Теория чисел на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение 
в целых числах.
Источники:
Подсказка 1
При каких x и y сразу можно сделать какие-то выводы про t? А во всех остальных случаях давайте выразим y через x и подставим.
Подсказка 2
При y = x левая часть полностью становится степенью двойки! Тогда можно понять, каким должно быть t. А если y > x,то запишем y = v + x. Как преобразуется наше уравнение?
Подсказка 3
Разберите случаи t < 0 и t ≥ 0. Какие выводы модно сделать о делимости обеих частей уравнения?
Подсказка 4
Верно, t может быть только ≥ 0! А как можно аналогичным образом оценить x?
Подсказка 5
x, v натуральные! Тогда по сути мы решаем уравнение на натуральные числа, то есть можем рассуждать о простых делителях ;)
Подсказка 6
Запишите уравнения на степени вхождений 3 и 2.
Подсказка 7
x = 3t, 1 + 2^v = t. "Маленькие" решения ещё можно угадать, а вот о существовании больших нужно порассуждать ;)
Если 
то
Если 
то правая часть кратна трём, а левая — нет. Значит, 
Если 
то вновь придём к противоречию 
:
кратное трём число не может быть никакой степенью двойки, в том числе нулевой. Остаётся только вариант 
в котором есть решение
Рассмотрим теперь случай 
Не умаляя общности, будем считать 
Тогда можно записать 
Исходное
уравнение запишется в виде
Если 
то в равенстве 
левая часть делится на 
а правая нет. Поэтому может быть только 
Но тогда
ведь иначе в равенстве 
справа стоит натуральное число, а слева деление нечётного натурального числа на степень
двойки (то есть в итоге получается дробь, а не натуральное число).
В итоге обе части равенства
являются натуральными числами, поэтому по основной теореме арифметики должны быть равными степени вхождения простых множителей, откуда
Очевидные решения 
. Получаем тройки 
, которые дают 
решения в силу симметрии 
. Пусть
теперь 
, тогда 
, то есть 
. Отсюда 
чётно. Но если 
кратно двум, то 
и 
.
Если 
, то хотя бы одно из этих чисел не является степенью двойки, что невозможно. Тогда 
, откуда в этом случае
решений нет.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
