Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Логарифмы на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Источники: Межвед - 2024, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое неравенство хочется доказать для аргумента логарифма, благодаря которому задача будет решена?

Подсказка 2

Попробуем доказать такое неравенство: log₂(x+1) > x, для любого x от 0 до 1. Как его можно доказать? Как вообще доказываются многие неравенства?

Подсказка 3

Мы знаем, что можно понять о возрастании/убывании функции через производную. А именно можно посмотреть на вторую производную какой-то хорошей функции, какой же?

Подсказка 4

Например, на вторую производную функции n+1-2ⁿ. Чему она равна и какой вывод мы из этого можем сделать?

Подсказка 5

Вторая производная равна -ln²2*2ⁿ, которая очевидно меньше 0 на всём промежутке (0;1)

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство: