Задачи на движение: алгебраический подход

Пусть — расстояние между пунктами и , — скорость течения реки, — скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда

Полагая , запишем систему в виде

Первое из уравнений системы приводится к однородному уравнению , откуда . Подставив это выражение во второе уравнение системы, получаем , откуда .

Первый велосипедист проезжает полный круг за время

а второй — за время

Поэтому второй велосипедист догонит первого, если проедет на круг больше, чем первый, причём это произойдет на стадионе, поскольку там скорость второго больше, чем у первого.

Пусть — время от начала движения до момента, когда второй совершит обгон первого; — число целых кругов, пройденных до обгона вторым велосипедистом; — часть пути по стадиону, пройденная велосипедистами после кругов, пройденных вторым.

Так как на полный круг первый затрачивает на больше, чем второй, то второй, отрываясь от первого, догонит первого, когда выигрыша во времени будет достаточно, чтобы второй проехал круг. Поэтому второму достаточно проехать 5 полных кругов , чтобы затем на стадионе обогнать первого. Из условия равенства времени движения каждого его участника с учётом пройденного пути получаем систему уравнений

откуда (при ) находим

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку , т. е. путем .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( или ) добраться до точки , сделать несколько кругов («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( или ) в точку .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг , , .

Действительно, выехав из точки и сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , после чего, сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , а после заданного нечетного числа проходов — снова в точке .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа , , , что

Для возможны варианта: Первый случай отбрасываем, так как для него получаем

Во втором случае имеем . Если , то При число не делится на .

Наконец, при имеем . Для получим , откуда а пройденный путь равен Здесь — длина дуги , которую находим геометрически:

где — радиусы.

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

Петя бежит по большой дорожке из точки , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку за минут бега, описываются сериями: (считаем в минутах, и — целые). Моменты встречи друзей в точке определяют начало промежутка времени в минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок за минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: . Видим, что если чётно, то не найдётся такого , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, и серия, описывающая встречи в точке имеет вид: . За 3 часа встречи происходили при Значит, они пробегают вместе минут.

Пусть за час Петя проехал километров. Понятно, что не превосходит расстояния между Мытищами и Москвой, иначе бы Петя вернулся в Москву уже через часа после выезда.

Пусть — точка, которая находится в км от Мытищ, — точка в км от Москвы.

Пусть на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена раньше, чем точка

Пете не хватило км, чтобы доехать до Мытищ через час после выезда от Москвы, то есть расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее возможны два случая: либо еще через часа он оказался в точке не доехав до Мытищ; либо Петя доехал до Мытищ и на пути в Москву оказался в точке

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Если Петя еще не доехал до Мытищ, то за часа пути он проехал путь от Москвы до точки то есть удалился на км от Москвы. Тогда

а расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Иначе от Мытищ до точки он успел проехать километров.

Следовательно, за часа Петя проехал километров от точки до Мытищ и километров до точки от Мытищ.

С другой стороны, за каждый час он проезжает километров, поэтому за часа проехал километров. Из полученного уравнения

находим Расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть теперь на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена позже, чем точка

Тогда за часа Петя доехал от точки до Мытищ и обратно от Мытищ до точки Расстояние от Мытищ до равно километров. В итоге, снова получаем уравнение

Откуда но это противоречит тому, что точка правее точки по пути от Москвы. Такое расположение невозможно.

Пусть длина пути равна условной единице, а скорость бега, полета и плавания утенка равна Тогда скорость бега гусенка по условию равна а скорость его плавания — Пусть скорость полета гусенка равна

По условию утенок и гусенок потратили одинаковое время на весь путь. Кроме того, участок каждого вида движения имеет длину Поэтому время, которое потратил утенок равно

Время, которое потратил гусенок, равно

Таким образом, получаем уравнение на затраченное время

Умножим обе части на получим

Таким образом, Значит, гусенок летел в раза быстрее утенка.

Решим задачу в общем виде. В условии заданы: м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на метров дальше.

Пусть и - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в ), и - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре - дальность полета модели Альфа, дальность полета модели Бета. По условию:

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

Таким образом, , если , если , если . При и получаем . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч ( > 0). Тогда скорость первого автомобиля составляет ( ) км/ч. часов был в пути второй автомобиль, часов — первый.

По условию задачи первый автомобиль приезжает в пункт назначения на час раньше второго, поэтому можем записать:

По теореме Виета:

не может являться решением задачи. Поэтому км/ч — скорость второго автомобиля. А скорость первого автомобиля на км/ч больше.

Пусть расстояние между городами А и Б равно скорость течения реки равно собственная скорость лодки равна Тогда составим уравнение:

Так как они встретились на расстоянии метров от города А, то это значит, что время, за которое они добрались до этой точки, будет одинаковое.

Из условия получим второе уравнение:

После преобразований получаем два уравнения:

Так как скорость лодки не может быть нулем, то этот корень мы исключаем. Выразим

Тогда расстояние будет равно метров.

Можно рассмотреть четыре случая (они соответствуют тому, что кто-то один из двоих стартовал первым, и кто-то один из двоих сделал остановку).

Но можно заметить, что если остановку делал велосипедист, то не важно, выехал он раньше или позже мотоциклиста, в движении он находился меньше времени, чем мотоциклист, и поэтому в В приедет позже. Значит, остановку делал мотоциклист. Тогда, обозначая через время движения велосипедиста и через его скорость, получаем два случая:
а) Если велосипедист выехал раньше, то откуда Поэтому время финиша равно
б) Если мотоциклист выехал раньше, то откуда Тогда время финиша равно

Пока Алина бежала половину пути, Ралина и Галина пробежали метров в сумме. Тогда в момент, когда Алина закончит забег, Ралина и Галина пробегут метров. Тогда им останется пробежать метров.

Пусть - скорости спортсмена на этапах соответственно. Из условия следует: часа. км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел выполнено неравенство , получим:

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

то есть

До встречи пешеход прошёл расстояние, в раз меньшее, чем проехал велосипедист, то есть всего пути. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошёл еще столько же, то есть ему осталось еще пути. На это он потратил минут. Следовательно, на все расстояние ему потребовалось в полтора раза больше времени, то есть минут.

Пусть Лёша идёт пешком со скоростью тогда Саша едет на скейте со скоростью Лёша едет на скейте со скоростью а Саша идёт пешком со скоростью Раз они прибыли одновременно, при этом меняли способы передвижения тоже одновременно, тогда можем обозначить за — сколько времени Лёша шёл, а Саша ехал, и за — сколько времени Саша шёл, а Лёша ехал. Можем составить уравнение

А раз от дома до скейт-парка метров, то

В итоге Саша проехал 1100 метров на скейте.

Чтобы проехать мост, поезд должен пройти расстояние, равное суммарной длине моста и поезда. Проезжая мимо столба, поезд проезжает только расстояние, равное длине самого поезда. По условию, он делает это за полминуты. Поэтому из той минуты, за которую поезд проезжает мост, он полминуты проезжает собственную длину, и за оставшиеся полминуты проезжает длину моста, то есть метров. Значит, за минуту поезд проезжает метров. Таким образом, скорость поезда равна метров в минуту, или км/час, а длина поезда равна метров.

Обозначим время, которое барон шел со скоростью 5 км/ч, через часов. Тогда за это время он прошел километров, что по условию равно половине пути.

Время, которое барон шел со скоростью 6 км/ч, никак не пересекается со временем, которое он шел со скоростью 5 км/ч. А так как по условию со скоростью 6 км/ч барон шел половину времени, то со скоростью 6 км/ч барон шел не менее часов. Тогда за это время он прошел не менее километров, и, так как эти километры не пересекаются с теми, что он прошел со скоростью 5 км/ч, всего барон прошел хотя бы километров. Но тогда километров не могут составлять половину пути, они меньше. Мы пришли к противоречию, значит, слова барона не могут быть правдой.

Пусть скорость первого таракана равна м/мин. Тогда до того, как второй таракан его догнал, он двигался минуты, то есть пробежал метров. Это же расстояние второй таракан пробежал за минуту, значит, скорость второго таракана равна Рассуждая так дальше, получаем, что скорость третьего таракана равна четвертого — пятого Значит, скорость сближения пятого и первого тараканов равна Первый таракан до того, как выбежал пятый, бежал минуты, значит, он пробежал метров. Поэтому чтобы догнать первого таракана, пятый таракан должен бежать минут, или секунд.

Так как туристы встретили автобус раньше, то автобусу не пришлось ехать от места встречи до вокзала и обратно, и именно за счет этого он сэкономил минут. Поэтому на путь от места встречи до вокзала один раз автобус тратит минут. Так как скорость автобуса равна км/ч, то за эти минут автобус бы проехал километров, значит, туристы прошли как раз километров.

Осталось посчитать, за какое время они это сделали. Автобус не доехал до вокзала 15 минут, значит, вместо того, чтобы встретиться ровно в 5 часов, автобус и туристы встретились в 4 часа 45 минут. Поэтому туристы шли с 2 ч 15 минут до 4 ч 45 минут, то есть 2,5 часа. Так как за это время они прошли 15 километров, то их скорость равна км/ч.

Обозначим скорость первого таракана через . Второй таракан догнал его через 2 минуты после своего старта, или через 3 минуты после старта первого таракана. За это время первый таракан пробежал метров, и это же расстояние второй пробежал за 2 минуты. Тогда есть скорость равна . Применим те же рассуждения для второго и третьего таракана: второй таракан до встречи с третьим бежит 4 минуты, а третий то же расстояние преодолевает за 3 минуты. Получаем, что скорость третьего равна .

Если проделать те же рассуждения ещё несколько раз, получаем, что скорость четвёртого таракана равна , а пятого — . Появляется гипотеза, что следующий таракан бежит со скоростью на быстрее, чем предыдущий. Давайте докажем эту гипотезу в общем виде.

Пусть мы уже доказали, что -й таракан бежит со скоростью . Докажем, что -й таракан бежит со скоростью . По условию, -й таракан догнал -го спустя минут после старта. При этом -й таракан бежал на минуту дольше -го, поэтому скорость -го в раз больше, чем у -го, то есть равна , что мы и хотели доказать.

Таким образом, 20-й таракан бежит со скоростью . Его скорость сближения с первым равна , при этом первый бежал на 19 минут больше, чем 20-й. За это время он пробежал расстояние в метров, поэтому 20-й таракан догонит первого через минуты.

Пусть — расстояние между местом назначения и расположением велосипедиста, а — требуемая скорость. Тогда расстояние велосипедист с одной стороны проедет за время , а с другой — за . Приравнивая и сокращая на , получаем уравнение

откуда километров в час.