Задачи с неравенствами

(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем , обозначим его стороны за и . По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем

Значение достигается для разбиения квадрата на одинаковых квадратиков со стороной

По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его стороны за и ) площади не больше При этом Следовательно, для Функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны Следовательно,

Разбиение квадрата на равных прямоугольников со сторонами и даёт пример

(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.

Попробуем отрезать от исходного квадрата "рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером так, чтобы в центре остался квадрат размером

Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером

Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение

Таким образом, В итоге получаем следующее разбиение.