Планиметрия на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции, площадь которой равна 1, каждая сторона поделена на три равные части. Соответствующие точки соединены отрезками, как показано на рисунке:
Найдите площадь заштрихованной фигуры, если известно, что нижнее основание трапеции в два раза больше верхнего.
Источники:
Подсказка 1
Обозначим нашу искомую площадь за S. Давайте сначала вспомним, что нам известно. Нам дали отношение оснований и площадь трапеции. О чём нам на самом деле говорит условие про отношение оснований? Как можно по другому его сформулировать?
Подсказка 2
Верно, раз мы знаем отношение оснований, то мы знаем коэффициент подобия треугольников, которые образуются пересечением оснований. И давайте, чтобы у нас хоть что-нибудь было, мы запишем площадь трапеции. Но как её будет удобнее всего записать? Вспомним, что наша искомая площадь находится в нижнем треугольнике.
Подсказка 3
Да, давайте выразим площадь трапеции через нижнее основание и высоту этого треугольника. Понятно, что через подобие основание и высота верхнего треугольника выражаются через нижний. Что же теперь? Мы получили, что произведение основания на высоту треугольника равно 8/9, то есть по сути мы знаем его площадь. Значит, какая у нас из-за этого появляется цель, чтобы найти исходную площадь?
Подсказка 4
Верно, нам нужно попытаться выразить S через треугольник. Попробуем это сделать. Какое есть свойство площадей у треугольников с общим углом? Ещё не стоит забывать про подобие.
Подсказка 5
Верно, это свойство о том, что отношение площадей равно отношению произведению прилежащих к общему углу сторон треугольников. Отсюда мы можем найти площадь "средних" треугольников внутри. Теперь можно через коэффициент подобия найти площадь маленького треугольника посередине. Осталось только выразить S через площадь большого, и победа!
Обозначим через 
площадь заштрихованной фигуры.
.png)
По свойствам площадей треугольников с общим углом имеем:
отсюда
В то же время треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом подобия 
значит
При этом, 
где 
— высота треугольника 
и 
— высота треугольника 
Ясно, что
в силу подобия треугольников 
и 
с коэффициентом 
Следовательно:
И в итоге:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
