Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмы на Межведе

Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Логарифмы на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Источники: Межвед - 2024, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство:

( 1 ) ( 1 ) 1 1 log2 1+ 2023- +log2 1+(1− 2024-) > 2023-+1− 2024

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68093

Найдите количество целых решений уравнения

sin(π⋅log2x)+ cos(π⋅log2x)= 1

на отрезке $[1;90].$

Источники: Межвед-2023, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать ответ и решение

Разделим обе части уравнения на $√2 :$

π π -1- sin(π ⋅log2 x)⋅cos4 + sin 4 ⋅cos(π⋅log2x)= √2

( ) sin π ⋅log2x+ π = √1- 4 2

[ π ⋅log2x+ π4 = π4 +2πn,n∈ ℤ π ⋅log2x+ π4 = 3π4 + 2πk,k ∈ℤ

[ π⋅log2x= 2πn π⋅log2x= π2 +2πk

Отсюда получаем, что $x= 22n$ или $1 x =22+2k.$ Поскольку число $1 22+2k$ не является целым, остается найти количество целых значений $n$ таких, что

1≤ 22n ≤90.

Решениями неравенства являются целые числа $0,1,2,3.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#102524

Решите неравенство

log2x log x (2 ) 2 2 − 12⋅x 0,5 < 3− log3− x x − 6x+ 9 .

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

2log22x− 12 ⋅xlog0,5x <3− log (x2− 6x +9)⇔ log x − logx 3−x 2 x 2 −{ 12 ⋅x 2 < 3− log3−x(3− x) ⇔ xlog2x− 12 ⋅x− log2x < 1 (1) ⇔ x< 3,x⁄= 2 (2).

Решим неравенство (1) системы. Обозначим $xlog2x = y,y >0$ . Тогда

(1)⇔ y− 12< 1 y

(y+-3)(y− 4) y <0

Так как $y > 0$ , то $y ∈ (0;4)$ . Отсюда

√ - √- xlog2x <4⇔ log22x< 2⇔ − 2< log2x< 2 ⇔

$−√2- √2 2 < x< 2$ — это ответ в неравенстве (1).

Далее учтем ограничения (2). Для этого сравним числа $√2 2$ и $3.$

Заметим, что $2√2 < 21,5$ и $21,5 < 3$ , так как $8= (21,5)2 <$ $32 = 9$ . Поэтому $2√2 <3$ . Запишем ответ с учетом (2).

Ответ:

$(2−√2;2)∪ (2;2√2)$