Тема Десятичная запись и цифры

Перенос, замена, приписывание, стирание цифр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#97941Максимум баллов за задание: 7

Арина выписала в ряд без пробелов все числа от $71$ до $81,$ получив большое число $717273...81.$ София стала дописывать к нему следующие числа (т.е. вначале она дописала $82,$ потом $83,...$ ). В тот момент, когда большое число стало кратно $12,$ София остановилась. Последним она выписала число $N.$ Чему равно $N?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про число, которое делится на 12?

Подсказка 2

Верно, что оно делится на 3 и на 4. А в каком случае число кратно четырём?

Подсказка 3

Правильно, когда число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Это значит, что последнее число, которое написала София, делится на 4. Рассмотрите, какие это могут быть числа, и не забудьте проверить делимость на 3.

Показать ответ и решение

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Чтобы число делилось на 4, число, образованное его последними двумя цифрами, тоже должно делится на 4. Значит, последнее число, которое напишет София, должно делиться на 4.

Ближайшее число, которое делится на $4,$ это $84$ , но число $71727374...84$ имеет сумму цифр 158, т.е. не делится на 3. Следующее число, которое делится на $4,$ это $88$ . Сумма цифр числа $71727374...88$ равна 216, т.е. всё число делится на 3 .

Ответ: 88

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#125885Максимум баллов за задание: 7

Найдите все трехзначные числа $abc,$ такие, что остаток от деления, как числа $abc,$ так и числа $cba,$ на сумму своих цифр, увеличенную на 1, равен 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

По условию числа 100a+10b+c-1 и 100c+10b+a-1 кратны a+b+c+1. Самый естественный ход в данном случае — рассмотреть их разность.

Подсказка 2:

Она равна 99(a-c). Сразу бросается в глаза, что a-c по модулю меньше a+b+c+1. Значит, было бы здорово сначала рассмотреть случаи, когда a+b+c+1 имеют с 99 НОД больше 1.

Подсказка 3:

Давайте заметим, что a+b+c сравнимо с -1 по модулю a+b+c+1. Значит, 100a+10b+c-1 сравнимо с 99a+9b-2 по модулю a+b+c+1. Так что там по итогу можно сказать про делимость a+b+c+1 на 9?

Подсказка 4:

Кажется, выражение 99a+9b-2 и делимость на 11 поможет опровергнуть.

Подсказка 5:

Итак, вы пришли к тому, что a-c кратно a+b+c+1. Это возможно только при a = c. Кстати, почему? Осталось сделать небольшой перебор, чтобы получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $p =a+ b+ c+1.$ Итак, $100a +10b+ c− 1$ кратно $p.$ Также $100c+ 10b +a− 1$ кратно $p.$ Значит,

(100a+ 10b+ c− 1)− (100c+ 10b+a− 1)= 99(a− c)

также кратно $p.$ Учитывая, что

a +b+ c≡ −1 (mod p),

получаем, что

100a+ 10b +c− 1≡ 99a +9b− 2 (mod p).

Из этого следует, что $9$ и $p$ взаимно просты, иначе $99a +9b− 2$ не будет делиться на $p.$ Значит, делимость $99(a− c)$ на $p$ равносильна делимости $11(a− c)$ на $p.$

Рассмотрим случаи, когда $p$ кратно $11$ и когда не кратно. Если кратно, то тогда и $99a+ 9b− 2$ делится на $11.$ Значит, $9b− 2≡ 0 (mod 11).$ Осталось заметить, что тогда и

−(9b− 2− 11b)= 2b+2

также делится на $11.$ Значит, $b+ 1$ кратно $11,$ а этого не может быть, потому что $b$ — цифра.

Значит, $a− c$ кратно $p.$ Ясно, что $|a− c|< p.$ Таким образом, $a− c= 0.$ Следовательно, $101a+ 10b− 1$ делится на $2a+ b+1.$ Отсюда получаем делимость

101a+10b− 1− 10(2a+b+ 1)= 81a − 11

на $2a+b+ 1.$ Разберем несколько случаев.

Если $a= 1,$ то $70$ кратно $b+3,$ откуда $b= 2,4,7.$

Если $a= 2,$ то $151$ кратно $b +5,$ это невозможно.

Если $a= 3,$ то $232$ кратно $b +7,$ откуда $b=1.$

Если $a= 4,$ то $313$ кратно $b +9$ , это невозможно.

Если $a= 5,$ то $394$ кратно $b +11,$ это невозможно.

Если $a= 6,$ то $475$ кратно $b +13,$ откуда $b =6.$

Если $a= 7,$ то $556$ кратно $b +15,$ это невозможно.

Если $a= 8,$ то $637$ кратно $b +17,$ это невозможно.

Если $a= 9,$ то $718$ кратно $b +19,$ это невозможно.

Ответ:

$121,141,171,313,666$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#82705Максимум баллов за задание: 7

Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 8.1

Показать ответ и решение

Пусть загаданное число равно $ab= 10a+ b,$ где $a$ и $b$ — цифры. После преобразований над числом, оно приняло вид

---- 3 2 1ab8= 10 +10 a+10b+ 8

Из условия получаем уравнение $1ab8-=28ab.$ Преобразуем его, подставив выражения для десятичных записей чисел

103+102a+ 10b+ 8= 28(10a+ b)

После переноса слагаемых с $a$ и $b$ влево и приведения подобных получаем

180a +18b= 1008

Делим обе части на 18

10a+b =56

Так как $-- 10a+ b=ab,$ получаем, что $-- ab= 56,$ то есть Вася загадал число $56.$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#42932Максимум баллов за задание: 7

У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры, полученное число сложили с исходным, в результате получили число 1143. Чему равно исходное число?

В ответ укажите все возможные варианты через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2019, 7 класс

Показать ответ и решение

Пусть это число равно $abc-$ , тогда имеем

--- --- abc+ acb =200a+ 11(b+ c)= 1143

Откуда $a< 6$ . Если $a≤ 4$ , то $11(b+ c)≥ 343$ , что невозможно, поскольку $b+c <20$ , тогда остаётся только $a= 5$ , то есть $11(b+ c)=143$ и $b+ c= 13$ . Поскольку $13= 9+4 =8 +5= 6+ 7$ , то в силу симметрии имеем $6$ вариантов: $549,594,585,558,567,576$ .

Ответ: 549 558 567 576 585 594

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#80507Максимум баллов за задание: 7

На доске написано произведение чисел $ИКС-$ и $КСИ,$ где буквы соответствуют различным ненулевым десятичным цифрам. Это произведение шестизначное и оканчивается на C. Вася стёр с доски все нули, после чего там осталось $---- ИК С.$ Что было написано на доске?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на произведение ИКС и КСИ по модулю 10. Да, очевидно, что ИКС * КСИ ≡ С * И. Из этого несложно вывести, что C = 5; а также либо И = 1, либо И = 6.

Подсказка 2

Давайте посмотрим на сумму цифр числа по модулю 9. Да-да, для неё не так много вариантов. Несложно получить, что сумма цифр числа может принимать только 4 разных значения.

Подсказка 3

Задача конечно красивая, но без перебора здесь не обойдётся. Да, глаза боятся, а руки делают, начинаем перебирать все возможные значения букв И, К, С, стараясь сделать перебор оптимальным и быстро отбрасывать все неподходящие варианты.

Показать ответ и решение

Заметим, что $ИКС-⋅К-СИ ≡C ⋅И (mod 10).$ Значит И $⋅$ С - С = С(И - 1) $..10. .$ Тогда либо $C$ делится на 5 и С = 5, либо И - 1 делится на 5 и тогда И = 1 или 6.

Так же заметим, что $---- ---- 2 ИКС ⋅КСИ ≡(И + К + С) (mod 9),$ а с другой стороны сумма цифр произведения это И + К + С. Значит $2 (И + К + С)$ - И - К - С делится на 9. Значит, И + К + С дает остаток 1 или 0 при делении на 9. Так же

6 =1 +2+ 3≤ И + К + С ≤9 +8+ 7= 24

и значит И + К + С = 9, 10, 18 или 19.

Пусть И = 1. Тогда последние 2 цифры произведения такие же как у

2 2 10К ⋅И+ 10С +С ⋅И= 10(К + С )+С

Заметим, что последние 2 цифры или КС или 0C. Если

10(К +С2)+ С ≡ КС 10

то $С2...10,$ но C не 0?! Значит,

10(К+ С2)+ С≡10 C

К + С2...10

Если С = 2, то К = 6 и тогда $---- ---- ИК С⋅КСИ = 100602$ нам подходит.

Если С = 3, то К = 1?!

Если С = 4, то К = 4?!

Если С = 5, то К = 5?!

Если С = 6, то К = 4 и С + К + И = 11?!

Если С = 7, то К = 1?!

Если С = 8, то К = 6 и С + К + И = 15?!

Если С = 9, то К = 9 и С + К + И = 11?!

Пусть И = 6. Тогда С нечетное. Так как

ИК-С⋅КСИ-≥ 612⋅126> 70000

и у произведения первая цифра должна быть И = 6, то $-------- ИКС ⋅К СИ≥ 600000.$ Понятно, что $---- И КС ≤698$ и поэтому $---- КСИ ≥ 859$ и $К ≥ 8.$ Если К = 8, то И + К + С = С + 14 = 9, 10, 18 или 19 и из-за того, что С четное, то оно равно 4, но такие И, К и С нам не подходят (проверяется подстановкой). Если К = 9, то И + К + С = С + 15 = 9, 10, 18 или 19 и из-за того, что С четное, то оно равно 4, но такие И, К и С нам не подходят (проверяется подстановкой).

Если С = 5, то И нечетное, не 1 и не 5. Если И = 3, то И + К + С = K + 8 = 9, 10, 18 или 19 и К = 1 или 2, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой). Если И = 7, то И + К + С = K + 12 = 9, 10, 18 или 19 и К = 6 или 7, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой). Если И = 9, то И + К + С = K + 14 = 9, 10, 18 или 19 и К = 4 или 5, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой).

Ответ:

$И-КС⋅КСИ-= 162 ⋅621$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#73689Максимум баллов за задание: 7

У натурального числа, оканчивающегося не на ноль, стерли одну цифру. В результате число уменьшилось в $6$ раз. Найдите все числа, для которых это возможно.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте записать исходное число в удобном виде для того, чтоб было понятно, как оно изменилось после стирании цифры a.

Подсказка 2

Давайте запишем исходное число в виде m + a*10^k + n*10^(k+1), где m < 10^k. Попробуйте написать равенство, которое следует из условия, и преобразовать его.

Подсказка 3

Получаем m = 10^(k - 1) * (2a + 8n). Для начала понятно, что k не равно нулю. Теперь надо вспомнить условие про то, что исходное число не делится на 10.

Подсказка 4

Из условия m не делится на 10, а, значит, k = 1. Осталось разобрать случаи.

Показать ответ и решение

Представим исходное число в виде $m +10ka+10k+1n,$ где $a$ — десятичная цифра, $k,m,n$ — неотрицательные целые числа, причём $k m < 10.$ Стерев цифру $a,$ мы получим число $k m +10 n.$ По условию

k k+1 k m+ 10 a+10 n= 6(m + 10n),

k 5m =10 (a +4n).

Заметим, что $k> 0,$ иначе $m =0$ и $n =a =0.$ Тогда равенство примет вид $m = 10k−1(2a+ 8n).$ В силу условия число $m$ оканчивается не на $0$ и потому не делится на $10.$ Значит, $k= 1$ и $m= 2a+ 8n,$ причём $m <10.$ Поэтому возможны два случая:

$1)n= 0.$ Тогда $m = 2a,$ а исходное число равно $12a,$ где $a= 1,2,3,4.$

$2)n= 1.$ Тогда $a= 0,m = 8,$ а исходное число равно $108.$

Ответ:

$108$ или $12a$ при $a= 1,2,3,4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#93724Максимум баллов за задание: 7

Костя выбрал два последовательных четырёхзначных числа и приписал одно из них к другому. Он утверждает, что полученное восьмизначное число делится на $137.$ Могут ли его слова быть правдой?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Если справа к четырёхзначному числу $A$ приписать одно из чисел $A− 1$ или $A+ 1,$ то получится восьмизначное число $10001A ±1 =73× 137A ± 1,$ которое не делится на $137.$

Ответ:

Не могут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#101449Максимум баллов за задание: 7

У натурального числа, оканчивающегося не на ноль, одну из цифр заменили нулём (если она старшая — просто стёрли). В результате число уменьшилось в 9 раз. Сколько существует чисел, для которых это возможно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, классический сюжет на десятичную запись числа. Давайте представим его поразрядно, стёртую цифру обозначим отдельной буквой. Теперь составим уравнение по условию задачи.

Подсказка 2

Посмотрим внимательно на получившееся уравнение. Ага! Несложно догадаться, что 0 заменяется именно старшая цифра исходного числа.

Подсказка 3

Воспользуемся признаком делимости на 5 и знанием того, что последняя цифра не может быть 0. Действительно, всё идёт к тому, что последняя цифра числа равна 5. Так и есть! Осталось рассмотреть всего пару случаев и посчитать количество чисел, для которых это возможно.

Показать ответ и решение

Представим исходное число в виде

k k+1 m + 10 a+ 10 n,

где $a$ — десятичная цифра, $k,m,n$ — неотрицательные целые числа, причем $m <10k$ . Заменив цифру $a$ нулем, мы получим число $m + 10k+1n$ . По условию

k k+1 ( k+1) m+ 10a +10 n= 9 m +10 n

k 8m = 10 (a− 80n)

Заметим, что $n= 0$ (иначе $m$ будет отрицательным), откуда $8m = 10ka$ . Таким образом, нулём заменяется старшая цифра исходного числа. Кроме того, $k> 0$ , иначе $m= a= 0$ . Тогда число $8m$ кратно 10 и потому оканчивается на 0. В силу условия число $m$ оканчивается не на 0. Значит, последняя цифра $m$ равна 5 и число $m$ нечётно. Поэтому $8m$ не делится на 16, откуда $k≤ 3$ . Рассмотрим три случая.

1) Пусть $k = 3$ . Тогда $m = 125a$ . Так как число $m$ нечетно и меньше 1000, цифра $a$ может принимать значения $1,3,5,7$ , что дает нам 4 варианта.

2) Пусть $k = 2$ . Тогда $25a m = 2$ . Так как число $m$ нечетно и меньше 100, цифра $a$ равна 2 или 6. Эти значения дают нам еще 2 варианта.

3) Пусть $k= 1$ . Тогда $5a m = 4$ . Так как число $m$ нечетно и меньше 10, мы получаем $a= 4$ .

Заметим, что в 1) получатся четырехзначные числа, во втором случае — трехзначные, в 3 случае — двузначные. Поэтому каждое число, удовлетворяющее условию задачи, входит ровно в один из наборов 1) - 3). Значит, общее количество вариантов равно $4+ 2+ 1= 7$ .

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#34908Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Показать ответ и решение

Пусть это число $n$ . Тогда $n2− 2016..10000 .$ . Отсюда $n2 − 2016..2000 .$ и $n2− 16= (n − 4)(n +4)..2000 .$ . Тогда так как разница множителей равна 8, то ровно одно из них делится на 5 и поэтому оно делится сразу на $3 5$ и оба множителя кратны 4 (так как если один не кратен, то и второй не кратен и тогда их произведение не может быть равно $4 3 2 ⋅5$ ). Отсюда один из множителей делится на 500 = $2 3 2 ⋅5$ . Значит, $n = 500a± 4$ . Давайте проверим эти числа

2 496 = 246016

5042 = 254016

9962 = 992016

Итак, минимальное число равно 996.

Ответ: 996

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#38620Максимум баллов за задание: 7

На доске написано число $49$ . За один ход разрешается либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число $50$ ? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Алгоритм построения следующего числа из старого понятен. Так может быть нам попробовать идти с конца и понять из какого числа могло получиться 50?

Подсказка 2

Верно, 50 могло получиться либо как умножение 25 на 2, либо как результат целочисленного деления какого-то числа от 500 до 509 на 10(что по сути и есть стирание последней цифры). Значит, нам теперь надо каким-то образом получить число 25 или от 500 до 509. Числа 500,501,… слишком большие(вдумайтесь, нам надо будет несколько раз провести наши операции с начальным числом, и ,кажется, большее число раз, чем если бы мы хотели получить 25). А вот число 25 очень интересно для нас, но вот только как его получить?

Подсказка 3

Опять же, либо стиранием последней цифры, либо умножением на 2. Второй вариант невозможен, поэтому только стиранием последней цифры. Хмм… Но ведь если стереть последнюю цифру из 49 у нас получится 4, значит, было бы круто, если бы имелась степень двойки, у которой стерев последнюю цифру, можно было бы получить 25. Такая степень есть?

Показать ответ и решение

Проделаем следующие операции:

49→ 4→ 8→ 16 → ...→ 128→ 256→ 25→ 50.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#61177Максимум баллов за задание: 7

Найдите все четырёхзначные числа, которые на $7182$ меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим наше число в виде abcd, тогда в обратном порядке получится dcba. Расписываем числа через степени десятки и составляем уравнение по условию

Подсказка 2

Отлично, получилось 111(d-a) + 10(c-b) = 798. Понимая, что a, b, c, d - цифры, оценим слагаемые.

Подсказка 3

Заметим, что d-a при делении на 10 имеет остаток 8, причем a и d - первые цифры в числах, что приводит нас к единственному случаю, остается только счет)

Показать ответ и решение

Пусть это число $abcd= 1000a +100b+10c+ d$ , отсюда

(1000d +100c+10b+ a)− (1000a+ 100b+ 10c+d)= 999d+ 90c− 90b− 999a= 7182

Сокращая результат на $9$ , получаем

111d+ 10c− 10b− 111a= 111(d− a)+10(c− b)= 798

Поскольку $10(c− b)∈[−90,90]$ , то $111(d− a)∈ [708,888]$ , отсюда $111(d − a)∈ {777,888}.$

Добавляя условие, что $111(d− a)=798− 10(c− b) ≡8 10$ (то есть даёт остаток $8$ по модулю $10$ ), получаем единственный случай $d− a= 8,d= a+8.$

Поскольку $a⁄= 0$ , то остаётся $a= 1,d =9$ , отсюда

10(c − b)= 798− 888= −90 ⇐⇒ b=c +9 =⇒ c= 0,b= 9

Получаем единственное подходящее число $1909.$

Ответ:

$1909$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#75749Максимум баллов за задание: 7

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Нам говорят, что числа у Маши перестали меняться - намекают на уравнение! Попробуйте его составить, грамотно обозначив число, получившееся у Маши.

Пункт а), подсказка 2

Подумайте, как часто такое уравнение имеет решение, если одна из наших переменных - цифра

Пункт б), подсказка 1

Изначально у нас было какое-то гигантское число, а стало 17 ⇒ число уменьшилось. Это произошло из-за того, что у Маши было какое-то специальное число? Или так всегда происходит?

Пункт б), подсказка 2

Верно, большое число всегда уменьшается после применения такой операции. Мы должны получить 17 в какой-то момент, надо бы понять что-то про изначальное число из этого. А какое число могло быть у Маши перед тем, как она получила 17? Видите что-то общее у этих чисел?

Пункт б), подсказка 3

Давайте попробуем доказать в общем виде, что если получилось число, делящееся на 17, то и до этого число делилось на 17. Попробуйте связать (10x + y) и (3x + 2y) так, чтобы там фигурировало 17.

Пункт б), подсказка 4

Можно заметить, что если к 3х + 2y добавить 17x, получится 2(10x + y). То есть изначальное число должно делиться на 17, надо просто найти наименьшее такое ⇒ надо взять 10²⁰¹⁴ и добавить к нему недостающий остаток

Пункт б), подсказка 5

17 - простое число. Помните теорему, помогающую найти остаток от деления на простое число?

Пункт б), подсказка 6

Конечно, это Малая теорема Ферма! Остаётся только представить 2014 в виде 16k + r, и задачка убита!

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#82707Максимум баллов за задание: 7

Четырёхзначное число $X$ не кратно 10. Сумма числа $X$ и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $N$ . Оказалось, что число $N$ делится на 100. Найдите $N$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наше число Х имеет вид abcd, тогда обратно записанное к нему: dcba. Теперь воспользуемся простыми свойствами делимости на 10 и 100. Что можно сказать про числа abcd (X), dcba (обратное) и abcd + dcba (N), пользуясь этими свойствами? Хотим для начала по отдельности сделать какие-то выводы про a, b, c и d.

Подсказка 2

Для начала делаем вывод, что d не равно 0, так как X не делится на 10. Что тогда можно сказать про другие цифры?

Подсказка 3

Замечаем, что d + a = 10, так как d + a > 0 из условия на d, а сумма больше 18 в принципе получиться не может. Здесь мы сделали вывод про вид числа N, теперь смотрим на следующие его разряды.

Подсказка 4

Получаем, что c + b = 9 (не забываем про единичку из прошлого разряда), так как N делится на 100. А теперь записываем наши числа в стандартном виде, например X = 1000a + 100b + 10c + d и, наконец, находим N.

Показать ответ и решение

Так как $X$ не делится на 10, то последняя цифра — не $0.$ Пусть $X =abcd,$ где $a,b,c,d$ — цифры.

Из условия следует уравнение

---- ---- .. abcd+ dcba= N .100

Первое решение.

Так как $d+ a$ оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то $d+a =10.$ Тогда $c+ b+1$ оканчивается на 10, поэтому $c+b =9.$ Получаем

N = 1000(a+d)+ 100(b+ c)+ 10(c+ b)+(d+ a) =1001⋅10 +110⋅9= 11000

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи

1000a+100b+ 10c+ d+ 1000d+ 100c+ 10b+ a= N

Приводим подобные слагаемые

1001(a+ d)+110(b+ c)=N

Так как $N$ делится на $100,$ то на $10$ тоже делится. Тогда и $.. 1001(a+ d)+110(b+c). 10.$

Заметим, что $. 110(b+ c) .. 10,$ тогда $. 1001(a+d).. 10,$ и, так как $1001$ и $10$ — взаимно простые, то $a+ d$ делится на 10. Но $a$ и $d$ — цифры, и их сумма не больше $18$ , и при этом больше $0,$ так как по условию $d⁄= 0.$ Единственное кратное $10$ число в этом промежутке — $10,$ поэтому $a +d =10.$

Пусть $N = 100x.$ Вернемся к нашему равенству, и подставим в него $a+ d= 10$ и $N = 100x.$

10010 +110(b+ c)=100x

Сокращаем на 10

1001+ 11(b+ c)= 10x

Справа число, делящееся на $10.$ Так как $1001≡ 1 (mod 10),$ то $11(b +c)≡ 9 (mod 10).$ Так как $11≡ 1 (mod 10),$ то $b+ c≡ 9 (mod10).$

Так как, $b$ и $c$ — цифры, то их сумма хотя бы $0$ и не больше $18,$ а единственное число с остатком $9$ при делении на $10$ в этом промежутке — это $9.$ Тогда $b+ c= 9.$

Теперь найдем $N$

N = 1001⋅10+ 110 ⋅9 =11000.

Ответ: 11000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#34659Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное число, кратное $495.$ Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на $495.$

Источники: Курчатов-2014, 10.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как здорово, что у нас существуют признаки делимости! К сожалению, человечество еще не придумало признака делимости на 495, но может быть, можно как-то решить этот вопрос?

Подсказка 2

Ага, смотрите-ка: если число делится на Х, то оно должно делиться на множители этого Х, а в нашем случае на множители 495! Например, на 5, 9 и 11! А что это значит..?

Подсказка 3

Смотрим, изменилась ли делимость на 5 (смотрим на последнюю цифру), на 9 (смотрим на сумму цифр), на 11 (смотрим на знакопеременную сумму цифр). Задача решена!

Показать доказательство

Первое решение.

После разложения на взаимнопростые множители $495= 9⋅5⋅11$ нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после вставки двух нулей) чисел.

$1$ ) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на $9.$

$2$ ) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на $11$ (или можно сказать, что суммы цифр на чётных и нечётных местах остались равны).

$3$ ) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на $5.$

Второе решение.

Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через $x$ (сразу заметим, что $x$ делится на $10$ , потому что у этого числа на конце нули), после — через $y.$

Тогда исходное число это $x +y,$ а новое число равно $100x+ y = (x+y)+ 99x.$

Из замеченной делимости на $10$ следует делимость числа $99x$ на $990= 495⋅2,$ а $x +y$ это исходное число, которое тоже делится на $495$ по условию.

В итоге и полученная сумма делится на $495.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#92333Максимум баллов за задание: 7

В периодической десятичной дроби $0,242424...$ первую цифру после запятой заменили на $4$ . Во сколько раз полученное число больше исходного?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть исходное число это x, конечное — y. Чему же равно выражение y-x?...

Подсказка 2

Очевидно, что y = x + 0.2. Хотим найти отношения y/x, то есть (x+0.2)/х. Для того, чтоб найти эту дробь, необходимо знать x. Как же его найти?

Подсказка 3

Поскольку период длины 2, кажется что число x и х*10² не особо то отличаются...

Подсказка 4

Точно! Докажите, что 99x = 24, отсюда найдите x, и дальше дело за малым.

Показать ответ и решение

Пусть $0,242424...= x.$ Тогда изменённое число равно $0,442424...=x +0,2.$ Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти $x.$ Приведём два способа.

Способ 1. Запишем дробь через период, а затем умножим на 100:

0,(24)= x

24,(24)=100x

Вычтем из второго равенства первое:

24= 99x

x= -8 33

Способ 2. $x =0,242424...$ равен сумме

( ) 24-+ 242 +-243 + ...= 24-⋅ 1+-1-+ -12-+... 100 100 100 100 100 100

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

x= 24-⋅---1--= -8 100 1− -1- 33 100

Чтобы узнать во сколько новое число больше исходного, разделим одно на второе:

-8 + 1 33--5-= 5⋅8+-33= 73 8- 5⋅8 40 33

Ответ:

$73 40$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#31220Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму цифр числа $4...4⋅9...9 ◟2 ◝0◜12 ◞ ◟2 ◝0◜1 ◞2$ .

Источники: Ломоносов-2013, 9.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обычно, когда сок в магазине стоит 99 рублей, а покупаем мы 4 таких, то мы умножаем 4 не на 99, а на 100, но потом вычитаем сдачу. Применим этот лайфхак здесь

Подсказка 2

Да, получится выражение вида 4…4 * (10…0 - 1), а как там в столбик вычитать?

Подсказка 3

Получим число, в котором на месте остались 2011 первых четверок, одна четверка стала тройкой, а тут остается лишь посчитать)

Показать ответ и решение

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число $9◟.2.◝◜01.29◞$ очень близко к “хорошему” числу $10◟2. ◝0..◜120 ◞$ . Умножим сначала число $4◟. ◝20.◜1.42◞$ на $10◟. ◝20.◜1.02◞$ . Получим

4◟. ◝..◜4 ◞0◟..◝◜.0◞. 2012 2012

Теперь отнимем $4◟..◝◜.4◞ 2012$ , чтобы получить исходное произведение. Получим

4...435...56. ◟ ◝20◜1 ◞1 ◟2◝◜011◞

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

4⋅2011+3 +5⋅2011+6 =9 ⋅2011+ 9= 9⋅2012= 18108.

Ответ:

$18108$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#34657Максимум баллов за задание: 7

Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например из числа $123456$ получится $612345$ ), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка $[618222;618252]$ могли получиться в результате вычитания?

Источники: Физтех-2012, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вводим число в виде abcdef (с чертой). Сделав операцию из условия, получится fabcde. Если наблюдается повторение, то почему бы не сделать замену?

Подсказка 2

Да, первые 5 знаков составляют повторяющееся число, пусть оно (т.е. abcde) будет х, тогда имеем дело с цифрой f и 5-значным х. Реализуем условие через эти натуральные переменные.

Подсказка 3

Заметим, что 9х - 99999f лежит в предложенном отрезке, при этом f ≠ 0 (почему?). Тогда количество возможных ответов моментально сокращается.

Показать ответ и решение

Пусть $ABCDEF$ — данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число $ABCDE$ через $x.$ Тогда $ABCDEF − FABCDE = (10x+ F)− (100000F +x)= 9x− 99999F.$ Таким образом, полученная разность делится на $9.$ Из промежутка $[618252;618222]$ на $9$ делятся числа $618228,618237,618246.$

Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений

$9x − 99999F = 618228$

$9x − 99999F = 618237$

$9x − 99999F = 618246$

имеет целочисленное решение, где $x$ — пятизначное число, а $F$ — однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить $F = 1$ и убедиться, что получающееся значение $x$ является пятизначным целым числом.

Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара $x= 79803,F = 1;$ второму — пара $x= 79804,F = 1;$ третьему — пара $x =79805,F =1.$ Значит, если в качестве исходных чисел взять $798031,798041,798051,$ то в результате перестановки и вычитания мы получим числа $61828,618237,618246.$

Ответ:

$618228,618237,618246$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#43619Максимум баллов за задание: 7

Число $1711 2011$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поделите в столбик и найдите первую цифру после запятой.

Подсказка 2

Выразите искомое число через известные нам.

Показать ответ и решение

Пусть

1711 2011 = 0,α1α2α3...

– бесконечная десятичная дробь. При помощи деления столбиком найдём первую цифру после запятой: $α1 = 8.$ После стирания этой цифры получим число

1711 17110− 8⋅2011 1022 0,α2α3 ...= α1,α2α3...− α1 = 10⋅2011-− 8 =---2011----= 2011

Ответ:

$1022 2011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#30791Максимум баллов за задание: 7

К натуральному числу $X$ приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до $X$ . Найдите, чему может равняться $X$ .

Источники: Всеросс., 1999, РЭ, 10.1(см. math.ru)

Показать ответ и решение

Пусть приписали число $n =abc$ , тогда $1000X+ n= X (X + 1)∕2$ , то есть $2000X +2n= X2 +X$ или $X(X − 1999) =2n∈ [0,1998]$ . Произведение неотрицательно, при этом $X >0$ , однако при $X ≥ 2000$ равенство невозможно, то есть возможно только $X = 1999$ , для $n =0$ , которое подходит в силу равносильности преобразований.

Ответ:

$1999$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#31223Максимум баллов за задание: 7

Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть даны числа n и m. В силу условия следует равенство m*10^7+n=3mn(так как числа семизначные). Чему кратно n и как это можно использовать?

Подсказка 2

Действительно, n кратно m. Значит мы можем записать n=mk и подставить в исходное равенство. Что можно сказать про k и n в таком случае(учитывая что числа m и n имеют одинаковое кол-во знаков)?

Подсказка 3

Да, мы можем сказать, что k<10 (так как числа имеют одинаковое кол-во знаков). Но также можно сказать, что 10⁷<3n<10⁷+10, откуда 3333334<=n<=3333336. Как теперь можно улучшить оценку на k?

Подсказка 4

В силу того, что m ≥ 10⁷, n/m<4, а значит k<4, а значит k<=3. Осталось учесть тот факт, что 10⁷+k кратно 3, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Пусть на доске было написаны семизначные числа $m,n$ в виде $m⋅n.$ После того, как ученик стёр знак умножения, получилось число, равное $7 m ⋅10 + n.$ По условию имеем $7 m ⋅10 +n =3mn$

Первое решение.

Так как $7 7 n =3mn − m ⋅10 = m⋅(3n− 10 ),$ то $n= km$ при некотором $k ∈ℕ$ и $7 7 km = m(3km− 10) ⇐ ⇒ 10 = k(3m − 1).$

Число $m$ семизначное, поэтому $m ≥ 1000000$ , тогда $6 3m − 1≥ 3⋅10 − 1$ . Если $k ≥4$ , то получаем $7 6 6 10 =k(3m− 1)≥ 4⋅(3⋅10 − 1)> 10⋅10$ противоречие.

При $k= 1$ имеем $7 3m − 1= 10 =9999999+ 1$ противоречие с тем, что в уравнении $3(m − 3333333)= 2$ левая часть делится на $3$ , а правая не делится.

При $k= 2$ имеем $6 3m − 1= 5⋅10 ⇐ ⇒ m = 1666667$ , откуда $n =mk = 3333334$ .

При $k= 3$ имеем $3(3m − 1)= 107 =9999999+ 1$ противоречие с делимостью на $3$ .

Второе решение.

Так как $n =3mn − m ⋅107 = m⋅(3n− 107),$ то $n= km$ при некотором $k ∈ℕ$ и $km = m(3n− 107) ⇐⇒ 3n= 107+k.$

Как отношение семизначных чисел $0 <k <10$ , поэтому $107+ 0< 3n< 107 +10$ . Следовательно, $333333313 < n< 333333623$ . Значит, $k <4$ , то есть $107+ 1≤3n ≤107+ 3$ . Лишь одно число в этом интервале делится на $3 :$ это $107+ 2$ . Поэтому $n =3333334,m =1666667$ .

Ответ:

$1666667,3333334$