Перенос, замена, приписывание, стирание цифр

Заметим, что если для исходного числа существует такой момент, то и для числа , полученного вычеркиванием всех девяток из исходного, он так же существует, поскольку каждое вычеркивание не меняет остаток при делении суммы цифр на 9.

Рассмотрим число . В силу неравенства , отношение количества восьмерок к оставшимся числам, больше 9. Отметим подряд идущие блоки по 9 чисел. Докажем, что существует блок, элементами которого являются лишь восьмерки. Пусть это не так, тогда в каждом блоке есть цифра отличная от восьмерки, следовательно, количество цифр, не являющихся восьмерками, хотя бы от общего количество, что противоречит полученному неравенству.

Рассмотрим блок, состоящий только из восьмерок. Пусть число, полученное из вычеркиванием всех цифр до найденного блока, имеет остаток при делении на 9. Каждое вычеркивание 8 увеличивает остаток при делении на 9 на 1, следовательно, вычеркнув элементов в блоке, мы получим искомое число.

Пусть искомое число записано цифрами то есть

Запишем условие задачи:

Перепишем это равенство в виде:

Левая часть делится на 10, значит также делится на 10. В силу того, что и — однозначные числа, эта разность может быть равна только 0, т.е. Подставив в полученное ранее равенство, получим

Итак, возможен только один вариант:

Сначала заметим, что среди цифр этого числа могли быть только простые числа , потому что можно вычеркнуть все цифры, кроме одной, тогда по условию это однозначное число должно быть простым.

Дальше заметим, что никакая цифра не могла встретиться дважды, иначе можно получить число вида , которое делится на , а так как —- какая-то цифра из набора , то это число не простое.

И наконец, среди цифр встречается только одно, потому что числа составные.

Значит, число из условия не более, чем двузначное. При этом оно может быть двузначным, только если одна из цифр , а другая —- одна из . Тогда максимально возможное простое число, удовлетворяющее условиям задачи, —- это .

Пусть имеет в своей записи цифру, тогда

где — это какое-то -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

По условию получаем равенство

Следовательно, можем понять как выглядит

По условию должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Приписать справа цифру  — то же самое, что умножить число на . Поэтому ответ на первый вопрос: число увеличится в раз. Если же приписать вместо нуля любую другую цифру , то эту операцию можно представить так: сначала число умножается на , а потом к числу прибавляется цифра .

Обозначим исходное число через . Приписать справа от числа цифру  — то же самое, что умножить его на и прибавить к результату . Поэтому новое число равно . По условию, разность между полученным числом, то есть , и исходным, то есть , равна . Поэтому мы можем записать равенство . Отсюда , или . Значит, исходное число было равно .

Так как количество отметок “Превосходно”, полученных Гермионой, является трехзначным и начинается на , то оно не меньше и может быть представлено в виде , где  — целое число от до .

Посмотрим, как изменилось число после того, как перенесли первую его цифру в конец. Операция переноса первой цифры может быть представлена так. Сначала стираем первую цифру, при этом остается число . Затем эта цифра приписывается в конец, значит, число увеличивается в раз и к результату прибавляется цифра . Поэтому новое число равно  — именно столько отметок “Удовлетворительно” получил Рон. По условию, исходное число на больше нового. Поэтому мы можем записать равенство

Итак, , значит, Гермиона за время учебы получила отметку “Превосходно”.

Приписать справа к числу цифру  — то же самое, что умножить число на и прибавить к результату . Поэтому новое число, полученное Драко, равно . По условию, если его сложить с исходным, то есть с , получится . Тогда мы можем составить уравнение

Итак, , и именно его нам и нужно было найти.

Когда к двузначному числу приписывается слева цифра , оно увеличивается на сотен, то есть на . Поэтому, если обозначить исходное число через , то новое число будет равно . По условию, это в раз больше исходного числа. Поэтому мы имеем равенство

Итак, мы получили, что , значит, исходное число равно .

Пример действительно подходит: при перемножении получается .

Комментарий. Так как нас просят лишь привести пример таких чисел, то думать о том, является ли данный пример единственным, не обязательно. Отметим, что все-таки он единственный: если бы Гарри задумал число, большее , то число Рона уже было бы не более, чем шестизначным. А числа от до можно перебрать непосредственно: ни на одно из них число не делится.

Приписав справа к числу цифру , Крэбб получил число . Если бы Крэбб выполнил сложение, то он бы получил число . Разница между этими числами составляет , а по условию эта разница равна . Поэтому , откуда .

Замечание. Обратите внимание, что саму цифру мы найти не можем: она в равенстве слева взаимоуничтожается, поэтому цифра может быть любой.

Обозначим оставшееся число через . Тогда исходное число было равно . Разница между числами составляет . С другой стороны, вычеркивая из трехзначного числа цифру сотен, мы уменьшаем его на несколько сотен. Поэтому разница должна делиться на . Таким образом, делится на . При этом число . Поэтому все возможные варианты для  — это , , , и . Для первых четырех значений есть примеры , , и . Если же , то исходное число также равно , то есть не трехзначное. Поэтому подходят ответа.

Обозначим исходное число через , где и  — цифры десятков и единиц соответственно. После того, как в число вставили , получилось , или . По условию сказано, что это число в раз больше исходного. Исходное же расстояние можно представить как . Тогда мы можем написать равенство

Заметим, что тогда делится на , а так как  — цифра, то либо , либо . Если , то , чего не может быть, так как число не может начинаться с нуля. Значит, , и тогда . Таким образом, исходное число равно , и именно столько километров составляет путь от Норы до Лондона.

Обозначим новое число через . Тогда исходное число получается из приписыванием к нему некой цифры справа. Обозначим эту цифру через . Тогда исходное число равно . Разница между исходным числом и полученным равна . По условию, эта разность равна . Значит, , где  — цифра.

Заметим, что число , то есть это число дает остаток при делении на . Значит, чтобы разность делилась на , нужно, чтобы цифра давала остаток при делении на . Это возможно только тогда, когда . Значит, , и тогда , откуда . Таким образом, исходное число было равно .

Будем складывать числа, выписанные Гарри, по разрядам. Заметим, что в разрядах единиц все цифры от до встречаются по одному разу. Поэтому сумма всех цифр в этом разряде будет равна .

То же верно и для других разрядов: цифры в разряде десятков тоже в сумме дают , поэтому к сумме девяти чисел они дадут . Цифры в разряде сотен дадут к сумме десяти чисел . Сложим полученные по разрядам суммы: , только такой и может быть сумма чисел, выписанных Гарри.

Сумма цифр следующего числа отличается от суммы цифр текущего на где это или натуральное число, так как все последние девяток в текущем числе превращаются в а цифра до девяток увеличивается на Тогда должно быть кратно Минимальное при котором это выполняется, равняется То есть в искомом числе должно быть или более девяток, стоящих в конце. Минимальное число, заканчивающееся на девятки и с суммой цифр, кратной равняется Можно легко проверить, что следующее число имеет сумму цифр тоже кратную

Первая цифра года всегда будет равна , поэтому дата-палиндром должна иметь вид . Далее посмотрим на третью и пятую цифры. Они могут быть равны только или так как иначе номер месяца будет слишком большим. То есть даты бывают только двух видов и . Дата второго вида может быть только одна иначе год будет не из XXI-го века. Но как видим, в такой дате будет «нулевое» число — противоречие. Значит, даты бывает только первого вида: . Второй месяц это февраль и в нём дней. Любой из них даст одну возможную дату палиндром, так как год будет лежать в нужных переделах. Осталось только проверить возможную дату с февраля. Это будет в , что выпадает на високосный год, а поэтому такая дата корректна. Итого, получили возможных дат.

Посчитаем на каких позициях останутся цифры после двух стираний. После первого стирания на доске останутся только цифры стоящие на нечётные местах. После второго стирания мы вычеркнем цифры на , , , …местах. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули цифру на месте , то останутся цифры на местах , , а следюущая — -ая будет вычеркнута. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все цифры ,позиции которых дают остаток при делении на , так как первое вычеркнутое цифра будет -ой. То есть оставшиеся цифры разбиваются на пары, в которых первая позиция даёт остаток при делении на , а второая — . А при делении на их позиции дают остаток . Это означает, что остались цифры стоящие на местах, которые дают остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся цифр, то в паре с номером будут стоять цифры на местах вида и . Цифры стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут цифры и исходного числа.

Теперь найдём что за цфиры там стоят. Числа от до занимают цифр, далее от до — ещё цифр, всего , числа от до — = и всего цифр. Числа от до дают нам цифр, а значит в этом промежутке стоит искать. Первая цифра встретится в числе , причём так как целое число, то это будет последней цифрой в . Вторая цифра, соотвественно, будет цифра в числе . В итоге получаем сумму .

Предпоследняя цифра числа равна так как число без последней цифры делится на Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться по условию. Также это число не может равняться и так как числа вида и не делятся на Для существует единственный пример:

Пусть меньшее из простых чисел равно . Заметим, что так как число хотя бы 4-значное, то . Тогда может оканчиваться на 1, 3, 7 и 9. В этих случаях будут оканчиваться на 5, 1, 7 и 7 соответственно. Так как последнее из чисел не содержит 7, то не может оканчиваться на 7 и 9. Если оканчивается на 1, то оканчивается на 5, простое и больше 10?! Значит, оканчивается на 3 и равно . Тогда число на доске равно . Значит, последнее написанное число равно 21.

Если , то число на доске подходит

Если , то число на доске , 18192021, 161718192021, 15161718192021, 131415161718192021, 12131415161718192021 или 101112131415161718192021 делится на 3, но у числа должны быть только 2 простых делителя и оба больше 10.

Если , то число на доске 1718192021 делится на 7, но у числа должны быть только 2 простых делителя и оба больше 10.

Если , то первое число будет 14?!

Если , то число на доске будет 1112131415161718192021 делится на 11, но точно не равно или .