Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Тема Признаки делимости и равноостаточности

Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела признаки делимости и равноостаточности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82694

Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых делится на 5?

Показать ответ и решение

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме $0.$ На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через $s,$ а последнюю цифру через $r.$

Если $s =0,$ то $r =0$ или $r= 5$
Если $s =1,$ то $r =4$ или $r= 9$
Если $s =2,$ то $r =3$ или $r= 8$
Если $s =3,$ то $r =2$ или $r= 7$
Если $s =4,$ то $r =1$ или $r= 6$

Заметим, что для каждого $s$ можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

9× 10× 10 ×10× 2= 18000

Ответ: 18000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88709

Наудачу взятое целое положительное число $N$ возведено в куб. Найти вероятность того, что полученное число оканчивается на $44$ . Выписать все двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Источники: САММАТ - 2024, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как записать условие на языке делимости?

Показать ответ и решение

Если $N3 − 44$ кратно $100$ , то $N$ чётно, то есть $N = 2N 1$ , откуда $2N3− 11 1$ кратно $25$ , что равносильно делимости $3 N 1 − 18$ на $25$ . В частности, отсюда следует, что $3 N 1 − 3$ кратно $5$ , откуда $N1 ≡5 2$ , а значит $N1 = 5N2 + 2$ . Таким образом,

3 3 3 3 2 2 N 1 − 18 =(5N2+ 2)− 18= 5N 2 + 3⋅5N2 ⋅2+3 ⋅5N2 ⋅4 +8− 18 ≡2560N2− 10,

откуда $60N2− 10$ кратно $25$ , $12N2− 2$ кратно $5$ , то есть $N2 = 5N3+ 1$ .

В итоге $N =50N3+ 14$ . Отсюда понимаем, что при делении на $100$ число $N$ может давать остатки $14$ и $64$ . Значит, подходящие двузначные числа — $14$ и $64$ , а вероятность — $1200 = 150$ .

Ответ:

Вероятность равна $1- 50$ , двузначные числа: $14,64$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33629

Можно ли в числе $123456789$ переставить цифры так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, среди этих цифр есть цифры, для которых мы знаем признаки делимости! И все они накладывают на число какие-то условия...

Подсказка 2

Ага, найдем среди этих условий те, что выполняются довольно редко, например, признак делимости на 5! Что тогда можно сказать о числе?

Подсказка 3

Да-да, мы знаем, какая у него последняя цифра! И что теперь?

Показать ответ и решение

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры $2$ и $5.$ Чтобы число делилось на $5,$ последняя цифра должна делиться на $5,$ то есть должна быть равной либо $0,$ либо $5.$ При этом чтобы число делилось также и на $2,$ последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра $0.$ Но в данном в условии числе нет цифры $0,$ поэтому добиться одновременной делимости и на $2,$ и на $5,$ нельзя.

Ответ:

Нет, нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31499

Является ли число $123456789012345$ квадратом натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В подобных задачах часто помогает идея разложения квадрата на простые множители. Можно ли что-нибудь сказать про степени вхождения простых в квадрат?

Показать ответ и решение

Первое решение.

С одной стороны, это число оканчивается на цифру $5$ , то есть делится на $5$ . С другой, число дает при делении на $25$ такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае число, образованное последними двумя цифрами, — это $45$ . Оно не делится на $25$ , значит, и исходное число не делится на $25$ . Итак, число делится на $5$ , но не делится на $25$ .

Заметим, что если число квадрат, то простые числа входят в него в четной степени. Значит, если квадрат делится на 5, то делится и на 25. Но перед нами число, которое делится на $5$ и не делится на $25$ . Значит, оно не квадрат.

Второе решение.

Это число даёт остаток $8$ при делении на $11$ , однако квадраты могут быть сравнимыми только с $0,1,3,4,5,9$ по модулю $11$ , значит, искомое число не квадрат.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31508

Сколько натуральных чисел, делящихся на 4 и меньших 1000, не содержат в десятичной записи ни одной из цифр 3, 4, 5, 7 и 9?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Натуральные меньше 1000 это от 1 до 999. Понимаем, что использовать мы можем только цифры 01268, причем они повторяются. Что нужно от числа для делимости на 4?

Подсказка 2

Да, две последние цифры - это число, кратное 4. Составим всевозможные 1-значные 2-значные, делящиеся на четверку числа из данных цифр - они уже пойдут в ответ. А используя эти числа, найдем количество подходящих 3-значных?

Показать ответ и решение

Нас интересуют только однозначные, двухзначные и трехзначные числа. Давайте сделаем их всех трехзначными, дописав в начале нули. На делимость на $4$ влияют только $2$ последние цифры, поэтому на первом месте может стоять любая цифра, кроме $3,4,5,7$ и $9$ . Наше число делится на $2$ , поэтому третья цифра должна быть четной. Пусть на втором месте $a$ , на третьем $b$ . Для $b$ у нас есть варианты $0,2,6,8$ . Если $b= 2$ или $b =6$ , то $a$ может быть только $1$ . Если $b= 0$ или $b= 8$ , то $a$ может быть равно $0,2,6,8$ . Итого для пары $a$ и $b$ всего $2⋅1+ 2⋅4= 10$ вариантов и тогда для всего числа $10⋅5= 50$ вариантов, но среди этих вариантов есть случай $000$ . Он нам не подходит, так как число должно быть натуральным.

Ответ:

$49$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33117

Гарри Поттер перемножил все десятизначные числа, запись которых состоит только из цифр $1$ и $6$ , и вычел из полученного произведения число $1$ . Может ли результат оказаться простым числом?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А как можно доказать, что число является простым?

Подсказка 2

Увы, только проверить, что оно действительно делится только на себя и на единицу. Значит, вряд ли оно простое.

Подсказка 3

А как доказать, что число не является простым? Данное утверждение равносильно тому, что число делится на некоторое n, отличное от самого числа и от единицы. Вспомните признаки делимости.

Подсказка 4

А какой будет последняя цифра получившегося числа?

Показать ответ и решение

Способ 1. Так как десятизначные числа, перемножаемые Гарри, состоят только из цифр $1$ и $6$ , то и оканчиваются они только на $1$ или $6$ . Но числа, оканчивающиеся на $1$ и $6$ , дают остаток $1$ при делении на $5$ . Значит, Гарри перемножал числа, дающие остаток $1$ при делении на $5$ . Тогда и произведение дает остаток $1$ при делении на $5$ . Поэтому после вычитания $1$ из произведения мы получим число, делящееся на $5$ . А так как результат больше 5, то быть простым и делиться на 5 он не может.

Способ 2. Заметим, что хотя бы одно число, которое перемножал, заканчивается на 6. Так как умножать мы можем в любом порядке, результат не изменится, будем умножать именно это число на остальные последовательно. Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей. Но $6⋅1$ оканчивается на $6$ , и $6⋅6$ также оканчивается на $6$ . Значит, произведение всегда будет оканчиваться на $6$ . Тогда после вычитания из произведения числа $1$ результат будет оканчиваться на $5$ . Но число, оканчивающееся на $5$ , делится на $5$ . И так как результат больше $5$ , то он не может быть простым.

Ответ: Нет, не может

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33617

Является ли число $12345678901234$ квадратом натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким свойствам делимости должен удовлетворять квадрат натурального числа?

Подсказка 2

Например, если он делится на 2, то он также должен делиться на 4.

Показать ответ и решение

Применим признаки делимости на $2$ и на $4$ . С одной стороны, число оканчивается на цифру $4$ , и так как она четная, то это число делится на $2$ . С другой стороны, число дает при делении на $4$ такой же остаток, как и число, образованное последними двумя цифрами. При этом $34$ дает остаток $2$ при делении на $4$ . Итак, число делится на $2$ , но не делится на $4$ , значит, квадратом оно быть не может.

Ответ: Нет, не является

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33619

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно $23021377− 1.$ Не опечатка ли это? Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само это число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не будем ведь мы возводить 23021 в степень 377 и потом проверять делимость на каждое меньшее число... Надо доказать, что указанное число не является простым, но как?

Подсказка 2

Например, доказать, что оно делится на некоторое число с известным нам признаком делимости!

Подсказка 3

А можно ли понять, какой будет последняя цифра числа 23021³⁷⁷?

Показать ответ и решение

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность $23021377− 1$ оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом, так как делится на 10.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#33625

На вопрос: “В каком году Вы родились?” Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на $5$ . Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, посчитать произведение всех двузначных чисел, по крайне мере, нам важны последние 2 цифры этого числа, но лучше будет подумать, каким свойствам должно удовлетворять это произведение!

Подсказка 2

Когда мы рассматриваем произведения некоторых чисел, можно переходить к делимости.

Подсказка 3

А какую делимость удобно рассматривать, если речь идет о последних двух цифрах числа?

Подсказка 4

Заметьте, что произведение всех двузначных чисел делится на 100. Тогда нетрудно вычислить последние 2 цифры года рождения Дмитрия Алексеевича.

Подсказка 5

Если Дмитрию Алексеевичу меньше 100 лет, значит, он не мог родиться, например, в 95 году.

Показать ответ и решение

Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на $100$ . Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него $5$ , мы получим число, оканчивающееся на $95$ . Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на $95$ . Это либо $1995$ , либо $1895$ , либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только $1995$ .

Ответ: 1995

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33630

Известно, что степень двойки оканчивается на $6$ . Докажите, что предпоследняя цифра нечетная.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим доказать, что предпоследняя цифра нечётная. Попробуйте записать число в общем виде.

Подсказка 2

Представим наше число как 100k + 10x + 6, где x будет предпоследней цифрой, k — всеми цифрами, кроме 2 последних.

Подсказка 3

Заметим, что наше число является степенью двойки и при том не равно 2. На какие числа тогда оно делится?

Подсказка 4

Например, на 4. Заметим, что по модулю 4 можно перейти к выражению 10x + 6, так как 100 делится на 4.

Подсказка 5

Будет ли 10x + 6 кратно 4, если x — чётное?

Показать ответ и решение

Обозначим часть числа без двух последних цифр через $k$ , а предпоследнюю цифру через $x$ . Тогда исходное число можно представить в виде $100k+10x+ 6$ . Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно $2$ , то это число делится на $4$ . Итак, $100k+ 10x +6$ делится на $4$ .

Слагаемое $100k$ всегда делится на $4$ , поэтому число дает такой же остаток, что и сумма $10x +6$ . Если $x$ делится на $2$ , то $10x$ делится на $4$ , и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число $6$ , то есть дает остаток $2$ . Но в таком случае оно не делится на $4$ , чего не может быть. Значит, $x$ не делится на $2$ , и таким образом предпоследняя цифра числа нечетная.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33631

Найдите самое маленькое натуральное число, которое делится на $2$ , но не делится на $5$ , а после переноса последней цифры в начало результат делится на $5$ , но не делится на $2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие числа делятся на 5?

Подсказка 2

У таких чисел последняя цифра — 0 или 5. А что можно сказать про делимость на 2?

Подсказка 3

Числа, оканчивающиеся на 0, будут делиться на 2. Рассмотрите момент переноса последней цифры в начало.

Подсказка 4

После переноса последней цифрой должна быть 5, чтобы полученное число делилось на 5, но не делилось на 2! Теперь рассмотрите исходное число.

Показать ответ и решение

Посмотрим на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на $5$ , но не делился на $2$ , число должно оканчиваться на $5$ . Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка.

Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на $2$ , но при этом не на $0$ , чтобы не делиться на $5$ . Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка. И действительно, число $52$ подходит: оно делится на $2$ , но не делится на $5$ , а после переноса результат, то есть число $25$ , делится на $5$ , но не делится на $2$ .

Это действительно самое маленькое подходящее число, так как мы выяснили, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа $50$ и $51$ не подходят, а следующее по величине число — $52$ — как раз является нашим ответом.

Ответ: 52

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33632

Найдите самое маленькое натуральное число, которое делится на $5$ , но не делится на $25$ , а после вычеркивания последней цифры получившееся натуральное число делится на $25$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие числа делятся на 5?

Подсказка 2

Если число делится на 5, то его последняя цифра — это 0 или 5. Рассмотрите эти случаи.

Подсказка 3

Пусть исходное число оканчивалось на 0, в каком виде тогда его можно записать?

Подсказка 4

Наше число представляется, как 10n. По условию, мы вычёркиваем последнюю цифру и получаем новое число, делящееся на 25. А чему оно будет равно в нашем случае?

Подсказка 5

Это же просто n! А будет ли тогда делиться на 25 число 10n?

Подсказка 6

Пусть теперь исходное число оканчивалось на 5. Мы хотим найти наименьшее возможное исходное число. Как это лучше сделать?

Подсказка 7

Как связаны величины исходного числа и числа, получаемого вычеркиванием последней цифры из исходного?

Подсказка 8

Но ведь чем больше новое число, тем больше исходное! Переберите числа, делящиеся на 25.

Показать ответ и решение

Обозначим число, получающееся из исходного вычеркиванием последней цифры, через $n$ . Исходное число делится на $5$ , значит, оканчивается на $0$ или на $5$ . Если оно оканчивается на $0$ , то его можно представить как $10n$ . По условию, $n$ делится на $25$ . Но тогда и исходное число $10n$ также делится на $25$ , что противоречит условию. Значит, исходное число оканчивается на $5$ .

Теперь, когда мы знаем последнюю цифру, исходное число будет тем меньше, чем меньше число, получающееся после вычеркивания последней цифры. Это число, то есть $n$ , должно делиться на $25$ . Самое маленькое число, которое делится на $25$ — само число $25$ . Поэтому самое маленькое исходное число, подходящее под оба условия — это $255$ .

Ответ: 255

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33633

На доске написаны $5$ простых чисел, каждое из которых больше $10$ . Докажите, что разность между какими-то двумя выписанными числами делится на $10$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что значит, что разность каких-то двух чисел делится на 10?

Подсказка 2

У этих двух чисел должны совпадать последние цифры.

Подсказка 3

Какими могут быть простые числа, большие 10?

Подсказка 4

Например, они нечётны и не делятся на 5.

Подсказка 5

Могут ли все последние цифры выписанных пяти чисел быть различными?

Показать ответ и решение

Простые числа, большие $10$ , нечетны и не делятся на $5$ . Поэтому они могут оканчиваться только на цифры $1$ , $3$ , $7$ и $9$ . Так как чисел $5$ , а возможных последних цифр только $4$ , то какие-то два числа оканчиваются на одну и ту же цифру. Тогда разность между ними оканчивается на $0$ , значит, делится на $10$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33634

Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр $a$ и $b$ число $anb$ делится на $ab-$ ?

Показать ответ и решение

Предположим, что такое число $n= n-n---...n- k k−1 1$ существует. Тогда $1n2$ кратно 12, а значит, и 4. По признаку делимости на 4 $n-2 1$ кратно 4. Аналогично из того, что $--- 2n4$ кратно 24, следует, что $--- n14$ кратно 4. Значит, и $--- --- 2= n14 −n12$ делится на 4, что не так.

Ответ: Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33635

Найдите какое-нибудь 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нас просят найти произвольное число, удовлетворяющее этим условиям. Значит, мы можем брать удобные суммы цифр.

Подсказка 2

Давайте возьмем за сумму цифр число с "приятным" признаком делимости.

Подсказка 3

Например, нам подойдёт 125.

Показать ответ и решение

Делимость числа на 125 определяется тремя его последними цифрами. Следовательно, годится число

1◟.◝..◜1◞599125 94

Ответ: 11...1599125 (единиц 94)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33636

Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

Показать ответ и решение

Предположим, что $n,n +1,n+ 2$ и $n+ 3$ — удачные числа. В записи этих чисел не может быть цифры 0 (на 0 делить нельзя), поэтому, эти числа отличаются только последней цифрой, следовательно, одно из них оканчивается либо на 4, либо на 8. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пусть $P$ — произведение первых шести цифр числа $n$ . Так как соседние числа $n$ и $n+ 1$ взаимно просты и оба делятся на $P$ , то $P = 1$ . Следовательно, каждая из первых шести цифр числа $n$ равна 1. Но число $1111114$ не делится на 4, а число 1111118 не делится на 8. Противоречие.

Второй способ. Среди этих четырёх чисел есть нечётные. Поскольку они делятся на произведение своих цифр, то все их цифры нечётны. Следовательно, первые шесть цифр каждого из четырёх чисел — нечётные. Но числа, оканчивающееся на $a4$ или $a8$ , где $a$ — нечётная цифра, не делятся на 4. Противоречие.

Ответ: Не существует

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#34651

Может ли степень числа 2 оканчиваться на 4 одинаковые цифры? (на три — может: $239 =549755813888$ ).

Показать ответ и решение

На что нам намекает условие этой задачи? Оканчиваться на 4 одинаковые цифры: с этим связан признак делимости на $24 = 16$ . При этом степень двойки, конечно, на 16 делится. А делится ли на 16 число, оканчивающееся на 4 одинаковые цифры? По признаку равноостаточности, можно посмотреть только на число, образованное последними 4 цифрами, пусть это $---- aaaa =a ⋅1111$ . Но $1111$ и 16 взаимно просты, значит, $a$ должно делиться на 16. Так как $a$ — цифра, то $a$ может быть равно только 0. Но на 0 степени двойки не заканчиваются, хотя бы потому, что степени двойки не делятся на 10.

Ответ: Нет, не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#34652

Может ли натуральное число, записываемое с помощью $10$ нулей, $10$ единиц и $10$ двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что мы знаем все цифры нашего числа! С точки зрения признаков делимости, что о нем можно сказать?

Подсказка 2

Верно, нужно рассмотреть признаки делимости, которые зависят от суммы цифр!

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа равна $10⋅1 +10⋅2= 30.$ Она кратна трём, то есть наше число может быть только квадратом кратного тройке числа, но тогда оно должно быть кратно $9,$ что не выполняется для суммы цифр.

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#39053

Назовем число зеркальным, если слева-направо оно читается так же, как справа-налево. Например, число $12321$ — зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на $5$ ?

Показать ответ и решение

Число, которое делится на $5$ , должно оканчиваться на $5$ или на $0$ . Зеркальное число оканчиваться на $0$ не может, так как тогда оно должно и начинаться на $0$ . Итак, первая и последняя цифры — это $5$ . Вторая и третья цифра могут быть любыми — от сочетания $00$ до сочетания $99$ — всего $100$ вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет $100$ .

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#72759

Сколько существует натуральных чисел, меньших $1000,$ кратных $4$ и не содержащих в записи цифр $1,3,4,5,7,9?$

Источники: Муницип - 2022, Архангельская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте будем считать что наши числа трехзначные, просто мы можем ставить нули в начале. Подумайте, какие цифры могут быть на конце у такого числа, вариантов не так много)

Подсказка 2

Вспомните, что чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из последних двух цифр делилось на 4. А также можно заметить, что у нас нет нечетных цифр)

Подсказка 3

Да, на конце может быть только либо 0, либо 8! Осталось посчитать количество комбинаций последних двух цифр и по ним посчитать все комбинации из трех цифр!

Показать ответ и решение

По условию, эти числа записываются только цифрами $0, 2, 6, 8.$ Тогда трехзначные числа, кратные $4,$ могут иметь на конце в точности $8$ вариантов: $00, 08, 20, 28, 60, 68, 80, 88.$ При этом на первом месте в каждом из этих $8$ вариантов может стоять одна из $3$ возможных цифр: $2, 6, 8.$ В случае, если число двузначное, имеем $6$ вариантов. А также $8$ — однозначное натуральное число, кратное $4.$ Итого, $3⋅8+6+ 1= 31.$

Ответ: 31