Стереометрия на Межведе

В задаче речь идет о трехгранном угле с вершиной в центре сферы, высекающем на сфере криволинейный треугольник. Площадь этого треугольника требуется выразить через радиус сферы и данные в условии плоские углы трехгранного угла, которые будем обозначать

Рассмотрим сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. Касательные к окружностям в их точке пересечения также образуют угол Площадь поверхности сферы равна Площадь высекаемой плоскостями «дольки» (указанной на рисунке цветом) очевидно пропорциональна величине и равна

Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника обозначим через а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла за Площади криволинейных треугольников, примыкающих к сторонам треугольника обозначим С каждым из этих треугольников образует «дольку», поэтому Оставшиеся из -х нерассмотренных криволинейных треугольников симметричны -м рассмотренным относительно центра сферы. Значит, суммарная площадь рассматриваемых четырех треугольников равна половине площади сферы, то есть Тогда сложим первые три уравнения и воспользуемся четвертым:

Из теоремы косинусов для трехгранного угла

Отсюда получаем ответ.