Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Первое решение.

Поскольку справедливо неравенство

Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство

Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.

Следовательно,

В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел: и