Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Предположим, что и — удачные числа. В записи этих чисел не может быть цифры 0 (на 0 делить нельзя), поэтому, эти числа отличаются только последней цифрой, следовательно, одно из них оканчивается либо на 4, либо на 8. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пусть — произведение первых шести цифр числа . Так как соседние числа и взаимно просты и оба делятся на , то . Следовательно, каждая из первых шести цифр числа равна 1. Но число не делится на 4, а число 1111118 не делится на 8. Противоречие.

Второй способ. Среди этих четырёх чисел есть нечётные. Поскольку они делятся на произведение своих цифр, то все их цифры нечётны. Следовательно, первые шесть цифр каждого из четырёх чисел — нечётные. Но числа, оканчивающееся на или , где — нечётная цифра, не делятся на 4. Противоречие.