Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Способ 1. Так как десятизначные числа, перемножаемые Гарри, состоят только из цифр и , то и оканчиваются они только на или . Но числа, оканчивающиеся на и , дают остаток при делении на . Значит, Гарри перемножал числа, дающие остаток при делении на . Тогда и произведение дает остаток при делении на . Поэтому после вычитания из произведения мы получим число, делящееся на . А так как результат больше 5, то быть простым и делиться на 5 он не может.

Способ 2. Заметим, что хотя бы одно число, которое перемножал, заканчивается на 6. Так как умножать мы можем в любом порядке, результат не изменится, будем умножать именно это число на остальные последовательно. Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей. Но оканчивается на , и также оканчивается на . Значит, произведение всегда будет оканчиваться на . Тогда после вычитания из произведения числа результат будет оканчиваться на . Но число, оканчивающееся на , делится на . И так как результат больше , то он не может быть простым.