Тема . СПБГУ

Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103213

Даны числа $x,y,z ∈ [0,π]. 2$ Найдите максимальное значение выражения

3∘------- 3∘ ------- √3------- A = sinx cosy+ sinycosz+ sinzcosx.

Источники: СПБГУ - 2020, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся неравенством

3 ( 3 3 3) (a+ b+ c) ≤ 9 a +b + c при a,b,c≥ 0.

Тогда с учетом неравенства Коши для средних

3 9 ( 2 2 2 2 2 2 ) 27 A ≤ 9(sin xcosy+ sinycosz+ sinzcosx)≤ 2 sin x +cos y+sin y +cosz +sin z +cosx = -2

откуда $3 A ≤ 3√2.$ Равенство реализуется при $π x= y = z = 4.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любого $t$

√ - ( ) √- sin t+cost= 2⋅sin t+ π ≤ 2. 4

В силу неравенства Коши для средних

√ -------- ∘ ---------√-- √- √36-⋅ 3 sinu⋅cosv =3 3sinu ⋅cosv⋅-22-≤sinu+ cosv+-22-. 2

Применим эту оценку при $(u,v)∈{(x,y),(y,z),(z,x)}$ и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда

√- √- √- 3A- 3-2 √- 3-2 9-2 6√2 ≤sin x+ cosx+ siny+ cosy +sin z+cosz+ 2 ≤ 3 2+ 2 = 2 ,

откуда $3-- A ≤ 3√2.$ Равенство реализуется при $π x= y = z = 4.$

Ответ:

$-3√- 32$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse