Стереометрия на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса
Третий шар радиуса 
касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине
пирамид, если 
Источники:
Подсказка 1
Пусть O₁ и O₂ - центры вписанных сфер, а O — центр внешней сферы. Рассмотрите треугольник OO₁O₂, из него можно получить много информации.
Подсказка 2
Ну, во-первых, он равнобедренный. Во-вторых, вы можете выразить его стороны через радиусы. В-третьих, попробуйте рассмотреть точки K — середину O₁O₂, M — точка касания сферы и одной из пирамид и точку N касания вписанных сфер. Что можно сказать про угол MNK и чему он равен?
Подсказка 3
Это угол между боковыми гранями пирамиды. Кстати, почему? Пусть боковое ребро пирамиды равно a. Используя величину угла, вы сможете выразить длину ребра основания через a, если проведёте высоты в двух боковых гранях к одному ребру. А там и до плоского угла при вершине недалеко.
Пусть 
— первая пирамида, 
— её общая боковая грань со второй, 
и 
— центры шаров, вписанных в пирамиды, 
—
центр внешнего шара. Ввиду равенства пирамид вписанные в них шары касаются грани 
в одной точке 
Так как 
и
точка 
лежит на отрезке 
причём 
Пусть 
— точка касания с гранью 
шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается 
и внешний шар.
Поэтому точка 
лежит на отрезке 
причём 
Аналогично получается, что 
Выберем точку 
на
отрезке 
так, что 
и положим 
Тогда
По условию 
откуда 
Покажем, что 
— угол между гранями 
и 
Действительно, 
и 
— радиусы шара, вписанного в первую пирамиду,
откуда 
и 
Значит, 
Кроме того, прямая 
лежит в плоскости 
, а 
— в плоскости
Пусть 
Опустим из точек 
и 
перпендикуляры на ребро 
Они придут в одну точку 
так как
треугольники 
и 
равны. По доказанному 
Заметим, что
Тогда по теореме косинусов для треугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
