Перенос, замена, приписывание, стирание цифр
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, …, 
девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду
в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на
9?
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, каким образом нам можно число, которое кратно 9, независимо от остатка, который будет нами получен на каждом этапе вычеркивания. Удобная конструкция для нас - чтобы в течение 9 шагов у нас постоянно менялся остаток и не повторялся. Тогда, за 9 шагов у нас точно будет момент, когда остаток равнялся 0. Попробуйте придумать такую конструкцию.
Подсказка 2
Давайте попробуем вычеркнуть все 9 из числа(действительно, к чему бы они, если на деление на 9 они никак не влияют). Значит, если докажем, что в какой-то момент было число кратное 9 у полученного числа, то и у начального оно тоже было. Также, заметим, что под нашу конструкцию из первой подсказки подходит вариант, когда у нас стоит много одинаковых цифр подряд(хотя бы 9), взаимнопростых с 9, ведь там будет постоянно меняться остаток. То есть, нам надо набрать много одинаковых цифр подряд. Как это можно сделать?
Подсказка 3
Заметим, что чисел 8 у нас очень много. Больше чем 9 раз суммарно всех остальных. Давайте разобьем наше число на блоки по 9 цифр, которые не пересекаются. Что можно сказать про эти блоки? А что тогда надо доказывать в условиях на восьмерку?
Подсказка 4
Остается доказать, что найдется блок из цифр, равных 8. И это правда, так как иначе, в каждом блоке есть цифра, которая не 8 и тогда, цифр, не равных 8, у нас хотя бы 1/9 от общего количества. Противоречие. Значит, есть блок восьмерок. Победа.
Заметим, что если для исходного числа существует такой момент, то и для числа 
, полученного вычеркиванием всех
девяток из исходного, он так же существует, поскольку каждое вычеркивание не меняет остаток при делении суммы цифр на
9.
Рассмотрим число 
. В силу неравенства 
, отношение количества восьмерок к оставшимся числам, больше 9.
Отметим подряд идущие блоки по 9 чисел. Докажем, что существует блок, элементами которого являются лишь восьмерки. Пусть это не
так, тогда в каждом блоке есть цифра отличная от восьмерки, следовательно, количество цифр, не являющихся восьмерками, хотя бы 
от общего количество, что противоречит полученному неравенству.
Рассмотрим блок, состоящий только из восьмерок. Пусть число, полученное из 
вычеркиванием всех цифр до найденного блока, имеет
остаток 
при делении на 9. Каждое вычеркивание 8 увеличивает остаток при делении на 9 на 1, следовательно, вычеркнув 
элементов в блоке, мы получим искомое число.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
