Задачи на движение: алгебраический подход

Обозначим скорость первого таракана через . Второй таракан догнал его через 2 минуты после своего старта, или через 3 минуты после старта первого таракана. За это время первый таракан пробежал метров, и это же расстояние второй пробежал за 2 минуты. Тогда есть скорость равна . Применим те же рассуждения для второго и третьего таракана: второй таракан до встречи с третьим бежит 4 минуты, а третий то же расстояние преодолевает за 3 минуты. Получаем, что скорость третьего равна .

Если проделать те же рассуждения ещё несколько раз, получаем, что скорость четвёртого таракана равна , а пятого — . Появляется гипотеза, что следующий таракан бежит со скоростью на быстрее, чем предыдущий. Давайте докажем эту гипотезу в общем виде.

Пусть мы уже доказали, что -й таракан бежит со скоростью . Докажем, что -й таракан бежит со скоростью . По условию, -й таракан догнал -го спустя минут после старта. При этом -й таракан бежал на минуту дольше -го, поэтому скорость -го в раз больше, чем у -го, то есть равна , что мы и хотели доказать.

Таким образом, 20-й таракан бежит со скоростью . Его скорость сближения с первым равна , при этом первый бежал на 19 минут больше, чем 20-й. За это время он пробежал расстояние в метров, поэтому 20-й таракан догонит первого через минуты.