Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Планиметрия на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78851

На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что угол $EAF$ равен $45∘.$ Длина стороны квадрата равна 1. Найдите периметр треугольника $CEF.$

Источники: Межвед - 2021, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вспомним, что угол, под которым видна сторона треугольника из центра вневписанной окружности, равен $∘ α 90 − 2,$ где $α$ — угол, в который окружность вневписана.

Центр вневписанной окружности треугольника $CEF$ лежит на прямой $AC,$ т.к. биссектриса совпадает с диагональю квадрата $AC.$ Но при этом

∠ECF ∠EAF = 45∘ = 90∘−--2--,

то есть точка $A$ как раз является центром вневписанной окружности треугольника $CEF.$

$PIC$

Тогда точки $B$ и $D$ — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон треугольника $CEF,$ а его периметр равен $BC + CD = 1+1 =2.$

Второе решение.

Если отразить точку $D$ относительно прямой $AF,$ а затем относительно прямой $AE,$ то она перейдет в точку $B.$ Действительно композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. То есть в нашем случае эти две симметрии эквивалентны повороту на угол $90∘$ относительно точки $A.$ Это означает, что образ точки $D$ при симметрии относительно $AF$ и образ точки $B$ при симметрии относительно $AE$ — это одна и та же точка; на рисунке она обозначена $K.$

$PIC$

Из точки $K$ отрезки $AE$ и $AF$ видны под углом $90∘$ (при симметрии сохраняются величины углов, поэтому например, углы $ABE$ и $AKE$ равны). Значит, точка $K$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $EF.$ И, наконец, поскольку $BE = EK$ и $DF = FK$ (при симметрии длины отрезков сохраняются), видим, что периметр треугольника $CEF$ равен сумме длин сторон $BC$ и $CD$ квадрата.

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49012

В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ выбрана точка $Q$ так, что $AQ :QC = 1:2.$ Из точки $Q$ опущены перпендикуляры $QM$ и $QK$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно. При этом $BM :MA = 4:1,BK =KC$ . Найдите $MK :AC$ .

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Раз $QK$ и медиана, и высота в треугольнике $BQC$ , то он равнобедренный, и значит, $QC = QB$ . Пусть $AQ = a$ и $AM = b$ . Тогда $MB =4b$ и $BQ = QC =2a$ . Так как $MQ ⊥ AB$ , то $BQ2 − AQ2 = 3a2 = BM2 − AM2 = 15b2$ . Значит, $√ - a = 5b$ . Тогда $AQ2 + QB2 = 5a2 = 25b2 = AB2$ . Значит, $QB ⊥ AC.$

$PIC$

Проведем через $M$ прямую параллельную $AC$ . Мы знаем, что $BQ =QC$ и $∘ ∠BQC = 90$ , поэтому $∘ ∠MDK = ∠ACK = 45$ и $√- BC = 2 2a$ и $√- BK = KC = 2a$ . Из параллельности $MD- BM- BD- AC = AB =BC$ , поэтому $4 12a MD = 5 ⋅3a= 5$ , $8√2a- BD = 5$ и $8√2a √- 3√2a KD = 5 − 2a= 5$ . Тогда по теореме косинусов

2 18a2 144a2 72a2 90a2 KM = -25--+ -25-− -25-= -25-

Тогда

3a√-- √-- KM--= -5-10 = -10 AC 3a 5

Ответ:

$√10-:5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#100846

В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Известно, что $S = S = 3,BC = 3√2,cos∠ADC = √3- ABO CDO 2 10$ . Найдите синус угла между диагоналями этого четырёхугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.

Показать ответ и решение

Докажем, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Пусть $x ,x,y ,y 1 2 1 2$ — отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через $a$ .

$PIC$

По условию площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны, то есть

1 1 2x1y2sin a= 2x2y1sin a

Отсюда

x1 = y1, x2 y2

и, следовательно, треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по первому признаку подобия: две стороны ( $x1$ и $y1$ ) треугольника $BOC$ пропорциональны двум сторонам ( $x2$ и $y2$ ) треугольника $AOD$ , а углы, образованные этими сторонами ( $∠BOC$ и $∠AOD$ ), равны. Пусть $k = x1 = y1 x2 y2$ — коэффициент подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ . Обозначим через $S$ площади треугольников $ABO$ и $CDO$ (по условию $S = 3 2$ ). Тогда $SBOC = k⋅S$ и $SAOD = S∕k$ . В итоге, площадь четырехугольника $ABCD$ может быть представлена в виде:

( 1) SABCD = SAOD+ SCDO +SBOC + SABO =2S +S k+ k

Известно, что для $k> 0$ минимальное значение выражения $1 k +k$ достигается при $k= 1$ . Значит, $x1 = x2$ и $y1 = y2$ , то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $ABCD$ — параллелограмм. Его площадь $SABCD = 4S = 6$ .

Для нахождения синуса угла между диагоналями воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

SABCD = 1⋅AC ⋅BD ⋅sin a= 2SABCD- 2 AC ⋅BD

Чтобы найти длины диагоналей, вычислим сторону $CD$ , записав формулу для площади параллелограмма

SABCD = 4S = AD ⋅CD ⋅sin∠ADC

CD = -----4S----- = ---∘-4⋅ 32----= 2√5 AD ⋅sin∠ADC 3√2- 1− (√3-)2 10

Теперь найдем диагонали $AC$ и $BD$ по теореме косинусов из треугольников $ADC$ и $BCD$ :

AC = ∘AD2-+-CD2-− 2-⋅AD-⋅CD-⋅cos∠ADC-=√2- ∘---------------------------- √-- BD = AD2 + CD2+ 2⋅AD ⋅CD ⋅cos∠ADC = 74

Подставив найденные значения в соотношение (1), получим $√6- sina = 37$ .

Ответ:

$√-6- 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49013

Про пятиугольник $ABCDE$ известно, что

0 0 AB = BC = CD = DE,∠B = 96 ,∠C = ∠D = 108 .

Найдите $∠E.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Давайте пересечем $CE$ и $BD$ в точке $F$ . $180∘−∠C- ∘ ∠BDC = ∠DBC = 2 =36$ из равнобедренности $DCB$ . Аналогично, $∘ ∠ECD =∠CED = 36$ . Тогда $∘ ∠BF C = 72$ и из этого следует, что $∘ ∠BCF = 72$ . Значит, $BF = BC$ . Аналогично, $EF = ED$ .

$PIC$

Теперь посчитаем $∘ ∠ABF =∠ABC − ∠DBC =60$ . Значит, $AF = AB =BF = EF$ . Отсюда следует, что $∘ ∠AF E =48$ , $∘ ∠AEF = 66$ , $∘ ∠E = ∠AEC + ∠CED = 102$ .

Ответ:

$102∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#78850

В трапеции, площадь которой равна 1, каждая сторона поделена на три равные части. Соответствующие точки соединены отрезками, как показано на рисунке:

$PIC$

Найдите площадь заштрихованной фигуры, если известно, что нижнее основание трапеции в два раза больше верхнего.

Источники: Межвед-2014, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим через $S = S ONRQ$ площадь заштрихованной фигуры.

$PIC$

По свойствам площадей треугольников с общим углом имеем:

SAOD-= 3⋅3= 9, SEQD 2⋅2 4

отсюда

4 5 SEQD = 9SAOD =⇒ SAOQE = SPNOD = 9SAOD

В то же время треугольник $ERP$ подобен треугольнику $AOD$ с коэффициентом подобия $1 3,$ значит

1 SERP = 9SAOD =⇒ SAOQE + SPNOD +SERP − S = SAOD

5 5 1 2 9SAOD+ 9SAOD − 9SAOD − S = SAOD =⇒ S = 9SAOD

При этом, $BC-+-AD- SABCD = 2 (h1+ h2),$ где $h1$ — высота треугольника $BOC$ и $h2$ — высота треугольника $AOD.$ Ясно, что $h1 = 1 2$ в силу подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ с коэффициентом $1. 2$ Следовательно:

SABCD = BC-+-AD-(h1+ h2)= 3⋅AD-⋅ 3h2 = 1 =⇒ AD⋅h2 = 8 2 4 2 9

И в итоге:

S = 2S = 2⋅ 1 ⋅AD ⋅h =-8 9 AOD 9 2 2 81

Ответ:

$-8 81$