Неравенства и оптимизация на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение положительных чисел 
и 
равно 
Докажите неравенство
Подсказка 1
С суммой дробей с разными знаменателями работать в неравенствах не очень удобно, поэтому первым делом хочется от них избавиться. Вероятнее всего, для этого нам нужно понять, как связаны числитель и знаменатель?
Подсказка 2
Нужно воспользоваться каким-нибудь вспомогательным неравенством. При этом четвёртые степени и квадраты это всё равно, что квадраты и первые степени. Как же их можно связать между собой?
Подсказка 3
Верно, их можно оценить между собой следующим образом: 2(a^4+ b^4) ≥ (a²+b²)²(для других дробей аналогично). Ещё это можно было понять из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим, возведённым в квадрат, там как раз в таком случае участвуют четвёртые степени и скобка в квадрате. Тогда после сокращения у нас останутся слагаемые вида (a² + b²)/2, что в итоге равно a² + b² + c² + d². Как же добить это неравенство? Мы ещё не всем воспользовались из условия.
Подсказка 4
Да, осталось вспомнить про неравенство о средних, и победа!
Первое решение.
Поскольку 
справедливо неравенство
Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Заметим, что 
Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство
Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.
Следовательно,
В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел: 
и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
