Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Данные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Следовательно, остатки от деления на 5 у этих чисел чередуются. Действительно, если какое-то из этих чисел делится на 5, то есть имеет вид , где , то следующее за ним число есть — и оно даёт остаток 3 от деления на 5 — далее , дающее остаток 1 от деления на 5, затем — , дающее остаток 4 от деления на 5 , затем , дающее остаток 4 от деления на 5; наконец, следующим является , которое снова делится на 5, после чего порядок остатков по чисел на 5 идут в порядке

Среди данных нам 100 чисел есть по 20 чисел, дающих остатки от деления на 5.

Сумма двух чисел может делиться на 5 в следующих случаях.

1) Оба числа делятся на 5. Всего карточек с такими числами 20 , и нужно выбрать 2 из них — есть способов.

сделать это.

2) Одно из чисел даёт остаток 1 от деления на 5 — тогда второе должно давать остаток 4 от деления на 5. Эту пару чисел можно выбрать способами.

3) Одно из чисел даёт остаток 2 от деления на 5 — тогда второе даёт остаток 3 , и, аналогично второму случаю, получаем 400 способов выорать 2 числа. В итоге выходит 990 способов.