Так как , все делители числа имеют вид , где . При этом точными кубами являются числа вида , где , то есть . Таких чисел .

Сумма цифр равна .

Разложим 2020 на простые множители

Значит, если мы ищем число

то

Заметим, что у числа ровно 2020 делителей. Рассмотрим, какие еще числа подходят.

Какое-то , значит, либо и (этот случай нам не интересен), либо . Далее либо и (этот случай нам не интересен), либо .

Без ограничения общности . Тогда

Это выражение можно разложить как . Значит, либо какое-то и (этот случай нам не интересен), либо есть .

Тут остаются варианты, что или . Тогда минимальное либо , либо

(a) Искомые числа должны быть составлены из цифр , причём по критерию делимости на 3 в каждом числе сумма цифр не должна быть кратной трём. Цифры 1, 4 и 7 (назовём их цифрами множества ) при делении на 3 дают остаток 1, а цифры (цифры множества ) остаток 2. Значит, удовлетворяющее условию число должно быть составлено одним из следующих способов:

1) 4 цифры из множества — таких чисел ;

2) 4 цифры из множества — таких чисел ;

3) 3 цифры из множества и одна цифра из множества — таких чисел ;

4) 3 цифры из множества и одна цифра из множества — таких чисел .

Всего таких чисел .

(b) Для поиска общей суммы цифр всех этих чисел разобьём их на пары: второе число получается из первого заменой всех цифр по принципу

Например, число 1545 имеет пару 8454, число 5271 имеет пару 4728 , и т. д.

Сумма цифр любой пары равна , а число таких пар равно . Значит, искомая сумма всех цифр равна

Заметим, что нам подойдёт набор , в которым максимальным будет . Пусть нам удалось найти какой-то меньший ответ . Поделим числа на пары . Таких пар будет не более (пара нас тоже устроит), при этом в парах учтены все элементы, меньшие . Из каждой пары мы можем взять не более одного элемента, откуда с учётом чисел не больше . Значит, .

В качестве примера рассмотрим все нечетные числа из множества всего этих чисел Если какое-то делится на другое, то оно хотя бы в три раза больше, поскольку числа нечётны, но то есть такого быть не может. Теперь покажем, что каждому числу соответствует своя цепочка делителей из множества что их частное равно степени тройки. Отсюда сразу же будет следовать, что цепочки не пересекаются, и если нам удастся показать, что все числа бьются на эти цепочки, то больше выбрать нельзя — ведь тогда мы взяли хотя бы два числа из одной цепочки и одно кратно другому. Итак, достаточно показать, что для произвольного числа из множества найдётся такое число из что их отношение будет равно степени Выберем это произвольное число и будем умножать его на пока в какой-то момент мы получим но Тогда поскольку оно нечётно и при этом что и требовалось.

Обозначим Тогда При этом (иначе ) и (сумма цифр не превышает ). Из соотношения следует, что , т. е. делится на 3. Осталось подставить значения и 24 в и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с только при

a) Пусть в конце осталось число , оканчивающееся на цифру . Тогда после очередной операции станет равным

Равенство равносильно и, так как – цифра, то . Поэтому .

b) Заметим, что если число , тогда оно обязательно уменьшается: равносильно . (что для всегда верно). Из соотношения

следует, что число делится на тогда и только тогда, когда делится на . Поскольку стабилизация операции происходит на числе , то исходное число также должно делиться на

Найдём наименьшее -значное число, которое делится на . По малой теореме Ферма поэтому

Тогда число - наименьшее число, которое делится на нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры .

Первое решение.

При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на . Поскольку все выписанные числа были положительными, то получиться не может и если число было кратно , то вместо него останется цифра . Поэтому остаётся посчитать количество остатков каждого вида.

Заметим, что кратно , , тогда если взять числа от , до , то получится подряд набора вида , сумма всех полученных чисел будет равна Но мы не брали числа и , потому нужно вычесть из суммы , откуда и получаем ответ

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Число и сумма цифр числа при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел: , 2 , и так далее. Так как , то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число очень близко к “хорошему” числу . Умножим сначала число на . Получим

Теперь отнимем , чтобы получить исходное произведение. Получим

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

Пусть подарков первого вида , а второго — , тогда кратно 17, а спрашивают нас про . Заметим, что , то есть , так что такого случиться не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы

равен . По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор (, ) и получается (, ), откуда из целочисленности сразу следует, что делится на 17.

Пусть

– бесконечная десятичная дробь. При помощи деления столбиком найдём первую цифру после запятой: После стирания этой цифры получим число

Преобразуем исходное уравнение

Заметим, что и одинаковой четности, так как

Поэтому, так как четно, обе скобки тоже должны быть четными. И тогда иначе

но не кратно

Получаем

Поскольку обе скобки положительные, а также

Следовательно, возможны только следующие случаи:

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Пусть

Значит, на число делятся числа а следовательно и их разность Поэтому возможны лишь следующие случаи:

Так как числа делятся на то числа и — четные, значит, число тоже чётное. Следовательно, или Привидём примеры для этих двух случаев.

При должно быть

Этим условиям удовлетворяет, например, пара

При должно быть

Этим условиям удовлетворяет, например, пара

Разложим все НОКи:

Тогда из первого НОКа мы понимаем, что или содержит в своем разложении . Если кратно , то должен быть тоже кратен , но это не так. Тогда именно содержит в своем разложении .

Аналогично поймем, что входит в разложение .

Теперь мы уже знаем, что содержит и . может содержать еще 5 (именно в первой степени).

Приведем примеры для и :

В силу монотонности корня:

Откуда

Подставляя в исходное уравнение, получим

Заметим, что для верна оценка

а значит, и уравнение, то есть все являются корнями. Покажем, что других корней нет.

Пользуясь тем, что , где — дробная часть , получим

Так как область значений равна и , то из уравнения следует неравенство

А значит, только и могли подойти.

Обозначим тогда

где и то есть

Распределяя простые множители между и получаем всевозможные пары.