Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Обозначим часть числа без двух последних цифр через , а предпоследнюю цифру через . Тогда исходное число можно представить в виде . Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно , то это число делится на . Итак, делится на .

Слагаемое всегда делится на , поэтому число дает такой же остаток, что и сумма . Если делится на , то делится на , и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число , то есть дает остаток . Но в таком случае оно не делится на , чего не может быть. Значит, не делится на , и таким образом предпоследняя цифра числа нечетная.