Тема . СПБГУ

Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64375

Даны вещественные числа $x,...,x . 1 n$ Найдите максимальное значение выражения

---sinx1+-...+-sinxn--- A= ∘tg2-x1-+...+-tg2xn+n-.

Источники: СПБГУ-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть A = b/c. Попробуйте доказать некоторые оценки для b и 1/c.

Подсказка 2

Для 1/c воспользуйтесь тем, что 1 + tg²x = 1/cos²x. Можно ли как-то избавиться от корня в знаменателе?

Подсказка 3

Докажите, что (a₁ + a₂ + ... + aₙ)² ≤ n ⋅ ((a₁)² + (a₂)² + ... + (aₙ)²).

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством Коши.

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $a ,...,a 1 n$

(∑n )2 ∑n ak ≤ n a2k (∗) k=1 k=1

По сути это частный случай транснеравенства, но докажем его по индукции. База очевидна, шаг:

(∑n )2 (n−∑1 )2 n∑−1 n∑−1 n∑−1 ak = ak + 2an ak+ a2n ≤ (n − 1) a2k+ a2n +2an ak k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Осталось доказать

n∑−1 ∑n n∑−1 n−∑ 1 a2n +2an ak ≤ n a2k− (n − 1) a2k = na2n+ a2k ⇐⇒ k=1 k=1 k=1 k=1

n−∑ 1 n∑−1 2akan ≤ (a2k+ a2n)-выполняется почленно k=1 k=1

Отсюда в силу неравенства для среднего гармонического и среднего арифметического

[ ] ∘--------1---------= 1+ tg2x = -12--= ∘--------1--------≤ tg2x1+ ...+tg2xn+ n cos x cos12x1 + ...+ cos12xn

√- ≤(∗)≤ -1-----n---1---≤ cosx1+n..√.n+cosxn. cosx1 + ...+ cosxn

Предпоследний переход объясняется положительностью косинусов и перемножением крест-накрест с возведением в квадрат, тогда нам и помогает $(∗)$ .

Тогда по неравенству Коши, применённому к скобкам ниже:

(∑n sinxk)⋅(∑n cosxk) (∑n sinxk)2+(∑n cosxk)2 A≤ ---k=1----n√n--k=1----- ≤---k=1----2n√n--k=1------≤

∑ ∑ √- ≤ (∗)≤ --nk=1sin2xk+√--nk=1cos2xk-= -n. 2 n 2

Равенство достигается при $π xi = 4$ .

Ответ:

$√n 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse