Тема Ломоносов

Теория чисел и десятичная запись на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91392

Найдите все трёхзначные числа $LOM--$ , состоящие из различных цифр $L,O$ и $M$ , для которых выполняется равенство

----- 2 LOM = (L +O +M ) + L+ O+ M

Показать ответ и решение

Обозначим $x= L +O +M.$ Тогда $LOM--=x(x+ 1).$ При этом $x≥ 10$ (иначе $x(x+ 1)< 100$ ) и $x ≤24$ (сумма цифр не превышает $9+ 8+ 7= 24$ ). Из соотношения $2 100⋅L+ 10⋅O+ M = x +L +O + M$ следует, что $2 x = 99⋅L +9 ⋅O$ , т. е. $x$ делится на 3. Осталось подставить значения $12,15,18,21$ и 24 в $x(x+ 1)$ и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с $x$ только при $x= 12.$

Ответ: 156

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82784

Пусть $S(n)$ обозначает сумму цифр натурального числа $n$ . Найдите наибольшее $85$ -значное натуральное число $n$ , удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ( $1≤ m ≤ n$ ) справедливы равенства $S(mn )= S(n)$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как нам искать максимальное подходящее число из 85значных чисел. Быть может, рассмотрим какие-нибудь большие числа и посмотрим, подходят ли они?

Подсказка 2

Докажем, что число 10^85 - 1 подходит. Посмотрим, что происходит при умножении на какое-то число, известно ли нам что-нибудь о его виде? О сумме цифр? Удобно рассматривать m без нулей на концах.

Подсказка 3

Что происходит, когда мы отнимаем от числа m * 10^85 число m? Удобнее всего рассмотреть вычитание столбиком.

Подсказка 4

У 86 -го разряда числа m * 10^85 занимается единица. Тогда у остальных младших 85 разрядов вместо 0 будет 9, кроме последнего, у которого будет 10. А что будет в ответе в этих разрядах? Какой будет сумма в этих разрядах?

Подсказка 5

Тогда сумма цифр до 86 -го разряда будет равняться 9*84 + 10 - S(m). Осталось лишь найти, чему будет равна сумма чисел в оставшихся разрядах!

Показать ответ и решение

Максимальное $85$ -значное натуральное число это $1085− 1.$ Докажем, что оно подходит под условие.

Если $85 n= 10 − 1,$ тогда $85 mn = m ⋅10 − m.$ Сумма цифр у числа $n$ равняется $9⋅85.$ Рассмотрим сумму цифр у $mn.$ Будем рассматривать такие $m,$ что они не оканчиваются на $0,$ так как нули не влияют на сумму цифр $mn.$ Соответственно переходов через разряд у $m$ нет.

Когда из $85 m ⋅10$ вычитается число $m$ происходит следующее:

(a) У $86$ -го разряда числа $85 m ⋅10$ занимается единица. Тогда у остальных младших $85$ разрядов вместо $0$ будет $9,$ кроме последнего, у которого будет $10.$

(b) При вычитании числа $m$ в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из $m,$ стоящей на том же разряде, они дадут $9,$ кроме первого разряда, у которого в сумме будет $10.$

Тогда сумма цифр до $86$ -го разряда будет равняться

9⋅84+10− S(m),

так как изначально было $84$ девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа $mn$ будет равняться $S(m − 1).$ Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что $S(m − 1)= S(m)− 1.$

Тогда сумма цифр числа $mn$ это

9⋅84 +10− S(m )+S (m − 1)= 9⋅84+ 10− 1 =9 ⋅85,

что совпадает со суммой цифр числа $n.$

Ответ:

$99...9 ◟ ◝8◜5-◞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67941

Обозначим через $s(n)$ число цифр в десятичной записи натурального числа $n.$ Найдите сумму

2023 2023 s(2 )+s(5 )

Источники: Ломоносов-2023, 11.5(см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что количество цифр в числе n, это такое k, что 10ᵏ > n > 10ᵏ⁻¹. А какую еще знакомую нам функцию можно связать с k?

Подсказка 2

Логарифм! И правда, ведь получается, что k > log₁₀(n) > k-1. Тогда получается, что k = log₁₀(n) + a, где 0 < a < 1. Как теперь выражается искомая сумма?

Подсказка 3

Получается, что наша сумма это log₁₀(2²⁰²³) + log₁₀(5²⁰²³) + a+b = 2023 + a + b, где 0 < a+b < 2. Остается вспомнить, что количество цифр - это целое число, и станет понятно чему равно a+b!

Показать ответ и решение

Заметим, что

2023 2023 s(2 )= lg(2 )+a =2023lg2+ a, где 0< a< 1

Аналогично,

2023 2023 s(5 ) =lg(5 )+b =2023lg5 +b, где 0< b< 1

Тогда

s(22023)+ s(52023)= 2023(lg2+ lg 5)+ a+ b= 2023+ (a+b)

Значит, число $(a+ b)$ целое, причем $0< a+ b< 2,$ так как $0< a< 1,0 <b <1.$ Отсюда $a +b= 1,$ а ответ равен $2024.$

Ответ:

$2024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70488

Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?

Источники: Ломоносов-2022, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте, для начала поймем, какие двузначные числа делятся на 19 или 23. Это числа 19,38,57,76,95 и 23,46,69,92. Значит, если число начинается на 4, то за ним идет цифра 6, так как никакое другое число двузначное и делящееся на 19 или 23, не начинается с 4. А что будет идти после 6? А дальше? А можем обобщить?

Подсказка 2

По аналогичным соображениям, дальше будет идти цифра 9, а вот после нее либо 2, либо 5. Если идет 2, то дальше 3, после 8, а вот дальше ничего не может идти. Упс. Значит, после 9 может идти только 5. После него идёт 7, потом 6, потом 9, а потом, ого, опять 5! А что тогда это значит?

Подсказка 3

Верно, что наша последовательность цифр зациклилась! При этом, у неё предпериод равен 46, а период 9576. Значит, мы можем найти любое число этой последовательности. А значит, и 2022 тоже!

Показать ответ и решение

Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это $23,46,69,92.$ Так как первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: $2− 3− 8 −$ дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: $5− 7− 6 − 9− 5− 7− 6$ и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: $4− 6− 9− 5− 7− 6− 9− 5− 7 − ...,$ в которой период равен 4. Тогда на 2022 месте будет цифра 6, так как $2022 =1+ 4⋅505+1.$ Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят $2 − 3− 8.$ Тогда последняя цифра числа 8.

Ответ: 6 или 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88271

Сколько существует делителей числа $20212021$ , кубический корень из которых является натуральным числом?

Источники: Ломоносов - 2021, 9 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Так как $2021= 43⋅47$ , все делители числа $20212021$ имеют вид $43α⋅47β$ , где $α,β ∈[0;2021]$ . При этом точными кубами являются числа вида $3n 3k 43 ⋅47$ , где $3n,3k∈ [0;2021]$ , то есть $n,k ∈[0;673]$ . Таких чисел $2 674 = 454276$ .

Ответ:

$6742 = 454276$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31221

Найдите сумму цифр числа

63 25 106 22 44 105 2 ⋅4 ⋅5 − 2 ⋅4 ⋅5 − 1

Источники: Ломоносов-2020, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать сумму первых двух слагаемых, вынеся максимальную степень числа 10.

Подсказка 2

Теперь у вас получилось число 1248*10^105-1, распишите первое слагаемое в десятичном виде и подумайте, что будет, если вычесть из этого единицу. Как поймете-можно смело считать сумму цифр!

Показать ответ и решение

113 106 110 105 105 105 8 5 2 5 − 2 5 − 1= 2 ⋅5 (2 ⋅5 − 2 )− 1 =

105 7 5 105 = 10 ⋅(2 ⋅10− 2)− 1= 10 (1280− 32)− 1=

= 1248 ⋅10105 − 1= 12479...9 ◟ ◝10◜5 ◞

Сумма цифр равна $1+ 2+ 4+ 7+9 ⋅105= 959$ .

Ответ:

$959$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91460

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно $2020$ различных натуральных делителей.

Показать ответ и решение

Разложим 2020 на простые множители. $2020= 22 ⋅5 ⋅101$ . Значит если мы ищем число $n = pα1...pαk 1 k$ , то $(α + 1)...(α +1)= 22⋅5⋅101 1 k$ . Заметим, что у числа $100 4 3 2 ⋅3 ⋅5$ ровно 2020 делителей. Рассмотрим какие еще числа подходят.

Какое-то $.. αi+1.101$ , значит либо $αi ≥ 201$ и $201 2 n ≥ 2 > 2 ⋅5 ⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $αi =100$ . Далее либо $pi ≥3$ и $100 2 n≥ 3 > 2 ⋅5⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $pi = 2$ . НУО $i= 1$ .

Тогда $2 (α2+ 1)...(αk +1)= 2 ⋅5$ . Это выражение можно разложить как $2 2 ⋅5 =4 ⋅5 =2 ⋅10= 20$ . Значит либо какое-то $αj + 1≥ 10$ и $100 9 100 4 3 n ≥2 ⋅3 >2 ⋅3 ⋅5$ (этот случай нам не интересен), либо есть $αj = 4$ .

Тут остается варианты, что $2 (α1+1)...(αk+ 1)=2 ⋅5⋅101$ или $4 ⋅5 ⋅101$ . Тогда минимальное $n$ либо $100 4 3 2 ⋅3 ⋅5$ , либо $100 4 2 ⋅3 ⋅5⋅7.$

Ответ:

$2100 ⋅34⋅53$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48591

Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?

Источники: Ломоносов-2017, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вообще в любой задаче на оценку+пример, если сразу не видно решения, стоит попробовать найти какой-то приятный(по тем или иным причинам) пример, который является достаточно оптимальным и при этом понятно как его строить. Попробуйте покрутить задачу и построить понятный пример, основываясь на том, что может выйти такая ситуация, что сумма двух минимальных больше максимального.

Подсказка 2

Существует такой пример(который основывается на идее пред. подсказки): {2016,2017,….,4032}. Он, очевидно, подходит. Осталось доказать оценку на 4032. В предыдущем пункте мы взяли именно наибольшее число. Во-первых, потому что оно понятное, то есть это не какое-то там число, которое не понятно где стоит, а самое наибольшее. Во-вторых, как-будто именно с ним и может быть больше всего проблем, так как именно его можно получить наибольшим кол-вом способов и именно оно дает нам больше всего запретов на некоторые пары чисел в наборе.

Подсказка 3

Думается, нужно попробовать как-то разбить на пары , в соответствии с максимальным числом набора, остальные числа, и получить желаемую оценку. Вот если у нас число максимальное 2023 , к примеру, то можем ли мы взять 1 и 2022 , оба числа? А допустим 4 и 2019? 1022 и 1001? Видите закономерность? А если наибольшее число - это А?

Подсказка 4

Да! Если наибольшее число-это А, то мы не можем одновременно взять x и A-x! Значит нужно при доказательстве оценки разбивать числа на пары вида x и A-x. Из каждой пары тогда можно взять не больше одного(и это мы используем только противоречие с наибольшим числом, а в теории два каких-то числа в сумме могут дать не наибольшее). Попробуйте построить на этом доказательство оценки(напомню, что вы хотите доказать, что А>=4032, то есть предполагать нужно обратное).

Показать ответ и решение

Заметим, что нам подойдёт набор ${2016,2017,...4032}$ , в которым максимальным будет $4032$ . Пусть нам удалось найти какой-то меньший ответ $A≤ 4031$ . Поделим числа на пары $(1,A− 1),(2,A − 2),...$ . Таких пар будет не более $4031 ⌊ 2 ⌋= 2015$ (пара $(A∕2,A∕2)$ нас тоже устроит), при этом в парах учтены все элементы, меньшие $A$ . Из каждой пары мы можем взять не более одного элемента, откуда с учётом $A$ чисел не больше $2016$ . Значит, $A ≥ 4032$ .

Ответ:

$4032$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37483

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016,$ чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое выбранное?

Источники: Ломоносов-2016, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте обратим внимание на то, что все числа нечетные! И если одно из них делится на другое, что эти два условия значат в сумме? Какой минимум может получиться в отношении этих двух чисел?

Подсказка 2!

2) Отлично, 2 не может быть, значит это будет 3. Теперь заметим, что числа образуют своеобразные цепочки... 17, 17*3, 17*3*3..... Что мы можем о них сказать?

Подсказка 3!

3) Верно, они не пересекаются! Осталось сделать оценку.... И построить пример!

Показать ответ и решение

В качестве примера рассмотрим все нечетные числа из множества $A = {673,675,...2015},$ всего этих чисел $672.$ Если какое-то делится на другое, то оно хотя бы в три раза больше, поскольку числа нечётны, но $2015∕673< 3,$ то есть такого быть не может. Теперь покажем, что каждому числу соответствует своя цепочка делителей из множества $B ={1,...671},$ что их частное равно степени тройки. Отсюда сразу же будет следовать, что цепочки не пересекаются, и если нам удастся показать, что все числа бьются на эти цепочки, то больше $672$ выбрать нельзя — ведь тогда мы взяли хотя бы два числа из одной цепочки и одно кратно другому. Итак, достаточно показать, что для произвольного числа из множества $B$ найдётся такое число из $A,$ что их отношение будет равно степени $3.$ Выберем это произвольное число $x$ и будем умножать его на $3,$ пока $k x⋅3 ≤671,$ в какой-то момент мы получим $m x⋅3 >671,$ но $m−1 m x ⋅3 ≤671 =⇒ x⋅3 ≤ 3⋅671 =2013∈ A.$ Тогда $m−1 3 ⋅x∈ B,$ поскольку оно нечётно и при этом $m 671< x⋅3 ≤2013,$ что и требовалось.

Ответ:

$672$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#75749

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Нам говорят, что числа у Маши перестали меняться - намекают на уравнение! Попробуйте его составить, грамотно обозначив число, получившееся у Маши.

Пункт а), подсказка 2

Подумайте, как часто такое уравнение имеет решение, если одна из наших переменных - цифра

Пункт б), подсказка 1

Изначально у нас было какое-то гигантское число, а стало 17 ⇒ число уменьшилось. Это произошло из-за того, что у Маши было какое-то специальное число? Или так всегда происходит?

Пункт б), подсказка 2

Верно, большое число всегда уменьшается после применения такой операции. Мы должны получить 17 в какой-то момент, надо бы понять что-то про изначальное число из этого. А какое число могло быть у Маши перед тем, как она получила 17? Видите что-то общее у этих чисел?

Пункт б), подсказка 3

Давайте попробуем доказать в общем виде, что если получилось число, делящееся на 17, то и до этого число делилось на 17. Попробуйте связать (10x + y) и (3x + 2y) так, чтобы там фигурировало 17.

Пункт б), подсказка 4

Можно заметить, что если к 3х + 2y добавить 17x, получится 2(10x + y). То есть изначальное число должно делиться на 17, надо просто найти наименьшее такое ⇒ надо взять 10²⁰¹⁴ и добавить к нему недостающий остаток

Пункт б), подсказка 5

17 - простое число. Помните теорему, помогающую найти остаток от деления на простое число?

Пункт б), подсказка 6

Конечно, это Малая теорема Ферма! Остаётся только представить 2014 в виде 16k + r, и задачка убита!

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#84806

Найдите все пары натуральных $m, n$ , таких, что

НО Д(m, n)=2015!, a НОК (m,n)= 2016!

Замечание.

Пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются как одна пара.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала посмотрим на НОД(m, n), что мы тогда можем сказать про сами m, n?

Подсказка 2

Верно, они оба делятся на 2015! А что тогда нам говорит НОК(m, n)?

Подсказка 3

Да, то, что между m, n раскиданы как-то степени простых чисел, произведение которых равно 2016. Остаётся только перебрать все такие варианты, не забывая о том, что ничего общего между m, n, кроме 2015!, нет, и радоваться победе над задачей!

Показать ответ и решение

Обозначим $d= НОД (m,n) =2015!,$ тогда

m =dk, n =dl,

где $НОД(k,l)= 1$ и $НОК (k,l)= 2016,$ то есть

5 2 kl=2016= 2 ⋅3 ⋅7

Распределяя простые множители между $k$ и $l,$ получаем всевозможные пары.

Ответ:

$(2015!,2016!),(2015!⋅25,2015!⋅32⋅7),(2015!⋅32,2015!⋅25 ⋅7),(2015!⋅7,2015!⋅25⋅32)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#48589

Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от $2$ до $2015.$ Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришла Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось $2014$ однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?

Источники: Ломоносов-2014, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хмм… В задаче фигурирует число и его сумма цифр… А что мы знаем про число и его сумму цифр?

Подсказка 2

Верно! Что они сравнимы по модулю 9. То есть если мы возьмем число, а потом заменим его, на его сумму цифр, то остаток mod 9 не поменяется. А если еще раз так сделаем? А еще? Что тогда в конечном итоге останется от изначального числа?

Подсказка 3

Да, останется остаток числа при делении на 9. Для всех чисел. Остается теперь правильно посчитать сумму остатков чисел от 2 до 2015 и задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на $9$ . Поскольку все выписанные числа были положительными, то $0$ получиться не может и если число было кратно $9$ , то вместо него останется цифра $9$ . Поэтому остаётся посчитать количество остатков каждого вида.

Заметим, что $2016$ кратно $9$ , $2016 9 = 224$ , тогда если взять числа от $1$ , до $2016$ , то получится $224$ подряд набора вида ${1,2,...9}$ , сумма всех полученных чисел будет равна $45⋅224.$ Но мы не брали числа $1$ и $2016$ , потому нужно вычесть из суммы $10$ , откуда и получаем ответ $45⋅224− 10 =10070.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Число $a$ и сумма цифр числа $a$ при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел: $2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,...,9,1$ , 2 , и так далее. Так как $2014 =9 ⋅223+ 7$ , то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна

(1+ 2+ ...+ 9)⋅224− 1− 9 =45⋅224− 10 =10070

Ответ:

$10070$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31220

Найдите сумму цифр числа $4...4⋅9...9 ◟2 ◝0◜12 ◞ ◟2 ◝0◜1 ◞2$ .

Источники: Ломоносов-2013, 9.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обычно, когда сок в магазине стоит 99 рублей, а покупаем мы 4 таких, то мы умножаем 4 не на 99, а на 100, но потом вычитаем сдачу. Применим этот лайфхак здесь

Подсказка 2

Да, получится выражение вида 4…4 * (10…0 - 1), а как там в столбик вычитать?

Подсказка 3

Получим число, в котором на месте остались 2011 первых четверок, одна четверка стала тройкой, а тут остается лишь посчитать)

Показать ответ и решение

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число $9◟.2.◝◜01.29◞$ очень близко к “хорошему” числу $10◟2. ◝0..◜120 ◞$ . Умножим сначала число $4◟. ◝20.◜1.42◞$ на $10◟. ◝20.◜1.02◞$ . Получим

4◟. ◝..◜4 ◞0◟..◝◜.0◞. 2012 2012

Теперь отнимем $4◟..◝◜.4◞ 2012$ , чтобы получить исходное произведение. Получим

4...435...56. ◟ ◝20◜1 ◞1 ◟2◝◜011◞

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

4⋅2011+3 +5⋅2011+6 =9 ⋅2011+ 9= 9⋅2012= 18108.

Ответ:

$18108$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31287

В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?

Источники: Ломоносов-2012, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть подарков первого типа a, а второго типа - b. Тогда пряников всего 4a + 3b, а конфет - 9a + 11b. И мы также знаем, что все пряники можно распределить на 17 детей. Что это значит на языке остатков?

Подсказка 2

Это означает, что 4a+3b = 0 по модулю 17. Попробуем выразить a через b по модулю 17: 4a = -3b (mod 17). Вот на что теперь можно умножить это выражение, чтобы слева вышло просто a?

Подсказка 3

Можно на -4) Получится -16a = 12b (mod 17), что равносильно a = 12b (mod 17). Теперь осталось подставить это равенство в выражение 9a+11b и найти его по модулю 17)

Показать ответ и решение

Пусть подарков первого вида $x$ , а второго — $y$ , тогда $a =4x+ 3y$ кратно 17, а спрашивают нас про $b=9x +11y$ . Заметим, что $2a+ b= 17(x+ y)$ , то есть $2a+ b ≡170=⇒ b ≡170$ , так что такого случиться не может.

Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы

( ) 4 9 3 11

равен $17$ . По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор ( $x$ , $y$ ) и получается ( $17m$ , $n$ ), откуда из целочисленности $x$ следует, что $11⋅17n− 3⋅m$ делится на 17.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#96561

Электронные часы показывают время в стандартном формате (например, $20:27$ ). Найдите наибольшее возможное значение произведения цифр на таких часах.

Показать ответ и решение

Пример: Пусть время $19:59,$ тогда произведение цифр равно $1⋅9⋅5⋅9= 405.$

Оценка: Максимальное произведение цифр в минутах достигается в 59 минут, так как минут всего 60. Разряд десятков в часах может начинаться либо с 1, либо с 2. Если начинается с 2, то в разряде единиц максимальная цифра 3, тогда произведение часов $2⋅3= 6.$ Если же с единицы, то максимальное произведение часов будет $1⋅9= 9> 6.$

Ответ:

405

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43619

Число $1711 2011$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?

Показать ответ и решение

Пусть

1711 2011 = 0,α1α2α3...

– бесконечная десятичная дробь. При помощи деления столбиком найдём первую цифру после запятой: $α1 = 8.$ После стирания этой цифры получим число

1711 17110− 8⋅2011 1022 0,α2α3 ...= α1,α2α3...− α1 = 10⋅2011-− 8 =---2011----= 2011

Ответ:

$1022 2011$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#70323

Дано простое число $p.$ Решите в натуральных числах уравнение

2 2 x = y +2010p

Показать ответ и решение

$2010= 2⋅3⋅5⋅67;$

Преобразуем исходное уравнение

2 2 x − y = 2010p⇔ (x− y)(x +y)= 2⋅3⋅5⋅67

Заметим, что $x− y$ и $x+ y$ одинаковой четности, так как $x+ y = x− y+ 2y.$

Поэтому, так как $2010$ четно, обе скобки тоже должны быть четными. И тогда $p= 2,$ иначе

. (x− y)(x +y)..4,

но $2010p$ не кратно $4.$

Получаем

(x− y)(x+ y)= 22⋅3⋅5⋅67

Поскольку $x,y ∈ℕ,$ обе скобки положительные, а также $x +y > x− y.$

Следовательно, возможны только следующие случаи:

⌊ x− y = 2⋅3⋅5 и x+ y = 2⋅67 || x− y = 2⋅3 и x+ y = 2⋅5⋅67 ||⌈ x− y = 2⋅5 и x+ y = 2⋅3⋅67 x− y = 2 и x+ y = 2⋅3⋅5⋅67

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(82,52),(338,332),(206,196),(1006,1004)$ при $p= 2,$ иначе решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80194

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n,$ если при увеличении числа $m$ на $6$ он увеличивается в $4$ раза?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ага, нам в условии даны НОДы, значит, нужно смотреть на делители чисел, для которых мы знаем НОД. Обратите внимание, что m делится на d, а m + 6 делятся на 4d. Подумайте, как с помощью этого мы можем оценить d.

Подсказка 2

m и m + 6 делятся на d, следовательно, их разность тоже делится на d. Какие значения может принимать d?

Подсказка 3

Не забудем про то, что m + 6 и n делятся на 4, значит, m и n – четные. Что тогда можно сказать про d?

Подсказка 4

d – четное натуральное число, которое является делителем числа 6. Осталось найти пример на d = 2 и d = 6.

Показать ответ и решение

Пусть

Н ОД(m,n)= d, НОД (m + 6,n)= 4d

Значит, на число $d$ делятся числа $m + 6,m,$ а следовательно и их разность $m +6− m = 6.$ Поэтому возможны лишь следующие случаи: $d =1,d= 2,d =3,d= 6.$

Так как числа $m +6,n$ делятся на $4,$ то числа $m$ и $n$ — четные, значит, число $d$ тоже чётное. Следовательно, $d =2$ или $d= 6.$ Привидём примеры для этих двух случаев.

При $d= 2$ должно быть

НОД (m,n)= 2, Н ОД(m+ 6,n)=8

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =8,m =10.$

При $d= 6$ должно быть

Н ОД(m,n)= 6, НОД (m + 6,n)= 24

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =24,m =18.$

Ответ: 2 и 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#34157

Натуральные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что $НО К(a,b)= 90$ и $НОК(a,c)= 120$ . Найдите $НОК(b,c)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу же раскладываем результат НОКов на степени простых чисел, потому что именно они влияют на НОК, заметьте, что НОК от двух чисел обязательно говорит о том, что какая-то степень простого точно содержится хотя бы в одном из двух чисел, а ещё, что "a" участвует аж в двух известных нам произведениях, может стоит вести рассуждения про него?

Подсказка 2

Посмотрите, на то, что в одном НОКе есть простое число в большей степени, чем в другом, в каком тогда числе оно содержится?

Подсказка 3

Точно не в "a", потому что иначе оба НОКа содержали бы его, так мы понимаем, что именно "b" делится на 3², подумайте, а в каком числе содержится 2³?

Подсказка 4

Верно, в "c", а что мы можем сказать про 5? До этого мы получали необходимые условия, которые как-то фиксировали наши выражения, если же мы не сможем найти новые условия, то может стоит найти примеры, которые подтверждают то, что наши случаи возможны, а если перебрать все такие, то наша задача станет решена!

Показать ответ и решение

Разложим все НОКи:

2 3 НОК(a,b)= 90= 2⋅3 ⋅5,НО К(a,c)= 120 =2 ⋅3⋅5.

Тогда из первого НОКа мы понимаем, что $a$ или $b$ содержит в своем разложении $32$ . Если $a$ кратно $32$ , то $НОК (a,c)=120$ должен быть тоже кратен $32$ , но это не так. Тогда именно $b$ содержит в своем разложении $32$ .

Аналогично поймем, что $23$ входит в разложение $c$ .

Теперь мы уже знаем, что $НО К(b,c)$ содержит $32$ и $23$ . $НО К(b,c)$ может содержать еще 5 (именно в первой степени).

Приведем примеры для $НОК (b,c) =23⋅32 = 72$ и $НОК (b,c)= 23⋅32⋅5= 360$ :

2 3 1)a= 5,b =2⋅3 ,c=2 ⋅3,

2 3 2)a= 1,b =2⋅3 ⋅5,c=2 ⋅3⋅5.

Ответ: 72 или 360

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32159

Найдите все натуральные значения $n,$ удовлетворяющие уравнению

∘ ---2--- ∘ ---2--- 2004[n 1002 + 1]=n[2004 1002 + 1].

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно взгляните на правую часть – как бы всё страшно не выглядело, тут у нас под целой частью стоит конкретное число. Так почему бы эту целую часть просто не посчитать? Корень из 1002^2+1 – это 1002 с копейками, но вопрос в том, насколько большие эти копейки

Подсказка 2

Есть честный способ для подсчёта целой части: обозначьте её за k, и тогда то, что внутри ≥k и <k+1 – из такого вот двойного неравенства и найдётся k (подставьте вместо k то, чему вы желаете, чтобы оно было равно, и убедитесь, что двойное неравенство выполнено)

Подсказка 3

Возвращаемся к нашему уравнению! Теперь мы можем сократить на 2004 и получить уравнение с одной целой частью. Внутри целой части выражение очень похоже на то, чему целая часть равна. Так что нам нужно просто найти такой момент, когда n уже настолько большое, что унесёт выражение до следующей целой части. То есть момент, когда аргумент целой части больше либо равен тому, чему целая часть равна + 1 – получается обычное квадратное неравенство! Всё до этого момента нам подойдёт. Помните, что n у нас натуральное, решайте неравенство, и задачка убита!

Показать ответ и решение

В силу монотонности корня: