Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Стереометрия на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68100

Из центра $O$ сферы радиуса $R$ проведены три луча, пересекающие сферу в точках $A,B$ и $C.$ Известно, что $∠AOB =∠AOC =∠BOC =60∘.$ Найдите площадь части сферы, ограниченной плоскостями $(AOB ),(AOC)$ и $(BOC).$

Источники: Межвед-2023, 11.8 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать ответ и решение

В задаче речь идет о трехгранном угле с вершиной в центре сферы, высекающем на сфере криволинейный треугольник. Площадь этого треугольника требуется выразить через радиус сферы и данные в условии плоские углы трехгранного угла, которые будем обозначать $∠AOB =α,∠AOC = β,∠BOC = γ.$

Рассмотрим сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен $φ.$ Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. Касательные к окружностям в их точке пересечения также образуют угол $φ.$ Площадь поверхности сферы равна $2 4πR .$ Площадь высекаемой плоскостями «дольки» (указанной на рисунке цветом) очевидно пропорциональна величине $φ$ и равна $2 φ- 2 4πR ⋅2π = 2R φ.$

$PIC$

Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на $8$ треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника $ABC$ обозначим через $S,$ а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла $OABC )$ за $φ,ψ,𝜃.$ Площади криволинейных треугольников, примыкающих к сторонам треугольника $ABC,$ обозначим $Sφ,Sψ,S𝜃.$ С каждым из этих треугольников $ABC$ образует «дольку», поэтому $S +Sφ =2R2φ,S+ Sψ =2R2ψ,S+ S𝜃 = 2R2𝜃.$ Оставшиеся из $4$ -х нерассмотренных криволинейных треугольников симметричны $4$ -м рассмотренным относительно центра сферы. Значит, суммарная площадь рассматриваемых четырех треугольников равна половине площади сферы, то есть $S +Sφ +Sψ +S𝜃 =2πR2.$ Тогда сложим первые три уравнения и воспользуемся четвертым:

2S+ (S +Sφ +Sψ +S𝜃)= 2R2(φ + ψ+ 𝜃)

S = R2⋅(φ+ ψ+ 𝜃− π).

$PIC$

Из теоремы косинусов для трехгранного угла $OABC :$

1 φ= ψ = 𝜃= arccos3.

Отсюда получаем ответ.

$PIC$

Ответ:

$(3⋅arccos1− π)R2 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79218

Основанием пирамиды $TABCD$ является трапеция $ABCD$ $(BC ∥AD).$ Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $TCD$ равны $r 1$ и $r2$ соответственно. Площадь треугольника $T CD$ равна $S.$ Найдите объем пирамиды $TABCD.$

Источники: Межвед-2020, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Объем пирамиды $TABCD$ равен сумме объемов пирамид $TBCD$ и $TABD$

VTABCD =VTBCD + VTABD

Причем $VTABD =VTACD$ , так как у этих пирамид общая высота(из вершины $T$ ), а также равны площади оснований: $SABD = SACD$ (у этих треугольников общее основание $BC$ и равные по длине высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ , поскольку $ABCD$ — трапеция по условию). Итак,