Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что степень двойки оканчивается на 
. Докажите, что предпоследняя цифра нечетная.
Подсказка 1
Мы хотим доказать, что предпоследняя цифра нечётная. Попробуйте записать число в общем виде.
Подсказка 2
Представим наше число как 100k + 10x + 6, где x будет предпоследней цифрой, k — всеми цифрами, кроме 2 последних.
Подсказка 3
Заметим, что наше число является степенью двойки и при том не равно 2. На какие числа тогда оно делится?
Подсказка 4
Например, на 4. Заметим, что по модулю 4 можно перейти к выражению 10x + 6, так как 100 делится на 4.
Подсказка 5
Будет ли 10x + 6 кратно 4, если x — чётное?
Обозначим часть числа без двух последних цифр через 
, а предпоследнюю цифру через 
. Тогда исходное число можно представить в
виде 
. Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно 
, то это число делится на 
. Итак, 
делится на 
.
Слагаемое 
всегда делится на 
, поэтому число дает такой же остаток, что и сумма 
. Если 
делится на 
, то 
делится на 
, и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число 
, то есть дает остаток 
. Но в таком случае
оно не делится на 
, чего не может быть. Значит, 
не делится на 
, и таким образом предпоследняя цифра числа
нечетная.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
