Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Планиметрия на ФЕ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120580

На плоскости отмечены две точки $A$ и $B.$ Андрей играет в такую игру: на каждом шаге он выбирает пару уже отмеченных точек, мысленно строит правильный пятиугольник на них как на соседних вершинах, после чего отмечает на плоскости три остальные его вершины. Сможет ли Андрей отметить середину отрезка $AB?$

Источники: ФЕ - 2025, 11.6(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумаем, а как мы вообще можем изменять картинку? Например, можем ли мы повернуть отрезок, который уже у нас есть?

Подсказка 2

Да, мы можем повернуть отрезок на 108°, достроив на нём правильный пятиугольник! А как тогда повернуть отрезок на 180°?

Подсказка 3

Для этого мы можем совершить поворт на 108° пять раз! Получается, мы можем "перемещать" отрезок на прямой. Значит, чтобы получить точку внутри AB мы можем переместить какой-нибудь отрезок на прямой AB. Попробуйте для начала просто отметить какую-нибудь точку на этой прямой.

Подсказка 4

Постройте пятиугольник на AB, а потом на диагонали этого пятиугольника. Одна из вершин последней фигуры как раз будет лежать на AB. Осталось оценить длины отрезков и отложить некоторые из них так, чтобы получить точку внутри AB.

Показать ответ и решение

Вспомним, что угол правильного пятиугольника равен $108∘.$ Поэтому, имея произвольный вектор $−−→OP,$ мы можем отложить равный ему по длине вектор $−−→′ OP$ так, чтобы $′ ∘ ∠POP =108.$ То есть, мы можем повернуть любой отрезок на $∘ 108.$ А проделав это 5 раз, мы повернём отрезок на $∘ 180 .$

Теперь предложим алгоритм решения задачи. По точкам $A$ и $B$ отметим вершины пятиугольника $ABCDE,$ а потом пятиугольника $BF GHD.$

$PIC$

Заметим, что $BD$ — диагональ $ABCDE,$ поэтому $DB 1< AB-< 2.$ То есть сторона пятиугольника $BF GHD$ больше стороны пятиугольника $ABCDE,$ но меньше, чем удвоенная сторона этого же пятиугольника. Отсюда, $AB <BF < 2AB.$

Так же заметим, что

∘ ∠DBC = 180-−-∠DCB--=36∘ 2

Тогда $∠ABD = 108∘− ∠DBC = 72∘,$ откуда $∠ABF = ∠ABD + ∠DBF =72∘+ 108∘ = 180∘.$ То есть точки $A,B,F$ лежат на одной прямой.

Повернём вектор $−B→A$ на $180∘$ и получим Вектор $−B−→K.$ При этом $K$ принадлежит $BF,$ а так же $KF < AB,$ так как $AB < BF < 2AB.$ Поэтому, если несколько раз отложить $−−→ FK,$ то есть сначала повернуть $−−→ KF$ на $∘ 180$ и получить $−−−→ KK1,$ затем так же повернуть $−−−→ K1K$ и получить $−−−−→ K1K2,$ и так далее, то какая-то из точек $Ki$ окажется на отрезке $AB.$

Ответ:

Нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126642

Дан треугольник $ABC.$ Точки $A ,B ,C 1 1 1$ — середины сторон $BC,$ $AC,$ $AB$ соответственно, а $A ,B ,C 2 2 2$ — точки, в которых эти стороны касаются вписанной окружности. Пусть отрезок $B2C2$ имеет с окружностью, вписанной в $△AB1C1,$ $a$ общих точек; $A2C2$ с окружностью, вписанной в $△BA1C1$ — $b$ общих точек; $A2B2$ с окружностью, вписанной в $△CA1B1$ — $c$ общих точек. Найдите максимальное значение числа $a+ b+ c.$

Источники: ФЕ - 2025, 10.4 ( см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чему равняется a+b+c в равностороннем треугольнике?

Подсказка 2

В равностороннем треугольнике a+b+c = 3. А если треугольник ABC — не равносторонний? Скажем, что меньшая сторона в нем — AC, AC = y, BC = x, AB = z. Как можно попробовать воспользоваться точками, данными в условии?

Подсказка 3

А если сделать гомотетию в B с коэффициентом 2 (растянуть треугольник A₁BC₁ до треугольника ABC)?

Подсказка 4

Пусть точка A₂ перейдет в A₃, точка С₂ — в С₃, что можно сказать о величинах отрезков BA₃ и BC₃?

Подсказка 5

Их можно вычислить, например, поняв, что BA₂ = (x + z - y)/2. Также на картинке присутствуют отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

Подсказка 6

Как можно оценить BA₃ и BC₃, если y меньше x и z?

Подсказка 7

Получим, что BA₃ ≥ x и BC₃ ≥ z, причём одно из неравенств строгое (иначе треугольник окажется равносторонним). Какие выводы можно сделать из этих оценок?

Подсказка 8

Будет ли A₃C₃ пересекать вписанную окружность?

Показать ответ и решение

Заметим, что в равностороннем треугольнике $a+ b+c= 3.$ Пусть треугольник не равносторонний, его меньшая сторона — $AC,$ $x= BC,$ $y =CA,$ $z = AB.$ Сделаем гомотетию в $B$ с коэффициентом $2$ (растянем треугольник $BA1C1$ до треугольника $ABC ),$ тогда вписанная окружность треугольника $BA1C1$ перейдет во вписанную окружность треугольника $ABC.$ Пусть $A2$ переходит в $A3,$ $C2$ — в $C3.$

$PIC$

Тогда

x+ z− y BA2 = BC2 =---2---

Значит,

BA3 =BC3 = x+ z− y

Так как $y ≤ min(x,z),$ то $BA3 ≥x$ и $BC3 ≥ z,$ причём одно из неравенств строгое (иначе треугольник окажется равносторонним). Значит, $A3C3$ не пересекает вписанную окружность, поэтому $b =0$ и $a+ c≤ 4.$ В качестве примера можно взять треугольник с длинами сторон $x= z > y.$ Для него $a= c= 2:$ отрезки $B2C2$ и $B2A2$ исходят из вершины $B2 =B1$ треугольников $AB1C1$ и $CA1B1,$ причем их вторые концы лежат строго внутри противолежащих сторон, так как $BA2 = BC2 > x2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85911

Прямая $ℓ$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ . Точки $D$ и $E$ таковы, что $CD$ и $BE$ перпендикулярны $ℓ$ , а углы $DAC$ и $EAB$ прямые. Докажите, что $BD$ и $CE$ пересекаются на высоте треугольника $ABC$ из вершины $A$ .

Источники: ФЕ - 2024, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу обозначим точки пересечения l с CD и BE за F и G соответственно. Так как у нас фигурирует высота, то неплохой идеей было бы отметить ортоцентр H. Что про него можно сказать?

Подсказка 2

Докажем, что DB проходит через середину AH. А как использовать то, что DA перпендикулярно AC? А как использовать касательную?

Подсказка 3

DA || BH, а угол FAC равен углу ABC. А кем являются BD и AH для четырехугольника DABH?

Подсказка 4

Они являются диагоналями четырехугольника. Значит, было бы неплохо доказать, что DABH — параллелограмм. А как добиться того, что DH будет параллельно AB?

Подсказка 5

Угол DHC будет прямым, а, значит, четырехугольник DAHC будет каким?) Осталось лишь доказать, что это действительно так!

Показать доказательство

Пусть $H$ — ортоцентр $ABC.$

$AD$ перпендикулярно $AC$ и $BH$ перпендикулярно $AC$ , значит $AD∥BH$ . Пусть касательная в точке $A$ пересекает $CD$ в точке $F.$

$PIC$

$∠FAC = ∠ABC$ как угол между касательной и хордой.

∠CDA = 90∘ − ∠ACD =90∘− (90∘− ∠FAC )=∠F AC =∠ABC

Значит, точки $C,D, A,H$ лежат на одной окружности. Значит, $∠DHC$ - прямой, а значит $DH ∥AB$ .

Тогда $BADH$ — параллелограмм, а значит, $BD$ проходит через середину $AH$ . Аналогично $CE$ тоже через неё проходит, ч.т.д.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94759

Дан треугольник $ABC.$ $O 1$ — центр его вписанной окружности; $O 2$ — центр окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений двух других сторон треугольника $ABC$ . На дуге $BO2$ описанной окружности треугольника $O1O2B$ отмечена такая точка $D$ , что угол $BO2D$ вдвое меньше угла $BAC.$ $M$ — середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$ . Докажите, что точки $D,M, C$ лежат на одной прямой.

Источники: ФЕ - 2021, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ух, как много всего на картинке... Можно не рисовать сразу вписанную и вневписанную окружности из условия, так как там говорилось только про их центры. И что мы знаем про центры этих окружностей? Можем ли мы найти какие-то углы?

Подсказка 2

Центры окружностей являются точками пересечения биссектрис, а тогда стоит обратить внимание на вершины треугольника, из которых исходят сразу 2 биссектрисы! Углы между ними как раз и можем определить. А что хорошего это даёт?

Подсказка 3

Ага, перед нами вписанный четырёхугольник! Тогда можно перекинуть угол BO₂D. А что там с углом BAC? Чему будет равна его половинка и как воспользоваться серединой дуги, точкой М?

Подсказка 4

Как связаны ∠BCM и ∠BAC? Тогда какой вывод можем сделать об углах ∠BCM и ∠BCD? Задача решена!

Показать доказательство

Заметим, что углы $O BO 1 2$ и $O CO 1 2$ прямые (как углы между биссектрисами смежных углов), поэтому $B,O ,C,O 1 2$ лежат на одной окружности, и

1 ∠BCD = ∠BO2D = 2∠BAC

$PIC$

Но угол $BCM$ тоже равен $12∠BAC$ (поскольку опирается на половину дуги $BC$ ), так что точки $D,M,C$ лежат на одной прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94763

На плоскости нарисован равносторонний треугольник и три окружности с центрами в его вершинах, причём радиус каждой из окружностей меньше высоты треугольника. Точка плоскости красится в жёлтый цвет, если она лежит внутри ровно одной из окружностей; в зелёный, если внутри ровно двух; в синий, если внутри всех трёх:

$PIC$

Оказалось, что жёлтая площадь равна 1000 , зелёная 100 , а синяя — 1 . Что больше: сторона треугольника или суммарная длина зелёных отрезков, лежащих на сторонах треугольника?

Источники: ФЕ - 2021, 11.6 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали площади всех частей. Давайте попробуем выразить с их помощью площадь треугольника, ведь тогда сможем найти его сторону!

Подсказка 2

Жёлтую площадь внутри треугольника так просто не найти... Но зато сможем найти площади частей кругов, лежащих внутри треугольника (если найдём сумму площадей всех кругов), а потом вычтем лишние площади. Стоит заметить, что картинка симметричная, поэтому зелёные площади делятся сторонами треугольника пополам!

Подсказка 3

Отлично, площади треугольника и его сторону (он ведь равносторонний) нашли! Осталось её сравнить с суммой длин отрезков. Попробуйте выразить длины всех зелёных отрезков при помощи стороны треугольника и радиусов окружностей. И сравнить их сумму со стороной треугольника.

Подсказка 4

У вас наверняка получилось сравнение r₁ + r₂ + r₃ V 2a (V - неизвестный знак). Сумму радиусов мы не знаем, но что мы можем найти из известной нам суммы площадей кругов? А при помощи какого неравенства можно перейти к этому?

Подсказка 5

Из суммы площадей кругов мы знаем сумму квадратов радиусов! А какое неравенство связывает сумму чисел и сумму их квадратов? Тогда что будет больше?

Подсказка 6

Поможет неравенство о среднем арифметическом и средним квадратическим или неравенство КБШ (Коши-Буняковского-Шварца)! Остаётся только подставить числа и проверить, действительно ли (2а)² > 3(r₁² + r₂² + r₃²).

Показать ответ и решение

Сумма площадей трёх кругов равна $1000+ 2⋅100 +3⋅1= 1203$ ; сумма площадей трёх «линз» равна $100+ 3⋅1= 103$ («линза» - это пересечение двух кругов). Площадь треугольника равна $S1− S2+S3$ , где

$S1 =1203∕6$ — сумма площадей трёх 60-градусных секторов,

$S2 =103∕2$ — сумма площадей половинок трёх «линз», лежащих внутри треугольника; $S3 = 1$ — площадь синей области.

Действительно, при таком подсчёте каждая жёлтая область внутри треугольника посчитана 1 раз, каждая зелёная: $2− 1=1$ раз, синяя область: $3− 3+1 =1$ раз.

Итого получаем, что площадь треугольника равна $1203 103 1203−309+6 900 6 − 2 + 1= 6 = 6 = 150$ .

Пусть $r1,r2,r3$ — радиусы окружностей, $a$ — сторона треугольника. Тогда $√3 2 -4 a = 150.$ Докажем, что

(r1 +r2− a)+(r2+r3− a)+(r3+r1− a)< a,

то есть

r1+ r2+ r3 < 2a.

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца

2 (2 2 2) (r1+r2+ r3) ≤ 3 r1 +r2 + r3 ,

так что остаётся доказать, что

∘ 3⋅1203 ∘-4----- --π---< 2 √3 ⋅150

Возведём обе части в квадрат и домножим их на $π√- 3$ , после чего применим цепочку очевидных неравенств

1203√3-< 1203⋅2= 2406 <2480= 800 ⋅3,1< 800π

Ответ: сторона

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#123419

Прямоугольник $ABCD$ сложили вдоль линии $MN$ так, что точки $B$ и $D$ совпали. Оказалось, что $AD = AC′.$ Найдите соотношение сторон прямоугольника.

Источники: ФЕ - 2020, 11.1 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на ключевые данные: после разлома AD = AC. Что это говорит о треугольниках ACD и ACD? Как связаны их стороны и углы? Рассмотрите симметрию относительно линии разлома MN.

Подсказка 2

Из симметрии следует, что CD = BC. Почему? Как это помогает найти углы в получившихся треугольниках?

Подсказка 3

Поаробуйте доказать, что треугольник ACD равносторонний. Какие углы в нём равны 60°? Как это связано с прямоугольным треугольником AND?

Подсказка 4

В прямоугольном треугольнике AND с углом 30° катеты связаны как 3:1. Как это соотношение переносится на стороны исходного прямоугольника ABCD?

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия следует, что точка $B$ симметрична $D,$ а точка $C′$ симметрична $C$ относительно $MN.$ Значит, отрезок $C′D$ симметричен отрезку $BC$ относительно $MN,$ поэтому $C′D = BC.$ Кроме этого, точка $N$ при симметрии переходит в себя, поэтому развёрнутый угол $BNC$ переходит в угол $C ′ND,$ который, следовательно, тоже развёрнутый. Получается, точка $N$ лежит на прямой $C ′D.$

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD = BC = C′D.$ По условию $AD = AC′.$ Отсюда, $AC′ = AD = C′D,$ то есть треугольник $AC′D$ равносторонний и $∠C ′DA = 60∘.$ Так как $N ∈ C′D,$ то: