Тема Росатом

Теория чисел на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#44069Максимум баллов за задание: 7

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x − 5y = 23,$ удовлетворяют неравенству $x2+ y2 ≤37?$ Найти пару $(x;y),$ для которой $x+ y$ наибольшее.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сделать оценку на модули x и y, а так же запишем 7x - 5y = 23 как x = (23+5y) / 7. Что можно сказать об y?

Подсказка 2

y = -6 или y = 1! Проделайте аналогичные действия с x, тогда несложно будет найти наибольшее значение x+y.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $|x|≤ 6,|y|≤6.$ При $y ∈ [−6,6]$ выражение $23+ 5y$ кратно семи только при $y ∈ {− 6,1}.$ Для $x$ имеем соответственно ${−1,4}.$ Наибольшее значение $x+ y$ равно $5.$

Ответ:

$2$ пары, наибольшую сумму имеет пара $(4,1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#49158Максимум баллов за задание: 7

Положительное целое число $x$ при делении на $7$ имеет остаток $2,$ а его квадрат $x2$ при делении на $49$ имеет в остатке $39.$ Сколько таких чисел находится на отрезке $[100;1000]$ ?

Источники: Росатом-14, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если число дает остаток 2 по модулю 7, то какой остаток оно может давать по модулю 49?

Подсказка 2

Да, только остатки 2,9,16,23,30,37,44. Но при этом у нас есть условие и про квадрат этого числа. Все ли остатки из списка выше подходят под условие?

Подсказка 3

Нет, под условие подходит только остаток 23, а это значит, что чтобы записать ответ, осталось лишь найти все числа х=23(mod49) !

Показать ответ и решение

Числа, дающие по модулю $7$ остаток $2$ , могут давать по модулю $49$ только остатки $2,9,16,23,30,37,44$ . При возведении этого остатка в квадрат должно получиться $39$ по модулю $49$ — этому условию удовлетворяет только остаток $23$ . Отсюда нам подходят те и только те числа, которые дают остаток $23$ по модулю $49$ . Это числа $121,170,...954$ , которых $18$ штук.

Ответ:

$18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#49156Максимум баллов за задание: 7

Для каких натуральных $y$ уравнение

2 x + НОД (y;4)⋅x − 6Н ОД(y;3)= 0

имеет целые решения?

Источники: Росатом-12, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути перед нами квадратное уравнение относительно х, но со странными коэффициентами. Подумайте, как можно в явном виде определить эти коэффициенты.

Подсказка 2

Да, мы можем определить эти коэффициенты только по остатку от y при делении на 12. То есть нужно перебрать 12(на самом деле меньше вариантов), получить квадратное уравнение и решить задачу(но главное-правильно записать ответ, ведь мы берем только остаток, и а y может быть и другим)

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= НОД(y;4)∈ {1,2,4},b= НО Д(y;3)∈{1,3}$ , обе принадлежности определяются остатком $y$ по модулю $12$ . Разберём случаи

$a =1,b= 1$ . Получаем уравнение $x2+ x− 6= 0$ , которое имеет целые корни $x= −3,2$ . Этому случаю удовлетворяют остатки $1,5,7,11$ .
$a =2,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +2x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =4,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +4x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =1,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +x− 18= 0$ , корней нет.
$a =2,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +2x− 18= 0$ , корней нет.
$a =4,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +4x− 18= 0$ , корней нет.

Ответ:

$y ∈{{1,5}+ 6k}, k∈ ℕ∪{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#49161Максимум баллов за задание: 7

Найдите натуральные числа $n$ , для которых

( 2 ) ( 2 ) НОК n,n +15 ⋅НОК(n,n+ 3)=5 n + 45 .

Источники: Росатом-12, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте поподстовлять достаточно большие n в это уравнение и что-то заметить. Какая часть уравнения выбивается и почему?

Подсказка 2

Давайте посмотрим на выражение. Видно, что слева что-то очень большое, как минимум потому, что НОК(n,n^2+15)-это что-то (по примерным оценкам) точно большее квадрата(если мы оцениваем в общем виде), да еще, к тому же, НОК(n,n+3)-это тоже что-то большое, так как их максимальный НОД это 3(их разница делится лишь на 1 и 3). Значит, в задаче используется оценка. Подумайте как оценить каждый НОК

Подсказка 3

Любой НОК(a,b)>=max(a,b). Зная это, каждый из НОК-ов оценивается понятно, и произведение НОК-ов - кубическая функция. Но при этом квадратная ее больше или равна. Часто ли такое случается?

Подсказка 4

Ну конечно же, не часто. Потому что рано или поздно кубическая функция станет больше квадратичной. И это происходит только при n<=5. Осталось перебрать и получить ответ.

Показать ответ и решение

Воспользуемся очевидным неравенством $Н ОК(a,b)≥ max{a,b}$ . Отсюда следует

2 2 3 2 5(n +45)≥(n + 15)⋅(n+ 3) ⇐ ⇒ f(n)= n − 2n + 15n− 180 ≤0

Заметим, что $f′(x)= 3x2 − 4x+ 15> 0∀x∈ ℝ$ , то есть функция монотонно возрастает. Поскольку при $n = 6$ имеем $f(n)=54> 0$ , то $n ≤5$ . Заметим также, что один из НОК-ов должен делиться на $5$ , что не выполняется при $n= 1,3,4$ , поэтому остаётся перебрать два случая

$n =2$ . Получаем $38⋅5⁄= 5⋅(1+45)$ .
$n =5$ . Получаем $40⋅40⁄= 5⋅70$ .

Ответ:

решений нет