Планиметрия на ФЕ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости нарисован равносторонний треугольник и три окружности с центрами в его вершинах, причём радиус каждой из окружностей меньше высоты треугольника. Точка плоскости красится в жёлтый цвет, если она лежит внутри ровно одной из окружностей; в зелёный, если внутри ровно двух; в синий, если внутри всех трёх:
Оказалось, что жёлтая площадь равна 1000 , зелёная 100 , а синяя — 1 . Что больше: сторона треугольника или суммарная длина зелёных отрезков, лежащих на сторонах треугольника?
Источники:
Подсказка 1
Нам дали площади всех частей. Давайте попробуем выразить с их помощью площадь треугольника, ведь тогда сможем найти его сторону!
Подсказка 2
Жёлтую площадь внутри треугольника так просто не найти... Но зато сможем найти площади частей кругов, лежащих внутри треугольника (если найдём сумму площадей всех кругов), а потом вычтем лишние площади. Стоит заметить, что картинка симметричная, поэтому зелёные площади делятся сторонами треугольника пополам!
Подсказка 3
Отлично, площади треугольника и его сторону (он ведь равносторонний) нашли! Осталось её сравнить с суммой длин отрезков. Попробуйте выразить длины всех зелёных отрезков при помощи стороны треугольника и радиусов окружностей. И сравнить их сумму со стороной треугольника.
Подсказка 4
У вас наверняка получилось сравнение r₁ + r₂ + r₃ V 2a (V - неизвестный знак). Сумму радиусов мы не знаем, но что мы можем найти из известной нам суммы площадей кругов? А при помощи какого неравенства можно перейти к этому?
Подсказка 5
Из суммы площадей кругов мы знаем сумму квадратов радиусов! А какое неравенство связывает сумму чисел и сумму их квадратов? Тогда что будет больше?
Подсказка 6
Поможет неравенство о среднем арифметическом и средним квадратическим или неравенство КБШ (Коши-Буняковского-Шварца)! Остаётся только подставить числа и проверить, действительно ли (2а)² > 3(r₁² + r₂² + r₃²).
Сумма площадей трёх кругов равна 
; сумма площадей трёх «линз» равна 
(«линза» - это
пересечение двух кругов). Площадь треугольника равна 
, где
— сумма площадей трёх 60-градусных секторов,
— сумма площадей половинок трёх «линз», лежащих внутри треугольника; 
— площадь синей области.
Действительно, при таком подсчёте каждая жёлтая область внутри треугольника посчитана 1 раз, каждая зелёная: 
раз, синяя
область: 
раз.
Итого получаем, что площадь треугольника равна 
.
Пусть 
— радиусы окружностей, 
— сторона треугольника. Тогда 
Докажем, что
то есть
По неравенству Коши-Буняковского-Шварца
так что остаётся доказать, что
Возведём обе части в квадрат и домножим их на 
, после чего применим цепочку очевидных неравенств
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
