Задачи с неравенствами

Первое решение.

Заметим, что как бы ни изготавливали новый сплав, содержание титана в нём будет не меньше минимального из содержаний титана в имеющихся сплавах. Поэтому содержание титана в любом изготовленном сплаве будет не менее . С другой стороны, сплав 3 подходит под условия на содержание алюминия и молибдена. Значит, наименьшее содержание титана .

Теперь найдём наибольшее содержание титана в таком сплаве. Заметим, что если при изготовлении нового сплава мы использовали сплав 2, то можно его заменить на сплав 1: от этого содержание алюминия уменьшится, а молибдена и титана - увеличится. Поэтому в сплаве с наибольшим содержанием титана не участвует сплав 2.

Сразу отметим, что тогда в таком сплаве будет молибдена, т.е. он подходит под условие на молибден. В сплаве 1 титана больше, чем в сплаве 3 , но сплав 1 не подходит под условие на алюминий. Понятно, что чем меньше мы возьмём сплава 3, тем больше будет титана в изготовленном сплаве. Возьмём ровно столько, чтобы выполнилось условие на алюминий: и масса сплава 1 и 3 соответственно), откуда , т.е. можно взять 23 части сплава 1 и 17 частей сплава 3. Тогда содержание титана в процентах будет

Второе решение.

Пусть взято и первого, второго и третьего сплава соответственно, причём . Тогда условия задачи можно записать так:

Изобразим на координатной плоскости область (см. рисунок), удовлетворяющую системе неравенств

Процентное содержание титана . Легко видеть, что минимум этого числа достигается в точке и равен 6 . Чтобы найти максимум, заметим, что абсцисса точки равна , а ордината точки . При этом коэффициент при в больше. Значит, значение в точке точно больше (мы большее число умножаем на большее число), и равно