Теория чисел на Межведе

Пусть пара чисел удовлетворяет уравнению

Предположим, что одно из чисел, например , равно нулю. Тогда, очевидно, . Поэтому далее будем рассматривать такие решения ( ) уравнения (1), для которых

Более того, будем предполагать, что

Итак, пусть пара ( ) удовлетворяет (1), а также усл. (2), (3). Из (1) находим, что

Это равенство можно трактовать как квадратное уравнение относительно неизвестной . По теореме Виета, помимо, собственно, , это уравнение еще имеет корень такой, что

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Утверждение.

Этот новый корень удовлетворяет условиям:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство.

Числа и удовлетворяют (1), поэтому (иначе правая часть (1) была бы отрицательной, так как, по условию задачи и в силу (2), ). Из (4) следует, что неотрицательное является целым, а из (5) — что

Установим, что . Действительно,

В силу (3) получаем

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, пара , удовлетворяющая уравнению (1) и ограничениям (2), (3), порождает новую пару (см. (4)) вида ( , которая также удовлетворяет (1), (2), (3) (если, конечно, ; так как, согласно (5), еще может быть найден по формуле , так что, если , то (3) не будет выполнено). Будем эту новую пару обозначать как . Затем по тем же формулам можно из пары получить еще решение и т.д. Символически полученный результат представим следующим образом:

Сразу же отметим и формулы обратного преобразования

с помощью которых можно цепочку (6) продолжить влево. С помощью правила (7), из одного решения , удовлетворяющего (1), (2), (3), мы можем получить лишь конечное число новых решений уравнения (1), так как, согласно доказанному утверждению, . Значит, на каком-то шаге обязательно получится (тогда, как было показано выше, ). Чтобы на -м шаге получить 0 , на предыдущем шаге должно было быть (подставив в (1), найдем ). Таким образом, окончание цепочки (6) выглядит так:

(Цепочку (8) вправо продолжать смысла нет, так как далее .) А вот что предшествует паре ? Согласно , на предыдущем шаге и это тоже решение уравнения (1)! Можно продолжить, получая новые решения: и так далее. Значит, всего решений у уравнения (1) бесконечно много, так как цепочку (8) можно продолжить влево сколь угодно далеко.

Поясним почему (8) содержит все решения (1), удовлетворяющие условию (3). Пусть ( ) - какое-то (удовлетворяющее (3)) решение уравнения (1). Было показано, что с помощью формул (7) из решения ( ) можно получить цепочку новых решений (см. (6)), которая непременно закончится решением . Но это и означает, что ( ) содержится в (8), ведь, приняв теперь решение за отправную точку, мы с помощью обратных преобразований ( ) вернемся к ( ) (а цепочка (8) именно так и устроена: начав с , мы с помощью ( ) получаем ее всю).

Чтобы записать ответ несколько поменяем нумерацию: положим и двинемся с помощью по цепочке (8) влево (у нас будет ( ) и т.д.).