Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Многочлены на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68095

a) Найдите многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число $√- x0 = 5 − 1;$

б) С помощью пункта (а) найдите $f(x0),$ где

10 9 8 7 6 5 4 3 2 f(x)= x + x − 6x +4x − x − 2x + 4x +x + 3x − x

Ответ представьте в виде $a√5 +b,$ где $a$ и $b$ — целые числа.

Источники: Межвед-2023, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать ответ и решение

а) Так как число $√5-− 1$ не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени $1$ с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы $2.$ Многочлен $2 g(x) =x + 2x− 4$ удовлетворяет условию задачи.

б) Заметим, что остаток $f(x)$ при делении на $g(x)$ равен $x+ 4.$ Тогда $f(x)= g(x)h(x)+ x+ 4$ для некоторого многочлена $h(x).$ Тогда

√- f(x0)=x0 +4= 5 +3.

Ответ:

$а) g(x)=x2 +2x− 4$

$√- б) 5+ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71645

Сократите дробь

2x6+-5x4− 3x3+-2x2− 12x−-14 4x6− 4x4− 6x3− 3x2+25x− 28

В результате сокращения степени многочленов в числителе и знаменателе должны уменьшиться.

Источники: Межвед-2022, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать ответ и решение

Найдем наибольший общий делитель многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, используя алгоритм Евклида.

Для этого поделим с остатком знаменатель на числитель:

6 4 3 2 ( 6 4 3 2 ) 4 2 4x − 4x − 6x − 3x + 25x − 28= 2⋅ 2x +5x − 3x +2x − 12x − 14 − 14x − 7x +49

В результате деления получили остаток $− 14x4 − 7x2+ 49.$ Теперь числитель (который сейчас выступал в роли делителя) поделим (например, «уголком») на остаток:

6 4 3 2 ( 4 2 )( x2 2) 3 2x +5x − 3x + 2x − 12x− 14== −14x − 7x + 49 ⋅ − 2 − 7 + 4x + 2x− 14

Далее надо опять разделить делитель на остаток. В этот раз остаток от деления оказывается равным нулю:

( ) −14x4− 7x2 +49= − 7x ⋅4x3+ 2x− 14 2

Это означает, что многочлен $4x3+ 2x− 14$ является искомым наибольшим общим делителем числителя и знаменателя исходной дроби и он может быть «вынесен за скобки» (чтобы избежать появления дробных коэффициентов, будет удобнее использовать многочлен $2x3 +x − 7):$

Итак,

( )( ) 2x6-+5x4−-3x3-+2x2−-12x-− 14=-2x3+-x−-7-⋅x3+-2x+-2 4x6 − 4x4− 6x3 − 3x2+ 25x − 28 (2x3+ x− 7)⋅(2x3 − 3x+ 4)

Ответ:

$-x3+-2x-+2- 2x3− 3x+ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95398

Пусть $x 1$ и $x 2$ — наибольшие корни многочленов $f(x)= 1− x − 4x2+ x4$ и $g(x)= 16− 8x− 16x2+x4$ соответственно. Найдите $x1 x2.$

Источники: Межвед - 2021, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $g(2x)= 16f(x)$ . Тогда $x 1$ — корень $f(x)$ тогда и только тогда, когда $2x 1$ — корень $g(x)$ . Следовательно, $x1- 1 x2 = 2.$

Второе решение. Сравнение коэффициентов многочленов

2 4 2 4 f(x)=1 − x − 4x + x и g(x)=16− 8x− 16x + x

показывает, что в соответствии с формулами Виета корни многочлена $g(x)$ являются удвоенными корнями многочлена $f(x)$ . Отсюда вытекает, что $x1= 1. x2 2$

Ответ:

$0,5$