Тема СПБГУ

Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122421

Вещественные числа $a,b$ и $c$ удовлетворяют условию $a2+ b2+c2 = 6.$ Найдите наибольшее значение выражения $ab+ bc− ca.$

Источники: СПбГУ - 2025, 11.2(см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма квадратов чисел и сумма их попарных произведений с какими-то знаками — выражения, которые друг с другом хорошо сочетаются. Быть может, стоит как-то оценить ab + bc - ca сверху с помощью суммы квадратов?

Подсказка 2

Домножьте ab + bc - ca на 2, чтобы произведения получились удвоенными. А что если сравнить это выражение с суммой квадратов?

Показать ответ и решение

При $a= c= 1$ и $b=2$ имеем

ab+ bc− ca= 1⋅2+ 2⋅1− 1⋅1= 3

Докажем, что $ab+ bc− ca≤ 3.$ Для этого, умножив обе части на $2$ и применив условие, покажем, что $2ab+2bc− 2ca≤ a2+ b2+ c2$ или, что то же самое, $2b(a+ c)≤b2+ (a+c)2.$ Но это следствие неравенства о средних для двух чисел: $x2+y2 ≥ 2xy.$ Ч.Т.Д.

Ответ:

$3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67959

Сумма положительных чисел $a,b,c$ и $d$ не превосходит $4.$ Найдите наибольшее значение выражения

∘4------- ∘4------- 4∘------- 4∘------- a(b +2c)+ b(c+ 2d)+ c(d +2a)+ d(a+ 2b)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дано условие на сумму чисел, а тут стоят какие-то корни с произведениями...Тогда может стоит использовать неравенство о средних? Но просто используя нер-во о средних для двух сомножителей, ничего не выходит хорошего. На что стоит обратить внимание: у нас корень 4 степени, а множителей всего два...

Подсказка 2

Тогда нужно найти еще два множителя) И второе: хочется, чтобы максимум достигался при всех единичках. С помощью этого можно подобрать числа, которые надо вставить внутри корня, чтобы получилось хорошее нер-во)

Показать ответ и решение

Первое решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем

∘ ------- ∘43a-(b+-2c)⋅3⋅3- 1 3a+ b+ 2c+6 4 a(b+ 2c)= -----√433----- ≤ 4√33 ⋅----4-----

Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что

4∘a(b+2c)+ 4∘b(c+2d)+ 4∘c(d+2a)+ 4∘d(a+-2b)≤

( ) ≤ √14-3 3a+-b+-2c-+6 + 3b+-c+-2d-+6 + 3c+-d+-2a+6 + 3d-+a+-2b+-6 = 3 4 4 4 4

= √1--⋅ 6(a-+b+-c+d)+-24≤ √12-= 44√3 433 4 433

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Второе решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел $√- √- 4√a, 4b, 4√c, 4d$ и $----- ----- ----- ----- 4√ b+2c, 4√c+ 2d, 4√ d+2a, 4√a +2b$ имеем

( ------- ------- ------- ------) - 4∘a(b+ 2c)+ 4∘ b(c+ 2d)+ 4∘ c(d+ 2a)+ 4∘ d(a +2b)2 ≤(√a+ √b+ √c+

+√d)(√b-+2c+ √c+-2d+√d-+-2a-+√a-+2b)

А по неравенству Коши–Буняковского для наборов $√a,√b,√c,√d$ и $1,1,1,1$ имеем

(√a-+ √b+ √c+ √d)2 ≤ (a +b+ c+ d)(1+ 1+ 1+1)≤ 42

Значит, $√a+ √b+ √c+ √d ≤4.$ Аналогично по неравенству Коши–Буняковского для наборов $√b+-2c,√c+-2d,√d-+2a,√a+-2b$ и $1,1,1,1$ имеем

(√ ----- √----- √----- √ ----)2 b+2c+ c+ 2d+ d+ 2a+ a+ 2b ≤ ((b+ 2c)+ (c+2d)+ (d+ 2a)+

+ (a +2b))(1+ 1+1 +1)= 12(a+ b+ c+d)≤ 48

Значит, $√b+-2c+√c-+2d+ √d+-2a+ √a+-2b≤4√3.$ Следовательно,

∘ ----- ∘4a-(b-+2c)+∘4b-(c+-2d)+ 4∘c(d-+2a)+ 4∘d(a+-2b)≤ 4⋅4√3 = 44√3

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Третье решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел $4√- 4√- a, b$ , $4√- 4√- c, d$ и $√4-----4√-----√4-----4√ ----- b+2c, c+ 2d, d+ 2a, a+2b$ имеем

(∘------- ∘ ------- ∘ ------- ∘ ------)2 √- √- √- 4a(b+ 2c)+ 4 b(c+ 2d)+ 4 c(d+ 2a)+ 4 d(a +2b) ≤( a+ b+ c+

√ -(√ ----- √----- √ ----- √ ----) + d) b+2c+ c+ 2d+ d+ 2a + a+2b

Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел $- √x ≤ 12(x+ 1),$ поэтому

√a+ √b+ √c+ √d≤ a-+1 + b+-1+ c+-1+ d+-1 = a-+b+-c+-d+4 ≤ 4 2 2 2 2 2

Аналогично по неравенству о средних для двух чисел

√-∘----- ∘ -------- 1 3 x +2y = (x +2y)⋅3≤ 2(x +2y+ 3)

Значит,

√----- √----- √ ----- √----- b+ 2c+3 c+2d+ 3 d+ 2a+ 3 b +2c+ c+ 2d + d+2a+ a +2b≤ --2√3-- + --2√3---+ --2√3---+

+a-+2√b+-3= 3(a+b+-c√+-d)+12= 4√3 2 3 2 3

Следовательно,

∘4------- ∘4------- 4∘------- 4∘------- ∘ --√-- 4√- a(b +2c)+ b(c+ 2d)+ c(d +2a)+ d(a+ 2b)≤ 4⋅4 3= 4 3

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Ответ:

$4√43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70476

При $x,y,z ∈ (0,2]$ найдите максимальное значение выражения

(x3− 6) 3√x+-6+ (y3− 6) 3√y-+6+ (z3 − 6)√3z-+6 A = ---------------x2+y2+-z2---------------

Источники: СПБГУ-22, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, давайте попробуем понять какой ответ, хотя бы на пальцах. Если мы увеличиваем х, то увеличивается значение, которое зависит от х, и в числителе, и в знаменателе, но при этом в числителе у нас степень функции больше трех, то есть, при х > 1 у нас числитель растет быстрее чем знаменатель. Все, что меньше единицы не очень понятно, но если мы верим в светлое будущее(то есть верим, что ответ достигается при х > 1) то нам надо посмотреть, чему равно значение дроби на всех двойках. И мы получим предполагаемый ответ. Теперь, когда мы знаем(а вернее - верим) в каких точках достигается ответ, то можно попробовать оценить как-то слагаемое в числителе, чтобы степень получившегося многочлена была равна 2(чтобы вероятно сократить с знаменателем), и при этом наша оценка достигалась именно в точке 2.

Подсказка 2

Корень можно оценить как <=2, так как х<=2(как раз в этой точке и достигается равенство). Второй множитель тогда можно оценить через 2х^2 - 6(опять же, равенство достигается в точке 2). Тогда, всю дробь можно оценить через (4(x^2 + y^2 + z^2) - 36)/(x^2 + y^2 + z^2). Ну а это уже достаточно легко оценить, зная, что все переменные меньше или равны 2.

Подсказка 3

Верно, выходит дробь 4 - 36/(x^2 + y^2 + z^2) <= 4 - 36/12 = 1. То есть, у нас есть оценка на дробь и при этом, мы так проводили неравенства, что каждое равенство в них достигалось в точке, в которой достигается итоговая оценка. Значит, у нас точно есть пример в котором это неравенство достигается. Запомните эту очень важную мысль, если у вас уже есть ответ и вы знаете в каких точках достигается равенство, то можно попробовать оценивать некоторые выражения, которые у вас есть так, чтобы равенство достигалось именно в той точке, где достигается равенство в изначальном выражении. Этот метод часто встречается на олимпиадах ИТМО, СПбГУ и других.

Показать ответ и решение

При $x∈ (0,2]$ справедливы неравенства $√3x-+-6≤ 2$ и $x3 ≤2x2$ , откуда

(3 ) 3√---- ( 2 ) x − 6 x+6 ≤2 2x − 6

Аналогичным образом оцениваются два других слагаемых в числителе $A.$ Поэтому

2x2− 6-+2y2−-6+2z2−-6 ----36---- 36 A ≤ 2⋅ x2+ y2+ z2 = 4− x2+ y2+z2 ≤4− 12 =1.

Равенство реализуется при $x =y =z =2.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90857

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a2b+ b2c+ c2a =3$ . Найдите минимальное значение выражения

7 7 7 3 3 3 A= a b+b c+ ca+ ab +bc +ca .

Источники: СПБГУ-21, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймем, что в нашем арсенале доказательства неких неравенств, оценок и прочего, зачастую есть только «смекалочка» и неравенство Коши. Смекалочка нужна, чтобы правильно сгруппировать, а Коши, чтобы верно оценить. Давайте поймем, почему нам удобно группировать слагаемые в виде a^7 * b + a * b ^3?

Подсказка 2

Потому что, по неравенству Коши, получается хорошая оценка на каждую такую сумму. Хорошая это, потому, что полученная сумма - сумма квадратов выражения, на которое у нас есть условие. А как у нас связана сумма квадратов и квадрат суммы неравенством?

Подсказка 3

Существует неравенство a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac(доказывается по Коши), которое можно переписать в удобном для нас виде: 3(a^2 + b^2 + c^2) >= (a + b + c)^2. Какая тогда оценка получается на наше выражение? А достигается ли она? А в какой точке?

Показать ответ и решение

По неравенству о средних $a7b+ab3 ≥ 2a4b2$ (аналогично для других пар). Значит

42 42 4 2 2 42 42 42 A ≥ 2(a b +b c +c a)= 3(a b +b c +c a)(1+1+ 1)

по неравенству Коши

2 2 3(a4b2 +b4c2 +c4a2)(1+1 +1)≥ 3(a2b+ b2c+ c2a)2 = 6

Равенство достигается при $a= b= c= 1.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103213

Даны числа $x,y,z ∈ [0,π]. 2$ Найдите максимальное значение выражения

3∘------- 3∘ ------- √3------- A = sinx cosy+ sinycosz+ sinzcosx.

Источники: СПБГУ - 2020, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что куб суммы трёх слагаемых не может быть больше суммы кубов соответствующих слагаемых, домноженной на 9. Распишем так наше выражение и посмотрим повнимательнее! Было бы очень удобно от произведения синусов и косинусов прийти к их квадратам, чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, но как это сделать....

Подсказка 2

Конечно, можно записать, что произведение синуса и косинуса не превосходит полусумму квадратов по неравенству Коши для средних!

Подсказка 3

Теперь можем легко найти значение куба числа А! Остаётся только выразить отсюда само А и подобрать подходящие x, y и z.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся неравенством

3 ( 3 3 3) (a+ b+ c) ≤ 9 a +b + c при a,b,c≥ 0.

Тогда с учетом неравенства Коши для средних

3 9 ( 2 2 2 2 2 2 ) 27 A ≤ 9(sin xcosy+ sinycosz+ sinzcosx)≤ 2 sin x +cos y+sin y +cosz +sin z +cosx = -2

откуда $3 A ≤ 3√2.$ Равенство реализуется при $π x= y = z = 4.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любого $t$

√ - ( ) √- sin t+cost= 2⋅sin t+ π ≤ 2. 4

В силу неравенства Коши для средних

√ -------- ∘ ---------√-- √- √36-⋅ 3 sinu⋅cosv =3 3sinu ⋅cosv⋅-22-≤sinu+ cosv+-22-. 2

Применим эту оценку при $(u,v)∈{(x,y),(y,z),(z,x)}$ и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда

√- √- √- 3A- 3-2 √- 3-2 9-2 6√2 ≤sin x+ cosx+ siny+ cosy +sin z+cosz+ 2 ≤ 3 2+ 2 = 2 ,

откуда $3-- A ≤ 3√2.$ Равенство реализуется при $π x= y = z = 4.$

Ответ:

$-3√- 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74905

Даны положительные числа $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Найдите минимальное значение выражения

( a+b)4 ( b+c)4 ( c+d)4 ( d+ a)4 -c-- + -d-- + -a-- + -b--

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется избавиться от сумм в числителях и заменить на какое-то произведение, ведь если мы потом снова применим нер-во о средних к всем этим слагаемым, то все переменные могут сократится и останется число) Как это можно сделать?

Подсказка 2

Применим обычное нер-во о средних для a+b: a+b ≥ 2√(ab). Тогда каждое слагаемое будет вида 16a²b²/c⁴. Примените теперь еще раз неравенство о средних и получится оценка) Главное вспомнить что она достигается когда все переменные, к которым применялось неравенство равны!

Показать ответ и решение

Применим неравенство о средних:

( a+b)4 ( b+c)4 ( c+d )4 ( d+ a)4 a+ b b+ c c+ d d +a -c-- + -d-- + -a-- + -b-- ≥ 4⋅-c--⋅--d-⋅--a-⋅--b-.

Далее оценим отдельно числитель каждой дроби в последнем выражении:

√-- √ -- √-- √-- 4⋅ a+-b⋅ b+-c⋅ c+-d⋅ d+-a≥ 4⋅ 2-ab ⋅ 2-bc-⋅ 2-cd⋅ 2-da =64. c d a b c d a b

Осталось заметить, что равенство реализуется при $a= b= c= d$ .

Ответ: 64

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99087

Произведение положительных чисел $a,b,c$ и $d$ равно $1.$ Докажите неравенство

a4+-b4- b4+-c4 c4+d4- d4+-a4 a2+ b2 +b2+ c2 + c2+d2 +d2+ a2 ≥ 4.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С суммой дробей с разными знаменателями работать в неравенствах не очень удобно, поэтому первым делом хочется от них избавиться. Вероятнее всего, для этого нам нужно понять, как связаны числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Нужно воспользоваться каким-нибудь вспомогательным неравенством. При этом четвёртые степени и квадраты это всё равно, что квадраты и первые степени. Как же их можно связать между собой?

Подсказка 3

Верно, их можно оценить между собой следующим образом: 2(a^4+ b^4) ≥ (a²+b²)²(для других дробей аналогично). Ещё это можно было понять из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим, возведённым в квадрат, там как раз в таком случае участвуют четвёртые степени и скобка в квадрате. Тогда после сокращения у нас останутся слагаемые вида (a² + b²)/2, что в итоге равно a² + b² + c² + d². Как же добить это неравенство? Мы ещё не всем воспользовались из условия.

Подсказка 4

Да, осталось вспомнить про неравенство о средних, и победа!

Показать доказательство

Первое решение.

Поскольку $( 4 4) (2 2)2 2 a +b ≥ a +b ,$ справедливо неравенство

4 4 1(a2+ b2)2 2 2 aa2++-bb2 ≥ 2-a2+-b2- = a-+2b

Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем

a2+b2+ c2+d2 ≥ 2ab+2cd≥ 4√abcd-=4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $4 4 aa2++bb2 ≥ab.$ Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство

(a3− b3)(a− b)= a4+ b4 − a3b− ab3 ≥ 0

Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.

Следовательно,

4 4 4 4 4 4 4 4 a2+-b2-+ b2+-c2 + c2+d2-+ d2-+a2 ≥ ab+ bc+ cd+ da ≥4 a + b b+ c c +d d +a

В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел: $ab+cd≥ 2√ab⋅cd-=2$ и $bc+ da ≥2√bc⋅da= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64375

Даны вещественные числа $x,...,x . 1 n$ Найдите максимальное значение выражения

---sinx1+-...+-sinxn--- A= ∘tg2-x1-+...+-tg2xn+n-.

Источники: СПБГУ-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть A = b/c. Попробуйте доказать некоторые оценки для b и 1/c.

Подсказка 2

Для 1/c воспользуйтесь тем, что 1 + tg²x = 1/cos²x. Можно ли как-то избавиться от корня в знаменателе?

Подсказка 3

Докажите, что (a₁ + a₂ + ... + aₙ)² ≤ n ⋅ ((a₁)² + (a₂)² + ... + (aₙ)²).

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством Коши.

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $a ,...,a 1 n$

(∑n )2 ∑n ak ≤ n a2k (∗) k=1 k=1

По сути это частный случай транснеравенства, но докажем его по индукции. База очевидна, шаг:

(∑n )2 (n−∑1 )2 n∑−1 n∑−1 n∑−1 ak = ak + 2an ak+ a2n ≤ (n − 1) a2k+ a2n +2an ak k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Осталось доказать

n∑−1 ∑n n∑−1 n−∑ 1 a2n +2an ak ≤ n a2k− (n − 1) a2k = na2n+ a2k ⇐⇒ k=1 k=1 k=1 k=1

n−∑ 1 n∑−1 2akan ≤ (a2k+ a2n)-выполняется почленно k=1 k=1

Отсюда в силу неравенства для среднего гармонического и среднего арифметического

[ ] ∘--------1---------= 1+ tg2x = -12--= ∘--------1--------≤ tg2x1+ ...+tg2xn+ n cos x cos12x1 + ...+ cos12xn

√- ≤(∗)≤ -1-----n---1---≤ cosx1+n..√.n+cosxn. cosx1 + ...+ cosxn

Предпоследний переход объясняется положительностью косинусов и перемножением крест-накрест с возведением в квадрат, тогда нам и помогает $(∗)$ .

Тогда по неравенству Коши, применённому к скобкам ниже:

(∑n sinxk)⋅(∑n cosxk) (∑n sinxk)2+(∑n cosxk)2 A≤ ---k=1----n√n--k=1----- ≤---k=1----2n√n--k=1------≤

∑ ∑ √- ≤ (∗)≤ --nk=1sin2xk+√--nk=1cos2xk-= -n. 2 n 2

Равенство достигается при $π xi = 4$ .

Ответ:

$√n 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90856

Числа $x ,...,x ,y ,...,y 1 n 1 n$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 x1 +...+ xn+ y1 + ...+yn ≤2.

Найдите максимальное значение выражения

A= (2(x1+ ...+ xn)− y1− ...− yn)⋅(x1+ ...+ xn +2 (y1+ ...+ yn)).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x₁² + ... + xₙ² + y₁² + ... + yₙ² — намёк на многомерную теорему Пифагора, а, значит, на многомерные векторы. Какое же пространство нам нужно рассмотреть и какие векторы?

Подсказка 2

Пространство — R^{2n} и вектор x = (x₁, ..., xₙ, y₁, ..., yₙ). Посмотрите на выражение А в условии и поймите, какие вспомогательные векторы нам понадобятся.

Подсказка 3

Именно! Это вектор a = (2,...2, -1, ..., -1) (двоек и -единиц поровну), а также вектор b = (1, ..., 1, 2, ..., 2) (тоже поровну). Какие-то похожие векторы а и b. Что же про них можно сказать?...

Подсказка 4

Точно! Они ортогональны (докажите это сами). Рассмотрим ещё один произвольный вектор c, который ортогонален a и b. Чем тогда является набор (a, b, c)?

Подсказка 5

Базисом нашего пространства! Тогда как можно представить наш вектор x?

Подсказка 6

Верно! Как линейную комбинацию векторов базиса. То есть x = na + mb + tc, где n,m,t — действительные. Вернёмся к нашему А. Запишем его с учётом наших продвижений...

Подсказка 7

А = <x,a> * <x,b> = (n<a, a> + m<b,a> + t<c, a>)*(n<a, b> + m<b,b> + t<c, b>) = nm|a|²|b|², где <> — скалярное произведение.

Подсказка 8

Самостоятельно докажите, что |x|² ≤ 2, потом сделайте оценку на nm. Тем самым вы сможете получит оценку на А. А что дальше?

Подсказка 9

Построить пример вектора x, когда достигается нужное значение. Небольшая подсказка: вектор не должен быть разнообразным...

Показать ответ и решение

Рассмотрим такие векторы в $ℝn$

x= (x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)

a =(2,2,...,2,− 1,− 1,...,−1)

b =(1,1,...,1,2,2,...,2)

Заметим, что $a⊥b$ . Значит, $x= αa+ βb+ c$ , где $c⊥a,b$ . Тогда

A =< x,a> ⋅<x,b>= α|a|2β|b|2 = 25αβ

Из ортогональности

|x|2 = α2|a|2+ β2|b|2 +|c|2 = 5α2+5β2+ |c|2 =x21 +...+ x2n+ y21 + ...+y2n ≤2

2 2 αβ ≤ a-+2-b-≤ 15

A ≤ 5

Такое значение достигается при $xi = √35n$ и $y = √15n.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#98585

Для любых чисел $x,y$ и $z$ докажите неравенство

2 2 2 √ - x + y + z ≥ 2(xy+ yz).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, в правой части неравенства у нас стоят произведения, а слева – сумма. Какое из классических неравенств помогает нам оценить произведение относительно суммы?

Подсказка 2

Давайте попробуем использовать здесь неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического. Но ведь у нас справа произведение x на y и произведение y на z. Как стоит разбить слагаемые в левой части, чтобы мы получили нужные нам неравенства?

Показать доказательство

√ - ( y )2 ( y )2 x2 +y2+ z2− 2(xy+ yz)= x− √2- + z− √2- ≥ 0