Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Планиметрия на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78851

На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что угол $EAF$ равен $45∘.$ Длина стороны квадрата равна 1. Найдите периметр треугольника $CEF.$

Источники: Межвед - 2021, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам вообще дали в задаче? Сторону квадрата и угол в 45 градусов. Скудный набор. Но при этом чуть-чуть про периметр нам известно, что это часть у двух сторон квадрата. Какая возможная есть гипотеза про вероятный периметр треугольника?

Подсказка 2

Ага, у нас треугольник расположен в углу и, если "развернуть" его гипотенузу, то периметр будет равен сумме двух сторон квадрата. Теперь это надо доказать. Попробуем сделать такую хитрую штуку. Что произойдёт, если точку D сначала отразить относительно AF, а потом относительно AE? Куда перейдёт точка D?

Подсказка 3

Верно, точка D перейдёт в точку B! Это будет так, потому что композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. Получается, что у нас точки B и D при отражении относительно сторон являются одной точкой X на EF. Но чем на самом деле является точка X в треугольнике AEF?

Подсказка 4

Да, это основание высоты из точки A. Это вытекает из свойств симметрии. Осталось только аналогично понять равенство отрезков, и мы добились своей цели. Победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вспомним, что угол, под которым видна сторона треугольника из центра вневписанной окружности, равен $∘ α 90 − 2,$ где $α$ — угол, в который окружность вневписана.

Центр вневписанной окружности треугольника $CEF$ лежит на прямой $AC,$ т.к. биссектриса совпадает с диагональю квадрата $AC.$ Но при этом

∠ECF ∠EAF = 45∘ = 90∘−--2--,

то есть точка $A$ как раз является центром вневписанной окружности треугольника $CEF.$

$PIC$

Тогда точки $B$ и $D$ — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон треугольника $CEF,$ а его периметр равен $BC + CD = 1+1 =2.$

Второе решение.

Если отразить точку $D$ относительно прямой $AF,$ а затем относительно прямой $AE,$ то она перейдет в точку $B.$ Действительно композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. То есть в нашем случае эти две симметрии эквивалентны повороту на угол $90∘$ относительно точки $A.$ Это означает, что образ точки $D$ при симметрии относительно $AF$ и образ точки $B$ при симметрии относительно $AE$ — это одна и та же точка; на рисунке она обозначена $K.$

$PIC$

Из точки $K$ отрезки $AE$ и $AF$ видны под углом $90∘$ (при симметрии сохраняются величины углов, поэтому например, углы $ABE$ и $AKE$ равны). Значит, точка $K$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $EF.$ И, наконец, поскольку $BE = EK$ и $DF = FK$ (при симметрии длины отрезков сохраняются), видим, что периметр треугольника $CEF$ равен сумме длин сторон $BC$ и $CD$ квадрата.

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49012

В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ выбрана точка $Q$ так, что $AQ :QC = 1:2.$ Из точки $Q$ опущены перпендикуляры $QM$ и $QK$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно. При этом $BM :MA = 4:1,BK =KC$ . Найдите $MK :AC$ .

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала стоит обратить внимание на QK, ведь это и медиана, и высота в △BQC. Делаем вывод про △BQC, а дальше, конечно, надо бы ввести какие-нибудь удобные обозначения для отношений на сторонах AB и AC!

Подсказка 2

Например, положим AQ = a и AM = b. Как мы вообще собираемся считать отношение MK:AC? Кажется, что мы хотим выразить MK и AC через какую-то одну переменную, тогда она при делении сократится. Значит, надо найти связь между a и b! Что из условия ещё остаётся неиспользованным?

Подсказка 3

Конечно же, перпендикулярность QM и AB! Попробуйте использовать образовавшиеся прямоугольные треугольники, чтобы найти эту самую связь между a и b. Может, это ещё натолкнёт вас на какой-нибудь крутой факт про BQ...

Подсказка 4

Действительно, проведя расчёты, получим, что BQ ⊥ AC. Теперь снова обратим внимание на △BQC. Помимо того, что он равнобедренный, теперь мы ещё знаем, что он прямоугольный, значит, углы при гипотенузе хорошие! Только вот как это можно использовать? Поскольку сторона AC выражается через a, то мы хотим выразить MK тоже через a. Может быть, теорема косинусов? Там как раз можно будет использовать найденный хороший угол! Только надо сначала сформировать подходящий треугольник.

Подсказка 5

А именно, проведём прямую, параллельную AC, через точку M, тогда образуется треугольник, высеченный этой прямой и MK. Осталось в нём найти стороны и использовать теорему косинусов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Раз $QK$ и медиана, и высота в треугольнике $BQC$ , то он равнобедренный, и значит, $QC = QB$ . Пусть $AQ = a$ и $AM = b$ . Тогда $MB =4b$ и $BQ = QC =2a$ . Так как $MQ ⊥ AB$ , то $BQ2 − AQ2 = 3a2 = BM2 − AM2 = 15b2$ . Значит, $√ - a = 5b$ . Тогда $AQ2 + QB2 = 5a2 = 25b2 = AB2$ . Значит, $QB ⊥ AC.$

$PIC$

Проведем через $M$ прямую параллельную $AC$ . Мы знаем, что $BQ =QC$ и $∘ ∠BQC = 90$ , поэтому $∘ ∠MDK = ∠ACK = 45$ и $√- BC = 2 2a$ и $√- BK = KC = 2a$ . Из параллельности $MD- BM- BD- AC = AB =BC$ , поэтому $4 12a MD = 5 ⋅3a= 5$ , $8√2a- BD = 5$ и $8√2a √- 3√2a KD = 5 − 2a= 5$ . Тогда по теореме косинусов

2 18a2 144a2 72a2 90a2 KM = -25--+ -25-− -25-= -25-

Тогда

3a√-- √-- KM--= -5-10 = -10 AC 3a 5

Ответ:

$√10-:5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#100846

В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Известно, что $S = S = 3,BC = 3√2,cos∠ADC = √3- ABO CDO 2 10$ . Найдите синус угла между диагоналями этого четырёхугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.

Показать ответ и решение

Докажем, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Пусть $x ,x,y ,y 1 2 1 2$ — отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через $a$ .

$PIC$

По условию площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны, то есть

1 1 2x1y2sin a= 2x2y1sin a

Отсюда

x1 = y1, x2 y2

и, следовательно, треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по первому признаку подобия: две стороны ( $x1$ и $y1$ ) треугольника $BOC$ пропорциональны двум сторонам ( $x2$ и $y2$ ) треугольника $AOD$ , а углы, образованные этими сторонами ( $∠BOC$ и $∠AOD$ ), равны. Пусть $k = x1 = y1 x2 y2$ — коэффициент подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ . Обозначим через $S$ площади треугольников $ABO$ и $CDO$ (по условию $S = 3 2$ ). Тогда $SBOC = k⋅S$ и $SAOD = S∕k$ . В итоге, площадь четырехугольника $ABCD$ может быть представлена в виде:

( 1) SABCD = SAOD+ SCDO +SBOC + SABO =2S +S k+ k

Известно, что для $k> 0$ минимальное значение выражения $1 k +k$ достигается при $k= 1$ . Значит, $x1 = x2$ и $y1 = y2$ , то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $ABCD$ — параллелограмм. Его площадь $SABCD = 4S = 6$ .

Для нахождения синуса угла между диагоналями воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

SABCD = 1⋅AC ⋅BD ⋅sin a= 2SABCD- 2 AC ⋅BD

Чтобы найти длины диагоналей, вычислим сторону $CD$ , записав формулу для площади параллелограмма

SABCD = 4S = AD ⋅CD ⋅sin∠ADC

CD = -----4S----- = ---∘-4⋅ 32----= 2√5 AD ⋅sin∠ADC 3√2- 1− (√3-)2 10

Теперь найдем диагонали $AC$ и $BD$ по теореме косинусов из треугольников $ADC$ и $BCD$ :

AC = ∘AD2-+-CD2-− 2-⋅AD-⋅CD-⋅cos∠ADC-=√2- ∘---------------------------- √-- BD = AD2 + CD2+ 2⋅AD ⋅CD ⋅cos∠ADC = 74

Подставив найденные значения в соотношение (1), получим $√6- sina = 37$ .

Ответ:

$√-6- 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49013

Про пятиугольник $ABCDE$ известно, что

0 0 AB = BC = CD = DE,∠B = 96 ,∠C = ∠D = 108 .

Найдите $∠E.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть много равных отрезков, а значит, равнобедренных треугольников! Какие из них наиболее выгодно рассмотреть?

Подсказка 2

Часто в самых разных задачах по математике выгодно придерживаться некоторой симметрии. У нас точки C и D как бы равноправны, поэтому давайте рассмотрим равнобедренные треугольники EDC и BCD и посчитаем их углы.

Подсказка 3

Теперь можно продолжить считать разные углы на картинке, пока не заметим что-нибудь интересное. Посчитайте все углы треугольников EFD и BFC (F - точка пересечения EC и BD). Что вы замечаете?

Подсказка 4

Эти треугольники равнобедренные! А значит, у нас ещё больше равных отрезков и где-то на картинке скрывается равносторонний треугольник...

Подсказка 5

Треугольник ABF оказывается равносторонним, и это помогает нам добраться до угла E!

Показать ответ и решение

$PIC$

Давайте пересечем $CE$ и $BD$ в точке $F$ . $180∘−∠C- ∘ ∠BDC = ∠DBC = 2 =36$ из равнобедренности $DCB$ . Аналогично, $∘ ∠ECD =∠CED = 36$ . Тогда $∘ ∠BF C = 72$ и из этого следует, что $∘ ∠BCF = 72$ . Значит, $BF = BC$ . Аналогично, $EF = ED$ .

$PIC$

Теперь посчитаем $∘ ∠ABF =∠ABC − ∠DBC =60$ . Значит, $AF = AB =BF = EF$ . Отсюда следует, что $∘ ∠AF E =48$ , $∘ ∠AEF = 66$ , $∘ ∠E = ∠AEC + ∠CED = 102$ .

Ответ:

$102∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#78850

В трапеции, площадь которой равна 1, каждая сторона поделена на три равные части. Соответствующие точки соединены отрезками, как показано на рисунке:

$PIC$

Найдите площадь заштрихованной фигуры, если известно, что нижнее основание трапеции в два раза больше верхнего.

Источники: Межвед-2014, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим нашу искомую площадь за S. Давайте сначала вспомним, что нам известно. Нам дали отношение оснований и площадь трапеции. О чём нам на самом деле говорит условие про отношение оснований? Как можно по другому его сформулировать?

Подсказка 2

Верно, раз мы знаем отношение оснований, то мы знаем коэффициент подобия треугольников, которые образуются пересечением оснований. И давайте, чтобы у нас хоть что-нибудь было, мы запишем площадь трапеции. Но как её будет удобнее всего записать? Вспомним, что наша искомая площадь находится в нижнем треугольнике.

Подсказка 3

Да, давайте выразим площадь трапеции через нижнее основание и высоту этого треугольника. Понятно, что через подобие основание и высота верхнего треугольника выражаются через нижний. Что же теперь? Мы получили, что произведение основания на высоту треугольника равно 8/9, то есть по сути мы знаем его площадь. Значит, какая у нас из-за этого появляется цель, чтобы найти исходную площадь?

Подсказка 4

Верно, нам нужно попытаться выразить S через треугольник. Попробуем это сделать. Какое есть свойство площадей у треугольников с общим углом? Ещё не стоит забывать про подобие.

Подсказка 5

Верно, это свойство о том, что отношение площадей равно отношению произведению прилежащих к общему углу сторон треугольников. Отсюда мы можем найти площадь "средних" треугольников внутри. Теперь можно через коэффициент подобия найти площадь маленького треугольника посередине. Осталось только выразить S через площадь большого, и победа!

Показать ответ и решение

Обозначим через $S = S ONRQ$ площадь заштрихованной фигуры.

$PIC$

По свойствам площадей треугольников с общим углом имеем:

SAOD-= 3⋅3= 9, SEQD 2⋅2 4

отсюда

4 5 SEQD = 9SAOD =⇒ SAOQE = SPNOD = 9SAOD

В то же время треугольник $ERP$ подобен треугольнику $AOD$ с коэффициентом подобия $1 3,$ значит

1 SERP = 9SAOD =⇒ SAOQE + SPNOD +SERP − S = SAOD

5 5 1 2 9SAOD+ 9SAOD − 9SAOD − S = SAOD =⇒ S = 9SAOD

При этом, $BC-+-AD- SABCD = 2 (h1+ h2),$ где $h1$ — высота треугольника $BOC$ и $h2$ — высота треугольника $AOD.$ Ясно, что $h1 = 1 2$ в силу подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ с коэффициентом $1. 2$ Следовательно:

SABCD = BC-+-AD-(h1+ h2)= 3⋅AD-⋅ 3h2 = 1 =⇒ AD⋅h2 = 8 2 4 2 9

И в итоге:

S = 2S = 2⋅ 1 ⋅AD ⋅h =-8 9 AOD 9 2 2 81

Ответ:

$-8 81$