Планиметрия на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В четырёхугольнике 
диагонали пересекаются в точке 
. Известно, что 
. Найдите
синус угла между диагоналями этого четырёхугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных
условиях.
Докажем, что четырехугольник 
— параллелограмм. Пусть 
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой
пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
.
По условию площади треугольников 
и 
равны, то есть
Отсюда
и, следовательно, треугольники 
и 
подобны по первому признаку подобия: две стороны ( 
и 
) треугольника 
пропорциональны двум сторонам ( 
и 
) треугольника 
, а углы, образованные этими сторонами ( 
и 
), равны.
Пусть 
— коэффициент подобия треугольников 
и 
. Обозначим через 
площади треугольников 
и 
(по условию 
). Тогда 
и 
. В итоге, площадь четырехугольника 
может быть представлена в
виде:
Известно, что для 
минимальное значение выражения 
достигается при 
. Значит, 
и 
, то есть
диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому 
— параллелограмм. Его площадь
.
Для нахождения синуса угла между диагоналями воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
Чтобы найти длины диагоналей, вычислим сторону 
, записав формулу для площади параллелограмма
Теперь найдем диагонали 
и 
по теореме косинусов из треугольников 
и 
:
Подставив найденные значения в соотношение (1), получим 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
