Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Тема Признаки делимости и равноостаточности

Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела признаки делимости и равноостаточности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82694

Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых делится на 5?

Показать ответ и решение

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме $0.$ На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через $s,$ а последнюю цифру через $r.$

Если $s =0,$ то $r =0$ или $r= 5$
Если $s =1,$ то $r =4$ или $r= 9$
Если $s =2,$ то $r =3$ или $r= 8$
Если $s =3,$ то $r =2$ или $r= 7$
Если $s =4,$ то $r =1$ или $r= 6$

Заметим, что для каждого $s$ можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

9× 10× 10 ×10× 2= 18000

Ответ: 18000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88709

Наудачу взятое целое положительное число $N$ возведено в куб. Найти вероятность того, что полученное число оканчивается на $44$ . Выписать все двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Источники: САММАТ - 2024, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как записать условие на языке делимости?

Показать ответ и решение

Если $N3 − 44$ кратно $100$ , то $N$ чётно, то есть $N = 2N 1$ , откуда $2N3− 11 1$ кратно $25$ , что равносильно делимости $3 N 1 − 18$ на $25$ . В частности, отсюда следует, что $3 N 1 − 3$ кратно $5$ , откуда $N1 ≡5 2$ , а значит $N1 = 5N2 + 2$ . Таким образом,

3 3 3 3 2 2 N 1 − 18 =(5N2+ 2)− 18= 5N 2 + 3⋅5N2 ⋅2+3 ⋅5N2 ⋅4 +8− 18 ≡2560N2− 10,

откуда $60N2− 10$ кратно $25$ , $12N2− 2$ кратно $5$ , то есть $N2 = 5N3+ 1$ .

В итоге $N =50N3+ 14$ . Отсюда понимаем, что при делении на $100$ число $N$ может давать остатки $14$ и $64$ . Значит, подходящие двузначные числа — $14$ и $64$ , а вероятность — $1200 = 150$ .

Ответ:

Вероятность равна $1- 50$ , двузначные числа: $14,64$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33629

Можно ли в числе $123456789$ переставить цифры так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр?

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, среди этих цифр есть цифры, для которых мы знаем признаки делимости! И все они накладывают на число какие-то условия...

Подсказка 2!

2) Ага, найдем среди этих условий те, что выполняются довольно редко, например, признак делимости на 5! Что тогда можно сказать о числе?

Подсказка 3!

3) Да-да, мы знаем, какая у него последняя цифра! И что теперь?

Показать ответ и решение

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры $2$ и $5.$ Чтобы число делилось на $5,$ последняя цифра должна делиться на $5,$ то есть должна быть равной либо $0,$ либо $5.$ При этом чтобы число делилось также и на $2,$ последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра $0.$ Но в данном в условии числе нет цифры $0,$ поэтому добиться одновременной делимости и на $2,$ и на $5,$ нельзя.

Ответ:

Нет, нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31499

Является ли число $123456789012345$ квадратом натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В подобных задачах часто помогает идея разложения квадрата на простые множители. Можно ли что-нибудь сказать про степени вхождения простых в квадрат?

Показать ответ и решение

Первое решение.

С одной стороны, это число оканчивается на цифру $5$ , то есть делится на $5$ . С другой, число дает при делении на $25$ такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае число, образованное последними двумя цифрами, — это $45$ . Оно не делится на $25$ , значит, и исходное число не делится на $25$ . Итак, число делится на $5$ , но не делится на $25$ .

Заметим, что если число квадрат, то простые числа входят в него в четной степени. Значит, если квадрат делится на 5, то делится и на 25. Но перед нами число, которое делится на $5$ и не делится на $25$ . Значит, оно не квадрат.

Второе решение.

Это число даёт остаток $8$ при делении на $11$ , однако квадраты могут быть сравнимыми только с $0,1,3,4,5,9$ по модулю $11$ , значит, искомое число не квадрат.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31508

Сколько натуральных чисел, делящихся на 4 и меньших 1000, не содержат в десятичной записи ни одной из цифр 3, 4, 5, 7 и 9?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Натуральные меньше 1000 это от 1 до 999. Понимаем, что использовать мы можем только цифры 01268, причем они повторяются. Что нужно от числа для делимости на 4?

Подсказка 2

Да, две последние цифры - это число, кратное 4. Составим всевозможные 1-значные 2-значные, делящиеся на четверку числа из данных цифр - они уже пойдут в ответ. А используя эти числа, найдем количество подходящих 3-значных?

Показать ответ и решение

Нас интересуют только однозначные, двухзначные и трехзначные числа. Давайте сделаем их всех трехзначными, дописав в начале нули. На делимость на $4$ влияют только $2$ последние цифры, поэтому на первом месте может стоять любая цифра, кроме $3,4,5,7$ и $9$ . Наше число делится на $2$ , поэтому третья цифра должна быть четной. Пусть на втором месте $a$ , на третьем $b$ . Для $b$ у нас есть варианты $0,2,6,8$ . Если $b= 2$ или $b =6$ , то $a$ может быть только $1$ . Если $b= 0$ или $b= 8$ , то $a$ может быть равно $0,2,6,8$ . Итого для пары $a$ и $b$ всего $2⋅1+ 2⋅4= 10$ вариантов и тогда для всего числа $10⋅5= 50$ вариантов, но среди этих вариантов есть случай $000$ . Он нам не подходит, так как число должно быть натуральным.

Ответ:

$49$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33634

Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр $a$ и $b$ число $anb$ делится на $ab-$ ?

Показать ответ и решение

Предположим, что такое число $n= n-n---...n- k k−1 1$ существует. Тогда $1n2$ кратно 12, а значит, и 4. По признаку делимости на 4 $n-2 1$ кратно 4. Аналогично из того, что $--- 2n4$ кратно 24, следует, что $--- n14$ кратно 4. Значит, и $--- --- 2= n14 −n12$ делится на 4, что не так.

Ответ: Не существует

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33635

Найдите какое-нибудь 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Показать ответ и решение

Делимость числа на 125 определяется тремя его последними цифрами. Следовательно, годится число $1...1599125 ◟◝9◜4◞$ .

Ответ: 11...1599125 (единиц 94)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33636

Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

Показать ответ и решение

Предположим, что $n,n +1,n+ 2$ и $n+ 3$ — удачные числа. В записи этих чисел не может быть цифры 0 (на 0 делить нельзя), поэтому, эти числа отличаются только последней цифрой, следовательно, одно из них оканчивается либо на 4, либо на 8. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пусть $P$ — произведение первых шести цифр числа $n$ . Так как соседние числа $n$ и $n+ 1$ взаимно просты и оба делятся на $P$ , то $P = 1$ . Следовательно, каждая из первых шести цифр числа $n$ равна 1. Но число $1111114$ не делится на 4, а число 1111118 не делится на 8. Противоречие.

Второй способ. Среди этих четырёх чисел есть нечётные. Поскольку они делятся на произведение своих цифр, то все их цифры нечётны. Следовательно, первые шесть цифр каждого из четырёх чисел — нечётные. Но числа, оканчивающееся на $a4$ или $a8$ , где $a$ — нечётная цифра, не делятся на 4. Противоречие.

Ответ: Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#34651

Может ли степень числа 2 оканчиваться на 4 одинаковые цифры? (на три — может: $239 =549755813888$ ).

Показать ответ и решение

На что нам намекает условие этой задачи? Оканчиваться на 4 одинаковые цифры: с этим связан признак делимости на $24 = 16$ . При этом степень двойки, конечно, на 16 делится. А делится ли на 16 число, оканчивающееся на 4 одинаковые цифры? По признаку равноостаточности, можно посмотреть только на число, образованное последними 4 цифрами, пусть это $---- aaaa =a ⋅1111$ . Но $1111$ и 16 взаимно просты, значит, $a$ должно делиться на 16. Так как $a$ — цифра, то $a$ может быть равно только 0. Но на 0 степени двойки не заканчиваются, хотя бы потому, что степени двойки не делятся на 10.

Ответ: Нет, не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#34652

Может ли натуральное число, записываемое с помощью $10$ нулей, $10$ единиц и $10$ двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что мы знаем все цифры нашего числа! С точки зрения признаков делимости, что о нем можно сказать?

Подсказка 2

Верно, нужно рассмотреть признаки делимости, которые зависят от суммы цифр!

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа равна $10⋅1 +10⋅2= 30.$ Она кратна трём, то есть наше число может быть только квадратом кратного тройке числа, но тогда оно должно быть кратно $9,$ что не выполняется для суммы цифр.

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34662

Является ли число $123456789012345$ квадратом натурального числа?

Показать ответ и решение

Заметим, что если число квадрат, то простые числа входят в него в четной степени. Значит если квадрат делится на 5, то делится и на 25, но перед нами число, которое делится на 5 и не делится на 25. Значит оно не квадрат.

Ответ: Нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#39053

Назовем число зеркальным, если слева-направо оно читается так же, как справа-налево. Например, число $12321$ — зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на $5$ ?

Показать ответ и решение

Число, которое делится на $5$ , должно оканчиваться на $5$ или на $0$ . Зеркальное число оканчиваться на $0$ не может, так как тогда оно должно и начинаться на $0$ . Итак, первая и последняя цифры — это $5$ . Вторая и третья цифра могут быть любыми — от сочетания $00$ до сочетания $99$ — всего $100$ вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет $100$ .

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72759

Сколько существует натуральных чисел, меньших $1000,$ кратных $4$ и не содержащих в записи цифр $1,3,4,5,7,9?$

Источники: Муницип - 2022, Архангельская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте будем считать что наши числа трехзначные, просто мы можем ставить нули в начале. Подумайте, какие цифры могут быть на конце у такого числа, вариантов не так много)

Подсказка 2

Вспомните, что чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из последних двух цифр делилось на 4. А также можно заметить, что у нас нет нечетных цифр)

Подсказка 3

Да, на конце может быть только либо 0, либо 8! Осталось посчитать количество комбинаций последних двух цифр и по ним посчитать все комбинации из трех цифр!

Показать ответ и решение

По условию, эти числа записываются только цифрами $0, 2, 6, 8.$ Тогда трехзначные числа, кратные $4,$ могут иметь на конце в точности $8$ вариантов: $00, 08, 20, 28, 60, 68, 80, 88.$ При этом на первом месте в каждом из этих $8$ вариантов может стоять одна из $3$ возможных цифр: $2, 6, 8.$ В случае, если число двузначное, имеем $6$ вариантов. А также $8$ — однозначное натуральное число, кратное $4.$ Итого, $3⋅8+6+ 1= 31.$

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#39314

Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на $25$ , его сумма цифр делится на $25$ и его произведение цифр делится на $25$ . Найдите все восхитительные числа.

Ответ укажите через пробел в порядке возрастания.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 9.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие на произведение цифр труднее всего учесть, поэтому найдем такие числа, которые удовлетворяют условиям о делимости числа и его суммы цифр а потом проверим его на оставшееся условие. Какие выводы можно сделать о делимости, какие варианты есть у суммы цифр?

Подсказка 2

Сумма цифр может быть только 25(почему?), а на конце его могут быть только 00, 25, 50 и 75. Осталось лишь перебрать все случаи, разобрать, какими могут быть первые 2 цифры в каждом из случаев и проверить делимость произведений цифр на 25!

Показать ответ и решение

Так как число четырёхзначное, то его сумма цифр не больше $9⋅4= 36$ , а раз она делится на $25$ , то она в точности равна $25$ .

Число делится на $25,$ поэтому может оканчиваться на $00$ , $25$ , $50$ или $75$ .

Если оно оканчивается на $00$ , то его сумма цифр не превосходит $18$ — не подходит.

Если оканчивается на $50$ , то его сумма цифр не превосходит $23$ — не подходит.

Если оно оканчивается на $25$ , то сумма двух первых цифр должна быть равна $25− 7= 18$ . Но тогда это могут быть только две цифры $9$ . Произведение цифр числа $9925$ не делится на $25$ .

Получается, что восхитительное число может оканчиваться только на $75$ . Тогда сумма его первых двух цифр равна $13$ , причём одна из них должна быть равна $5$ , значит, вторая — $8$ . Оба числа $5875$ и $8575$ подходят.

Ответ: 5875 8575

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#108459

На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.

Источники: ММО - 2020, 10.5(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким способом можно доказать, что состояние фиксированного объекта в процессе его изменения не приведёт к тому, что он примет начальное состояние?

Подсказка 2

Найти полуинвариант! Давайте найдем величину, которая будет меняться монотонно в ходе процесса, и, как следствие, не вернется к изначальному состоянию.

Подсказка 3

Как найти полуинвариант в данной задаче? В условии задачи сказано, что при замене двух чисел x и y на их сумму x+y, второе число равно x-y или y-x. Было бы хорошо, если бы наш полуинвариант вел себя одинаково вне зависимости от этого выбора. Ясно, что данные числа равны по модулю. Как это помогает найти полуинвариант?

Подсказка 4

Пусть S является искомым полуинвариантом. Ясно, что S — это функция от набора чисел, написанных на доске в данный момент. Если мы положим в качестве S функцию от их квадратов, то значение S будет совпадать при выборе любой из разности чисел (x-y или y-x), что является хорошим знаком. Осталось доопределить S.

Подсказка 5

Самые естественные функции от набора переменных — их сумма или произведение. С суммой в данном случае работать проще (итак, в качестве предполагаемого полуинварианта мы пока положим S — сумму квадратов чисел написанных на доске), поскольку мы можем легко получить значения данного полуинварианта на каждом ходу. Поймите, как это можно сделать.

Подсказка 6

Если на доске были написаны числа x² и y², то сумма их квадратов измениться на (x-y)² + (x+y)² = 2(x²+y²). Таким образом, значение S после каждого шага увеличивается вдвое. Осталось показать, что не существует двух различных последовательностей из 1000 идущих подряд чисел таких, что отношение сумм их квадратов равно степени двойки. Каким способом это возможно сделать?

Подсказка 7

Мы можем показать, что степень вхождения двойки в сумму квадратов 1000 последовательных чисел является инвариантом. Можно ли найти ее явно?

Подсказка 8

Да, достаточно доказать, что 8 подряд идущих чисел дают остаток 4 при делении на 8. Пусть эти числа имеют вид n-3, n-2, ..., n+3, n+4 при некотором целом n. Чему равна сумма их квадратов?

Подсказка 9

Сумма квадратов равна 8n² + 8n + 44, дает остаток 4 по модулю 8, а значит, и сумма 1000 последовательных чисел сравнима с 4 по модулю 8, то есть всегда делится на 4 и не делится на 8.

Показать доказательство

Поскольку $(x +y)2+ (x− y)2 =2(x2+ y2),$ то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы

2 2 2 2 2 2 (n− 3) +(n− 2)+ (n− 1) + n + (n +1) +(n+ 2)+

2 2 2 +(n+ 3)+ (n+ 4) = 8n + 8n +44

ясно, что сумма квадратов $8$ последовательных целых чисел даёт остаток $4$ при делении на $8.$ Значит, сумма квадратов $1000$ последовательных целых чисел тоже даёт остаток $4$ при делении на $8.$

Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на $8,$ и, следовательно, на доске никогда больше не появятся $1000$ последовательных целых чисел.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#105476

На столе лежат $100$ различных карточек с числами $3,$ $6,$ $9,$ …, $297,$ $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать $2$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на $5?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы сумма делилась на 5, а сколько у нас чисел с различными остатками при делении на 5?

Подсказка 2

О, а их одинаковое количество! А какие случаи нам подходят? Если оба числа делятся на 5 или если одно число дает остаток a, то у второго должен быть остаток (5-a). Разбираемся со случаями по отдельности!

Показать ответ и решение

Данные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Следовательно, остатки от деления на 5 у этих чисел чередуются. Действительно, если какое-то из этих чисел делится на 5, то есть имеет вид $5k$ , где $k∈ℕ$ , то следующее за ним число есть $5k +3$ — и оно даёт остаток 3 от деления на 5 — далее $− 5k +6= 5(k+ 1)+ 1$ , дающее остаток 1 от деления на 5, затем — $5k+9 =5(k+ 1)+ 4$ , дающее остаток 4 от деления на 5 , затем $5k+ 12= 5(k +2)+ 2$ , дающее остаток 4 от деления на 5; наконец, следующим является $5k+ 15= 5(k+ 3)$ , которое снова делится на 5, после чего порядок остатков по чисел на 5 идут в порядке $...;0;3;1;4;2;0...$

Среди данных нам 100 чисел есть по 20 чисел, дающих остатки $0,1,2,3,4$ от деления на 5.

Сумма двух чисел может делиться на 5 в следующих случаях.

1) Оба числа делятся на 5. Всего карточек с такими числами 20 , и нужно выбрать 2 из них — есть $2 1 C20 = 2 ⋅20⋅19= 190$ способов.

сделать это.

2) Одно из чисел даёт остаток 1 от деления на 5 — тогда второе должно давать остаток 4 от деления на 5. Эту пару чисел можно выбрать $20⋅20= 400$ способами.

3) Одно из чисел даёт остаток 2 от деления на 5 — тогда второе даёт остаток 3 , и, аналогично второму случаю, получаем 400 способов выорать 2 числа. В итоге выходит 990 способов.

Ответ: 990

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#96063

Мальчик Леша выписал на карточках все трехзначные числа без нулей в записи, каждое число — ровно по одному разу. Затем он разрезал каждую карточку на две так, что каждое трехзначное число распалось на однозначное и двузначное (например, из $576$ можно получить $57$ и $6,$ а можно $5$ и $76).$ Все числа на новых карточках Леша перемножил. Найдите $90$ -ю справа цифру произведения.

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что среди трехзначных чисел без нулей в записи хотя бы $9⋅9⋅4> 90$ четных, значит, произведение чисел на карточках делится на $90 2 .$ Покажем, что оно также делится на $90 5 ,$ после чего сможем сделать вывод, что оно делится на $90 10 ,$ а значит, $90$ -я справа цифра ноль.

Во-первых, все числа, оканчивающиеся на $5,$ дадут в произведение хотя бы одну пятерку. Таких чисел $9⋅9⋅1= 81.$ Кроме того, еще хотя бы по одной пятерке дадут числа $551,552,...,559,$ причем хоть мы уже и считали один раз число $555,$ оно даст две пятерки, поэтому здесь мы его тоже сосчитаем. В итоге получается еще $9$ пятерок, всего $81+9 =90,$ что и требовалось.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92480

Какое минимальное количество лет надо взять, чтобы количество месяцев в них записывалось только нулями и единицами?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Переформулируем задачу: нам надо найти наименьшее натуральное число $n,$ записываемое только нулями и единицами, делящееся на $12.$ Тогда мы поделим его на $12$ и узнаем ответ.

Убедимся, что число $11100$ подходит. Во-первых, так как число $n$ делится на $4,$ то число, образованное его двумя последними цифрами, делится на $4.$ Из чисел $00,01,10,11$ подходит только $00.$

Во-вторых, так как число $n$ делится на $3,$ то в нем не менее трех единиц. А наименьшее число, содержащее три единицы и оканчивающееся на два нуля — это как раз $11100.$ Откуда получаем ответ $11100:12= 925.$

Ответ:

$925$ лет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92530

Можно ли переменные $a,b,c,d$ заменить на числа $2014,2015,2016,2017$ в некотором порядке так, чтобы стало верным равенство

(a+ b)(b +c)(c+ d)=(c+ a)(a+ d)(d+ b)

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Докажем методом от противного, пусть такое бывает. В выражении каждая сумма из двух слагаемых участвует ровно один раз. Среди попарных сумм чисел $2014,2015,2016,2017$ ровно две делятся на $2,$ но при этом только одна делится на $4.$ Следовательно, где бы они не находились, одно произведение будет делиться на $4,$ а другое не будет.

Замечание. Также можно решить задачу по модулю $3$ или $5.$

Ответ:

Нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#93501

У Коли был бумажный квадрат, длина стороны которого равна натуральному числу. Двумя прямолинейными разрезами Коля разделил его на четыре прямоугольника. Могут ли периметры этих прямоугольников равняться четырем последовательным натуральным числам?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Пусть сторона квадрата $a,$ тогда суммарный периметр прямоугольников будет $8a.$ С другой стороны, сумма четырех подряд идущих чисел не делится на $8,$ так как они будут давать всевозможные остатки при делении на $4$ и сумма этих остатков $10,$ что не делится на $4.$

Ответ:

Не могут