Тема Алгебраические текстовые задачи

Задачи с неравенствами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63739

На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями. Процентное содержание компонентов в этих сплавах приведено в таблице.


	1	2	3

Молибден	$8%$	$3%$	$8%$

Титан	$36%$	$21%$	$6%$

Алюминий	$55%$	$76%$	$15%$

Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше $38%$ , а молибдена - не меньше $5%$ . Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?

Источники: ОММО-2023, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что как бы ни изготавливали новый сплав, содержание титана в нём будет не меньше минимального из содержаний титана в имеющихся сплавах. Поэтому содержание титана в любом изготовленном сплаве будет не менее $6%$ . С другой стороны, сплав 3 подходит под условия на содержание алюминия и молибдена. Значит, наименьшее содержание титана $− 6%$ .

Теперь найдём наибольшее содержание титана в таком сплаве. Заметим, что если при изготовлении нового сплава мы использовали сплав 2, то можно его заменить на сплав 1: от этого содержание алюминия уменьшится, а молибдена и титана - увеличится. Поэтому в сплаве с наибольшим содержанием титана не участвует сплав 2.

Сразу отметим, что тогда в таком сплаве будет $8%$ молибдена, т.е. он подходит под условие на молибден. В сплаве 1 титана больше, чем в сплаве 3 , но сплав 1 не подходит под условие на алюминий. Понятно, что чем меньше мы возьмём сплава 3, тем больше будет титана в изготовленном сплаве. Возьмём ровно столько, чтобы выполнилось условие на алюминий: $55x+15y = 38(x +y)(x$ и $y−$ масса сплава 1 и 3 соответственно), откуда $17x =23y$ , т.е. можно взять 23 части сплава 1 и 17 частей сплава 3. Тогда содержание титана в процентах будет

36⋅23+-6⋅17= 23,25 23+17

Второе решение.

Пусть взято $x,y$ и $1− x − y$ первого, второго и третьего сплава соответственно, причём $x ≥0,y ≥ 0,1− x− y ≥ 0$ . Тогда условия задачи можно записать так:

55x+ 76y+ 15(1− x− y)= 40x+ 61y+ 15 ≤38 8x+ 3y+8(1− x− y) =−5y +8≥ 5

Изобразим на координатной плоскости область (см. рисунок), удовлетворяющую системе неравенств

(|{ 40x+ 61y− 23≤ 0 −5y+ 3≥ 0 |( x≥ 0, y ≥ 0, x +y− 1≤ 0.

$PIC$

Процентное содержание титана $36x+ 21y+ 6(1− x− y) =6+ 30x+ 15y(∗)$ . Легко видеть, что минимум этого числа достигается в точке $A$ и равен 6 . Чтобы найти максимум, заметим, что абсцисса точки $B$ равна $23 1 40 > 2$ , а ордината точки $23 1 C− 61 < 2$ . При этом коэффициент при $x$ в $(∗)$ больше. Значит, значение в точке $B$ точно больше (мы большее число умножаем на большее число), и равно $23 6+ 30⋅40 = 23,25.$

Ответ:

наименьшее $6%$

наибольшее $23,25%$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68074

Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил 60 . Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Источники: Росатом-2023, 11.1, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Пусть за столом стояло $2n$ стульев (т.е. за столом сидело всего $2n$ человек). На круге точками отмечены стулья. Числом рядом с точкой обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле.

Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно

2 2(1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+(n− 2))+ (n− 1)= (n− 1)(n− 2)+(n− 1)=(n− 1)

Обозначим $K B$ число стульев, вычисленное для Васи. Тогда

({ 2 ({ 2 (|{ 2 (n − 1) − KB =60 ⇔ KB =(n− 1) − 60 ⇔ KB =√-(n − 1) − 60√- ( 0≤ KB ≤(n− 1) ( 0≤ (n − 1)2− 60≤ (n− 1) |( 1+ 60≤ n≤ 3+-2241

Учитывая, что $n∈ ℕ$ , $8< 1+ √60$ , $√--- 8< 3+--241< 10 2$ , получим единственное натуральное решение двойного неравенства: $n = 9$ . Тогда число стульев за столом равно $2n = 18$ , а количество стульев, разделяющих Петю и Васю, $KB = (n− 1)2− 60= 64− 60=$ $=4.$

Ответ: за столом 18 стульев, разделяло минимум 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69312

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

( x − d )2 V0(x− d) g V0cosα g( x − d )2 y(x)= -V0cosα-sin α− -----2-----= (x− d)tgα − 2 V0cosα

2 y(x)=(x− d)tgα − g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α) 2 V0

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения $x,$ требуется выполнение условия

x-≥ y(x) 25

x 25 − y(x)≥ 0

для любого $x ∈[16;25].$ Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

2 -x − (x− d)tgα + g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α)≥ 0 25 2 V0

должно выполняться для всех $x.$

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

g (x-− d)2 2 ( 1-) -d 2 ⋅ V20 ⋅(1+tg α)− (x− d) tgα− 25 + 25 ≥ 0

( )2 D = tgα −-1 − 4⋅-d ⋅ g⋅-12-⋅(1+ tg2α)≤0 25 25 2 V0

Подставляем $g = 10$ м/c $2$

( 1 )2 4d 2 tgα − 25 − 5V20 (1+tg α)≤ 0

′ ( ) ( )( ) D-= -1 − 1 −-4d2 -12 −-4d2 4 25 5V0 25 5V0

D′ -4d 1-- 4d-( -4d) 4d- 626 (-4d )2 4 = 5V20 ⋅252 + 5V02 1− 5V20 = 5V20 ⋅625 − 5V02

Подставляем $d= 16$ м, $V0 = 20$ м/с

( )2 ( ) D′ = 4⋅16-⋅ 626-− 4⋅16- = --4--- 626-− 4 = -4⋅606⋅2-- 4 5⋅400 625 5⋅400 25 ⋅252 5 252 ⋅25⋅5⋅2

Теперь посчитаем сам $tgα$

( 1 2 ∘ 1212) ( 121) 5± 2√121,2 tgα= 25 ±25⋅5 -10- ∕ 125- = ---121---

Значит, максимально возможное значение $tg α$ равно $√---- 5+2121121,2.$

Ответ:

$5-+2√121,2 121$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82259

Десять положительных чисел выписали в строчку в порядке возрастания. Оказалось, что все разности между соседними числами равны, и что удвоенное второе по счету число больше четвертого по счету. Докажите, что упятеренное произведение всех чисел, стоящих на нечетных местах, больше произведения всех чисел, стоящих на четных местах.

Показать доказательство

Пусть разности равны $x,$ первое число равно $a.$ Тогда $2(a +x)> a+ 3x,$ откуда $a> x.$ Разобьем числа на пары соседних, в каждой паре $(a+ 2kx)∕(a +(2k+ 1)x)$ оценим отношение снизу как $(2k+1)∕(2k+ 2),$ поскольку при уменьшении $a$ до $x$ правильная дробь тоже уменьшится. Тогда отношение произведений оценивается снизу как $(1∕2)⋅(3∕4)⋅(5∕6)⋅(7∕8)⋅(9∕10)= 945∕3840> 1∕5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33800

Молот тяжелее костюма, а костюм тяжелее, чем щит. Что тяжелее: молот или щит?

Показать ответ и решение

Обозначим массу молота через $a$ , массу костюма через $b$ , а массу щита через $c$ . Тогда у нас есть два условия: $a> b$ и $b> c$ . Таким образом, мы можем записать неравенство $a >b> c$ . Из этого следует, что $a> c$ , значит, молот тяжелее щита.

Ответ: Молот

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33801

Шесть карандашей легче пяти тетрадок, но тяжелее десяти ластиков. Что тяжелее: $2$ тетрадки или $3$ ластика?

Показать ответ и решение

Обозначим массу одного карандаша через $x$ , одной тетрадки через $y$ , одного ластика через $z$ . Перепишем тогда условия задачи: $6x< 5y$ , а также $6x> 10z$ . Тогда мы получаем неравенство $10z < 6x< 5y$ , или просто $10z < 5y$ . Поделим на $2$ , получим, что $2z < y$ . Значит, одна тетрадка тяжелее двух ластиков. Тогда две тетрадки тяжелее четырех ластиков, и тем более тяжелее трех ластиков.

Ответ: 2 тетрадки

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33802

У $10$ инопланетян $44$ зуба. Докажите, что у каких-то двух инопланетян зубов поровну.

Показать ответ и решение

Предположим, что ни у каких двух инопланетян зубов не поровну. Это значит, что у любых двух инопланетян количество зубов различно. Упорядочим их по возрастанию количества зубов. Тогда у первого инопланетянина хотя бы $0$ зубов. У второго — уже хотя бы $1$ зуб. У третьего — хотя бы $2$ зуба, и так далее. Получается, что у инопланетян в сумме хотя бы $0+ 1+ 2+ ...+ 9=45$ зубов. Но по условию у них только $44$ зуба. Мы пришли к противоречию, значит, у каких-то двух инопланетян зубов поровну.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33809

Крош, Ёжик, Бараш и Муравей соревнуются в поедании бананов. На четверых они съели $70$ штук, причем каждый хоть что-то съел. Бараш съел больше, чем каждый из остальных. Крош и Ёжик съели вместе $45$ бананов. Сколько бананов съел Муравей?

Показать ответ и решение

Рассмотрим Кроша и Ёжика. Раз вдвоем они съели $45$ бананов, то хотя бы один из них съел не меньше $23$ штук. Действительно, иначе бы каждый из них съел не больше $22$ штук, и значит в сумме не больше $44$ бананов, противоречие.

Итак, кто-то из Кроша и Ёжика съел хотя бы $23$ банана. Бараш съел больше, значит, он съел хотя бы $24$ банана. Но на двоих с Муравьем они съели $70− 45=25$ бананов. Если бы Бараш съел больше $24$ бананов, то Муравью ничего бы не досталось. Значит, Бараш съел ровно $24$ банана, а Муравей — ровно $1$ банан.

Замечание. В итоге можно восстановить, что они съели $1$ , $22$ , $23$ и $24$ банана, но кто из Кроша и Ёжика съел $22$ , а кто — $23$ , определить нельзя.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#34097

В волшебной стране в ходу только купюры $63$ тугрика и $350$ тугриков. Известно, что самый дешевый предмет, который там можно купить в магазине — это iPhone 12 Pro. Какое наименьшее (разумеется, положительное) число тугриков может стоить айфон, если цену можно заплатить только имеющимися в ходу купюрами, получив при этом, разумеется, сдачу?

Показать ответ и решение

Сначала приведем пример, когда айфон может стоить $7$ тургиков. Для этого заплатим $2$ купюры по $350$ тугриков, получив в виде сдачи $11$ купюр по $63$ тугрика. Таким образом, стоимость будет равна $2⋅350 − 63⋅11= 7$ тугриков.

Теперь докажем, что меньше $7$ тугриков айфон стоить не может. Заметим, что и $63$ , и $350$ делятся на $7$ . Поэтому любая сумма или разность, полученная этими купюрами, также будет делиться на $7$ . Учитывая, что цена положительна, меньше $7$ тугриков она быть не может.

Ответ: 7 тугриков

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#34107

Докажите, что $1013 >9992$ .

Показать ответ и решение

Используем в качестве посредника миллион:

3 3 2 2 101 > 100 = 1000 >999

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34108

Найдутся ли натуральные $a$ и $b$ такие, что $Nok(a,b)= a+b$ ?

Показать ответ и решение

Предположим, что $a= b$ . Тогда $Nok(a,b)=Nok(a,a)=a <a +b$ , значит, все-таки числа не могут быть равны.

Пусть, не умаляя общности, $a> b$ . Тогда $Nok(a,b)> a$ , и, так как он делится на $a$ , то $Nok(a,b)≥2a> a+ b$ .

Ответ: Нет, не найдутся

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#34109

Докажите, что любое многозначное число больше произведения своих цифр.

Показать ответ и решение

Пусть наше число состоит из $k >1$ знаков, а первая его цифра равна $c$ . Заметим, что произведение цифр данного числа станет только больше, если каждую цифру, кроме первой, заменить на 9. В свою очередь, $9< 10$ , поэтому произведение цифр данного числа меньше, чем $k−1 c⋅10$ . Но само число хотя бы $k− 1 c⋅10$ , так как оно равно $k−1 c⋅10$ , если все цифры, кроме первой, заменить на нули. Отсюда и следует утверждение задачи.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38673

Одноклассники на переменке решили сравнить цвета глаз друг с другом. Полина заметила, что детей с цветом глаз темнее, чем у нее, в $10$ раз меньше, чем детей с цветом глаз светлее, чем у нее. Катя же заметила, что детей с цветом глаз темнее, чем у нее, столько же, сколько детей с цветом глаз светлее, чем у нее. Сколько всего детей в классе, если известно, что их не больше $25$ ?

Показать ответ и решение

Количество людей без Полины делится на $11$ , так как $10$ частей составляют люди с более светлым цветом глаз, а $1$ часть — люди с более темным цветом глаз. Количество людей без Кати делится на $2$ , так как людей с цветом глаз светлее и темнее, чем у нее, поровну. Значит, если всего детей $x$ , число $x− 1$ обязано делиться и на $11$ , и на $2$ , то есть делиться на $22$ . Отсюда $x$ имеет остаток $1$ при делении на $22$ , но среди натуральных чисел, не больших $25$ , такое только одно, и это $23$ .

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71013

На вход устройства подается лента с записанными на ней нулями и единицами:

$PIC$

За один такт устройство считывает с ленты с позиций $μ1,μ2,μ3$ (на первом такте $μ1 = 1$ ) три значения $x,y,z$ . Если $x+ y+z ≥2,$ то устройство на новой ленте печатает 1 , иначе — 0 . Затем устройство сдвигается на одну позицию вправо, и процедура повторяется. Найдите разности $d1 = μ2− μ1$ и $d2 = μ3− μ2,$ если известно, что $d1 +d2 ≤ 10,$ а на новой ленте было напечатано следующее: $0001000010111111000111010111011010101001 ...$ (для примера на рисунке изображен случай $d1 = 3,d2 =5).$

Источники: Верченко-2022 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Число возможных вариантов $d 1$ и $d :10+ 9+ ⋅⋅⋅+1 =55 2$ , можно для каждого варианта проверять, что соответствие входных и выходных символов, а можно предложить более быстрый способ, заключающийся в нахождении сначала $d1$ (максимум 10 вариантов), а затем $d2$ . Для этого достаточно заметить следующее.

Если рассмотреть систему, соответствующую выходным знакам на расстоянии $d1$ вида $1...1$ в произвольном такте работы $μ1 :$

xμ1 + xμ1+d1 − xμ1+d1+d2 ≥ 1,

xμ1+d1 +xμ1+2d1 − xμ1+2d1+d2 ≥ 1,

то если $x = 0 μ1+d1$ , то $x = 1,x = 1. μ1 μ1+2d1$

Это позволяет отбраковать опробуемый вариант $d . 1$ Устанавливаем, что $d = 2. 1$

Аналогично, если рассмотреть систему, соответствующую выходным знакам на расстоянии $d2$ вида $0...1$ в произвольном такте работы $μ1 :$

xμ1 + xμ1+d1 − xμ1+d1+d2 ≤ 0,

xμ1+d2 +xμ1+d1+d2 − xμ1+d1+2d2 ≥1,

тогда если $xμ1+d1+d2 = 0,$ то $xμ1+d1 = 0,xμ1+d1+2d2 = 0.$

Это позволяет отбраковать опробуемый вариант $d 2$ (с учётом найденного ранее $d =2). 1$ Находим $d = 6. 2$

Ответ:

$d = 2,d =6 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#74649

На отрезке $[2;5]$ выбрали три разные точки, для каждой точки перемножили расстояния до двух других точек, получили положительные числа $a,b,c.$ Докажите, что

1 1 1 8 a +b + c ≥ 9

Источники: Бельчонок-2022, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Переместим отрезок в точку $0,$ то есть будем рассматривать отрезок $[0;3].$ Обозначим взятые точки $0≤ x< y < z ≤3.$ Тогда, т.к. $− x ≤0,z ≤ 3,$

1 1 1 1 1 1 a +-b + c = (y−-x)(z−-x) + (y−-x)(z−-y) + (z− y)(z-− x)

----1-----+ -----1---- +-----1---- ≥ -1-+ ---1-- +---1--- (y − x)(z − x) (y− x)(z− y) (z− y)(z− x) y⋅3 y(3− y) (3− y)⋅3

При замене $− x$ на 0, а $z$ на 3 все знаменатели увеличились, а обратные им величины уменьшились.

1 (1+ ---3-- +--1-- )= 3−-y+-3+-y= --2--- 3 y y(3− y) (3− y) 3y(3− y) y(3 − y)

Тогда

2 8 y(3-− y) ≥ 9 ⇔ (2y− 3)2 ≥0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#76460

Энергетические затраты Пончика во время еды пропорциональны корню квадратному из объема съедаемой порции. Что выгоднее для экономии энергетического запаса: съесть свежую кулебяку как одну порцию или разделить ее на две? В какое максимальное количество раз (и в какую сторону) изменятся затраты при разделении кулебяки на две порции?

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Пусть кулебяка делится на порции объёмом $x$ и $cx(c> 0).$ Тогда при съедании всей кулебяки энергетические затраты составят $√ ----- S1 = α x+cx,$ а при разделении на две порции составят $√- √-- S2 =α x+ α cx.$ Требуется исследовать отношение этих величин. Для удобства рассмотрим квадрат их отношения

( S2)2 α2(√x + √cx)2 (1+ √c)2 1+ c+ 2√c- 2 S1 = -α2√x-+cx2--= -1-+c--= ---1+c---= 1+ 1∕√c+-√c

Величина $1∕√c+ √c≥ 2,$ поэтому

(S2)2 =1 +--√-2-√- ≤2 S1 1∕ c+ c

Таким образом, $S2 √- 1< S1 ≤ 2.$

Ответ:

Выгоднее съесть как одну порцию

В $√ - 2$ раз

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42928

Школьники едят шоколад из новогодних подарков. Каждая шоколадка состоит из 12 долек. Выяснилось, что если каждая девочка съест по 7 долек, а каждый мальчик по 2, то трех шоколадок не хватит. Если же взять четыре шоколадки, то каждой девочке хватит по 8 долек, а каждому мальчику по 4 дольки, и еще останется. Сколько среди этих школьников мальчиков и девочек? Введите в ответ числа через пробел (сколько мальчиков, сколько девочек).

Источники: Муницип - 2019, Республика Мария Эл, 7.3

Показать ответ и решение

Пусть мальчиков $x$ , а девочек $y$ . Тогда $2x+ 7y > 3⋅12 =36$ , а также $4x +8y < 4⋅12= 48$ . Вычтем одно неравенство из другого, получим $2x+ y < 12$ , при этом $2x +7y > 36$ , откуда $6y >25$ (равенства быть не может, поскольку $2x+ y ≤ 11,2x+ 7y ≥37$ ), то есть $y ≥5$ . При этом $8y <48 =⇒ y < 6$ , значит, $y =5$ . В силу $2x+ 7y >36$ выполнено $x> 0$ , а из $4x+ 8y < 48$ следует $x <2$ , откуда $x =1$ .

Ответ: 1 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#74603

(a) Квадрат размера $1×1$ разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр $p$ . Найти минимальное и максимальное возможное значение $p$ .

(b) Можно ли разбить единичный квадрат на 30 не обязательно одинаковых прямоугольников периметра 2?

Показать ответ и решение

(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем $1- 25$ , обозначим его стороны за $x$ и $y$ . По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем

x+y √-- ∘-1- 1 -2--≥ xy ≥ 25-= 5 =⇒ p= 2(x+ y)≥ 0,8

Значение $p= 0,8$ достигается для разбиения квадрата на $25$ одинаковых квадратиков со стороной $0,2.$

По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на $25$ прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его стороны за $x≤ 1$ и $y ≤ 1$ ) площади $S$ не больше $125.$ При этом $x = p2 − y ≥ p2 − 1.$ Следовательно, $( ) S = x p2 − x ≤ 125$ для $[ ] x ∈ p2 − 1;1.$ Функция $S(x)$ является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны $p2 − 1.$ Следовательно,

p − 1≤-1 ⇐ ⇒ p ≤2,08 2 25

Разбиение квадрата на $25$ равных прямоугольников со сторонами $1$ и $-1 25$ даёт пример $p =2,08$

(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.

Попробуем отрезать от исходного квадрата $1 ×1$ "рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число $x< 1. 2$ Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером $x ×(1− x)$ так, чтобы в центре остался квадрат размером $(1− 2x)× (1− 2x).$

$x1− x$

Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером

(1− 2x)× 1−-2x 26

Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение

2(1− 2x + 1-− 2x)= 2 26

Таким образом, $x= -1. 54$ В итоге получаем следующее разбиение.

$x1− x$

Ответ:

(a) $0,8;2,08$

(b) да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#78229

Архив фотографий укладывают в порядке их нумерации в одинаковые альбомы, ровно по 4 фотографии на одну страницу. При этом 81-я по счёту фотография попала на 5-ю страницу одного из альбомов, 171-я — на 3-ю страницу другого. Сколько фотографий вмещает каждый альбом?

Источники: Ломоносов - 2018. 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,y$ — номера альбомов, в которые попали $81−$ я и $171−$ я фотографии соответственно, $n >4$ — количество страниц в альбоме. Тогда

4n(x − 1)+ 16 <81≤ 4n(x − 1)+ 20⇒ 61≤ 4n(x− 1)< 65

4n(y− 1)+ 8< 171 ≤4n(y− 1)+ 12⇒ 159≤ 4n(y− 1)<163

Тогда

n(x− 1) =16, n(y− 1)= 40

Из первого неравенства следует, что $n$ может быть равно $1, 2, 4, 8, 16,$ из второго неравенства — $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.$ Таким образом, $n =8, 4n =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#74601

Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от $70%$ до $85%$ от общего числа учащихся, а оба языка изучают от $5%$ до $8%$ . Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык?

Источники: Миссия выполнима 2017

Показать ответ и решение

Пусть $A$ человек изучают английский язык, $B$ – немецкий язык, а $C$ – оба языка. Тогда $B = 2017 − A +C.$ Известно, что $A ≥ 2017⋅0,7= 1411,9$ и $C ≤ 0,08⋅2017= 161,31.$

Следовательно, $B ≤ 2017 − 1412+161= 766.$

Тогда наибольшее $B = 766,$ а достигается при $A= 1412,C =161.$

Ответ: 766