Теория чисел на Межведе

Каждое 100-значное натуральное число может быть получено дописыванием двух цифр справа к 98-значному числу. Пусть — некоторое 98-значное число. Посмотрим какие справа две цифры (каждая из которых равна 1 или 2) нужно к числу приписать, чтобы получившееся 100значное число делилось на 3. Воспользуемся тем, что остаток от деления натурального числа на 3 равен остатку от деления на 3 суммы его цифр. Пусть наше число при делении на 3 дает остаток . Тогда

- если , то припишем 12 или 21 ;

- если , то припишем 11 ;

- если , то припишем 22 ;

Таким образом, из каждого 98-значного числа, кратного 3, можно получить два кратных трем 100 -значных числа. Каждое не кратное трем 98-значное число порождает только одно кратное трем 100-значное число.

Всего 98-значных чисел . Пусть среди них чисел кратно трем. (Далее символом будем обозначать количество n-значных чисел, кратных 3.) Тогда количество кратных трем 100 -значных чисел может быть найдено по формуле

Верны, таким образом, следующие соотношения:

Сложив эти равенства (величины при этом сокращаются), получим

Остается просуммировать геометрическую прогрессию и заметить, что . Тогда