Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Подсказка 1

Давайте поймем, что в нашем арсенале доказательства неких неравенств, оценок и прочего, зачастую есть только «смекалочка» и неравенство Коши. Смекалочка нужна, чтобы правильно сгруппировать, а Коши, чтобы верно оценить. Давайте поймем, почему нам удобно группировать слагаемые в виде a^7 * b + a * b ^3?

Подсказка 2

Потому что, по неравенству Коши, получается хорошая оценка на каждую такую сумму. Хорошая это, потому, что полученная сумма - сумма квадратов выражения, на которое у нас есть условие. А как у нас связана сумма квадратов и квадрат суммы неравенством?

Подсказка 3

Существует неравенство a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac(доказывается по Коши), которое можно переписать в удобном для нас виде: 3(a^2 + b^2 + c^2) >= (a + b + c)^2. Какая тогда оценка получается на наше выражение? А достигается ли она? А в какой точке?