Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Многочлены на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68095

a) Найдите многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число $√- x0 = 5 − 1;$

б) С помощью пункта (а) найдите $f(x0),$ где

10 9 8 7 6 5 4 3 2 f(x)= x + x − 6x +4x − x − 2x + 4x +x + 3x − x

Ответ представьте в виде $a√5 +b,$ где $a$ и $b$ — целые числа.

Источники: Межвед-2023, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас иррациональное число. Разве может оно быть корнем многочлена степени 1 с целыми коэффициентами?) А вот у многочлена степени 2?

Подсказка 2

Для второй степени придумывается пример. А вот можно сделать с пунктом б: попробуйте выделить из этого многочлена наш пример из пункта а). Так будет проще посчитать итоговый ответ.

Показать ответ и решение

а) Так как число $√5-− 1$ не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени $1$ с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы $2.$ Многочлен $2 g(x) =x + 2x− 4$ удовлетворяет условию задачи.

б) Заметим, что остаток $f(x)$ при делении на $g(x)$ равен $x+ 4.$ Тогда $f(x)= g(x)h(x)+ x+ 4$ для некоторого многочлена $h(x).$ Тогда

√- f(x0)=x0 +4= 5 +3.

Ответ:

$а) g(x)=x2 +2x− 4$

$√- б) 5+ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71645

Сократите дробь

2x6+-5x4− 3x3+-2x2− 12x−-14 4x6− 4x4− 6x3− 3x2+25x− 28

В результате сокращения степени многочленов в числителе и знаменателе должны уменьшиться.

Источники: Межвед-2022, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы упростить дробь, мы должны сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Какой алгоритм мы знаем для нахождения НОД двух чисел?

Подсказка 2

Давайте применим алгоритм Евклида для числителя и знаменателя. Найдите остаток от деления знаменателя на числитель. Это можно сделать делением «уголком».

Подсказка 3

Если сделать всё правильно, то остаток будет равен -14x⁴-7x²+49. Теперь выполните тот же алгоритм для нашего числителя и остатка и будем его продолжать, пока одно из выражений не станет равным 0, оставшееся выражение и будет НОД числителя и знаменателя. Осталось только сократить на него.

Показать ответ и решение

Найдем наибольший общий делитель многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, используя алгоритм Евклида.

Для этого поделим с остатком знаменатель на числитель:

6 4 3 2 ( 6 4 3 2 ) 4 2 4x − 4x − 6x − 3x + 25x − 28= 2⋅ 2x +5x − 3x +2x − 12x − 14 − 14x − 7x +49

В результате деления получили остаток $− 14x4 − 7x2+ 49.$ Теперь числитель (который сейчас выступал в роли делителя) поделим (например, «уголком») на остаток:

6 4 3 2 ( 4 2 )( x2 2) 3 2x +5x − 3x + 2x − 12x− 14== −14x − 7x + 49 ⋅ − 2 − 7 + 4x + 2x− 14

Далее надо опять разделить делитель на остаток. В этот раз остаток от деления оказывается равным нулю:

( ) −14x4− 7x2 +49= − 7x ⋅4x3+ 2x− 14 2

Это означает, что многочлен $4x3+ 2x− 14$ является искомым наибольшим общим делителем числителя и знаменателя исходной дроби и он может быть «вынесен за скобки» (чтобы избежать появления дробных коэффициентов, будет удобнее использовать многочлен $2x3 +x − 7):$

Итак,

( )( ) 2x6-+5x4−-3x3-+2x2−-12x-− 14=-2x3+-x−-7-⋅x3+-2x+-2 4x6 − 4x4− 6x3 − 3x2+ 25x − 28 (2x3+ x− 7)⋅(2x3 − 3x+ 4)

Ответ:

$-x3+-2x-+2- 2x3− 3x+ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95398

Пусть $x 1$ и $x 2$ — наибольшие корни многочленов $f(x)= 1− x − 4x2+ x4$ и $g(x)= 16− 8x− 16x2+x4$ соответственно. Найдите $x1 x2.$

Источники: Межвед - 2021, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам нужно найти отношение корней, то можно попробовать найти сами эти корни, либо же сравнить выражения, которые мы применяем для описания этих корней. Явно искать корни здесь не представляется возможным, а потому надо смотреть на то, что нам даёт некоторая система уравнений, их описывающая.

Подсказка 2

Можно заметить, что любое решение системы уравнений из теоремы Виета для g(x) при домножении на некоторое число становится корнями системы для f(x). Теперь несложно видеть, что это за число! Что это значит для нашей задачи?

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $g(2x)= 16f(x)$ . Тогда $x 1$ — корень $f(x)$ тогда и только тогда, когда $2x 1$ — корень $g(x)$ . Следовательно, $x1- 1 x2 = 2.$

Второе решение. Сравнение коэффициентов многочленов

2 4 2 4 f(x)=1 − x − 4x + x и g(x)=16− 8x− 16x + x

показывает, что в соответствии с формулами Виета корни многочлена $g(x)$ являются удвоенными корнями многочлена $f(x)$ . Отсюда вытекает, что $x1= 1. x2 2$