Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гарри Поттер перемножил все десятизначные числа, запись которых состоит только из цифр 
и 
, и вычел из полученного произведения
число 
. Может ли результат оказаться простым числом?
Подсказка 1
А как можно доказать, что число является простым?
Подсказка 2
Увы, только проверить, что оно действительно делится только на себя и на единицу. Значит, вряд ли оно простое.
Подсказка 3
А как доказать, что число не является простым? Данное утверждение равносильно тому, что число делится на некоторое n, отличное от самого числа и от единицы. Вспомните признаки делимости.
Подсказка 4
А какой будет последняя цифра получившегося числа?
Способ 1. Так как десятизначные числа, перемножаемые Гарри, состоят только из цифр 
и 
, то и оканчиваются они только на 
или
. Но числа, оканчивающиеся на 
и 
, дают остаток 
при делении на 
. Значит, Гарри перемножал числа, дающие
остаток 
при делении на 
. Тогда и произведение дает остаток 
при делении на 
. Поэтому после вычитания 
из
произведения мы получим число, делящееся на 
. А так как результат больше 5, то быть простым и делиться на 5 он не
может.
Способ 2. Заметим, что хотя бы одно число, которое перемножал, заканчивается на 6. Так как умножать мы можем в любом
порядке, результат не изменится, будем умножать именно это число на остальные последовательно. Последняя цифра
произведения зависит только от последних цифр сомножителей. Но 
оканчивается на 
, и 
также оканчивается на 
.
Значит, произведение всегда будет оканчиваться на 
. Тогда после вычитания из произведения числа 
результат будет
оканчиваться на 
. Но число, оканчивающееся на 
, делится на 
. И так как результат больше 
, то он не может быть
простым.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
