Тема СПБГУ

Стереометрия на СПБГУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103217

Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса $r.$ Третий шар радиуса $R$ касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если $R :r= 2:1.$

Источники: СПБГУ - 2020, 11.6 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть O₁ и O₂ - центры вписанных сфер, а O — центр внешней сферы. Рассмотрите треугольник OO₁O₂, из него можно получить много информации.

Подсказка 2

Ну, во-первых, он равнобедренный. Во-вторых, вы можете выразить его стороны через радиусы. В-третьих, попробуйте рассмотреть точки K — середину O₁O₂, M — точка касания сферы и одной из пирамид и точку N касания вписанных сфер. Что можно сказать про угол MNK и чему он равен?

Подсказка 3

Это угол между боковыми гранями пирамиды. Кстати, почему? Пусть боковое ребро пирамиды равно a. Используя величину угла, вы сможете выразить длину ребра основания через a, если проведёте высоты в двух боковых гранях к одному ребру. А там и до плоского угла при вершине недалеко.

Показать ответ и решение

Пусть $SABC$ — первая пирамида, $BSC$ — её общая боковая грань со второй, $O 1$ и $O 2$ — центры шаров, вписанных в пирамиды, $O$ — центр внешнего шара. Ввиду равенства пирамид вписанные в них шары касаются грани $BSC$ в одной точке $K.$ Так как $O1K ⊥BSC$ и $O2K ⊥ BSC,$ точка $K$ лежит на отрезке $O1O2,$ причём $O1O2 = 2r.$

Пусть $M$ — точка касания с гранью $ASB$ шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается $ASB$ и внешний шар. Поэтому точка $M$ лежит на отрезке $OO1,$ причём $OO1 =r +R.$ Аналогично получается, что $OO2 = r+R.$ Выберем точку $N$ на отрезке $OK$ так, что $NM ⊥ OO1,$ и положим $φ= ∠MNK.$

$PIC$

Тогда

( ) O1K = OO1 ⋅cos∠OO1K ⇐⇒ r=(r+ R)⋅cos(π− φ)⇐⇒ R = −r --1-+ 1 . cosφ

По условию $R =2r,$ откуда $1 cosφ =− 3.$

Покажем, что $φ$ — угол между гранями $ASB$ и $BSC.$ Действительно, $O1K$ и $O1M$ — радиусы шара, вписанного в первую пирамиду, откуда $O1M ⊥ ASB$ и $O1K ⊥ BSC.$ Значит, $BS ⊥MNK.$ Кроме того, прямая $MN$ лежит в плоскости $ASB$ , а $KN$ — в плоскости $BSC.$

$PIC$

Пусть $α= ∠ASB,a= AB.$ Опустим из точек $A$ и $C$ перпендикуляры на ребро $BS.$ Они придут в одну точку $L,$ так как треугольники $ASB$ и $BSC$ равны. По доказанному $∠ALC = φ.$ Заметим, что