Задачи на движение: алгебраический подход

Пусть — расстояние между пунктами и , — скорость течения реки, — скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда

Полагая , запишем систему в виде

Первое из уравнений системы приводится к однородному уравнению , откуда . Подставив это выражение во второе уравнение системы, получаем , откуда .

Первый велосипедист проезжает полный круг за время

а второй — за время

Поэтому второй велосипедист догонит первого, если проедет на круг больше, чем первый, причём это произойдет на стадионе, поскольку там скорость второго больше, чем у первого.

Пусть — время от начала движения до момента, когда второй совершит обгон первого; — число целых кругов, пройденных до обгона вторым велосипедистом; — часть пути по стадиону, пройденная велосипедистами после кругов, пройденных вторым.

Так как на полный круг первый затрачивает на больше, чем второй, то второй, отрываясь от первого, догонит первого, когда выигрыша во времени будет достаточно, чтобы второй проехал круг. Поэтому второму достаточно проехать 5 полных кругов , чтобы затем на стадионе обогнать первого. Из условия равенства времени движения каждого его участника с учётом пройденного пути получаем систему уравнений

откуда (при ) находим

Первое решение. Пусть — расстояни между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а и — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна Поэтому в первый день Боря догнал Аню за мин. Во второй же день Аня успела отойти на м, так что мин. Отсюда имеем откуда и Поэтому а Боре надо потратить на путь между домами минут. Значит, выбежать ему надо в

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. 1), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых. Пусть график движения Ани начинается в точке график движения Бори в первый и второй день — в точках и и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как и соответственно. По условию, абсциссы точек и равны 30 и 50 соответственно.

Пусть — точка, в которой должен начинаться график движения Бори. По теореме Фалеса, последнее отношение равно отношению разностей абсцесс соответствующих точек, то есть Значит, то есть точка соответствует моменту

Обозначим за км/ч скорость велосипедиста, а за км/ч и км/ч — скорости более медленного и более быстрого автобусов соответственно.

Очевидно, что велосипедист сначала встретит более быстрый автобус. Так как это произошло спустя час после начала движения, то велосипедист за это время проедет км, а автобус — км, что в сумме будет равно расстоянию между городами А и Б.

Со вторым автобусом велосипедист встретится еще через минут, то есть, через часа после начала движения. За это время они преодолеют и км соответственно, что тоже вместе будет составлять км.

Таким образом можно получить следующую систему:

Откуда получаем, что скорость велосипедиста составляет км/ч.

Введем переменную, пусть собственная скорость катера равна значит, по озеру катер шел со скоростью А по течению реки катер шел со скоростью Выразим время движения катера по течению реки:

Выразим время движения катера по озеру:

Так как на все он потратил 1 час, составляем уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:

Решим квадратное уравнение:

Найдем корни:

Корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Таким образом, собственная скорость катера равна Тогда скорость по течению будет равна

Пусть расстояние до моста от стартовых позиций равно Петя добрался до моста за час. Вася ехал в три раза медленнее, поэтому за час он проехал путь В этот момент расстояние между Петей и Васей стало а далее они движутся с одинаковыми скоростями. Поэтому до встречи каждый из них проедет расстояние Это столько же, сколько проехал Вася за первый час. Значит, им потребуется ещё один час.

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку , т. е. путем .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( или ) добраться до точки , сделать несколько кругов («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( или ) в точку .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг , , .

Действительно, выехав из точки и сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , после чего, сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , а после заданного нечетного числа проходов — снова в точке .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа , , , что

Для возможны варианта: Первый случай отбрасываем, так как для него получаем

Во втором случае имеем . Если , то При число не делится на .

Наконец, при имеем . Для получим , откуда а пройденный путь равен Здесь — длина дуги , которую находим геометрически:

где — радиусы.

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

Петя бежит по большой дорожке из точки , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку за минут бега, описываются сериями: (считаем в минутах, и — целые). Моменты встречи друзей в точке определяют начало промежутка времени в минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок за минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: . Видим, что если чётно, то не найдётся такого , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, и серия, описывающая встречи в точке имеет вид: . За 3 часа встречи происходили при Значит, они пробегают вместе минут.

Пусть за час Петя проехал километров. Понятно, что не превосходит расстояния между Мытищами и Москвой, иначе бы Петя вернулся в Москву уже через часа после выезда.

Пусть — точка, которая находится в км от Мытищ, — точка в км от Москвы.

Пусть на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена раньше, чем точка

Пете не хватило км, чтобы доехать до Мытищ через час после выезда от Москвы, то есть расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее возможны два случая: либо еще через часа он оказался в точке не доехав до Мытищ; либо Петя доехал до Мытищ и на пути в Москву оказался в точке

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Если Петя еще не доехал до Мытищ, то за часа пути он проехал путь от Москвы до точки то есть удалился на км от Москвы. Тогда

а расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Иначе от Мытищ до точки он успел проехать километров.

Следовательно, за часа Петя проехал километров от точки до Мытищ и километров до точки от Мытищ.

С другой стороны, за каждый час он проезжает километров, поэтому за часа проехал километров. Из полученного уравнения

находим Расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть теперь на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена позже, чем точка

Тогда за часа Петя доехал от точки до Мытищ и обратно от Мытищ до точки Расстояние от Мытищ до равно километров. В итоге, снова получаем уравнение

Откуда но это противоречит тому, что точка правее точки по пути от Москвы. Такое расположение невозможно.

Пусть длина пути равна условной единице, а скорость бега, полета и плавания утенка равна Тогда скорость бега гусенка по условию равна а скорость его плавания — Пусть скорость полета гусенка равна

По условию утенок и гусенок потратили одинаковое время на весь путь. Кроме того, участок каждого вида движения имеет длину Поэтому время, которое потратил утенок равно

Время, которое потратил гусенок, равно

Таким образом, получаем уравнение на затраченное время

Умножим обе части на получим

Таким образом, Значит, гусенок летел в раза быстрее утенка.

Решим задачу в общем виде. В условии заданы: м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на метров дальше.

Пусть и - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в ), и - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре - дальность полета модели Альфа, дальность полета модели Бета. По условию:

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

Таким образом, , если , если , если . При и получаем . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч ( > 0). Тогда скорость первого автомобиля составляет ( ) км/ч. часов был в пути второй автомобиль, часов — первый.

По условию задачи первый автомобиль приезжает в пункт назначения на час раньше второго, поэтому можем записать:

По теореме Виета:

не может являться решением задачи. Поэтому км/ч — скорость второго автомобиля. А скорость первого автомобиля на км/ч больше.

Пусть расстояние между городами А и Б равно скорость течения реки равно собственная скорость лодки равна Тогда составим уравнение:

Так как они встретились на расстоянии метров от города А, то это значит, что время, за которое они добрались до этой точки, будет одинаковое.

Из условия получим второе уравнение:

После преобразований получаем два уравнения:

Так как скорость лодки не может быть нулем, то этот корень мы исключаем. Выразим

Тогда расстояние будет равно метров.

Первое решение. Назовём быстрого и медленного таракана и соответственно. Если таракан бежит в том же направлении, что и в момент старта, то будем говорить, что он бежит вперёд, в противном случае будем говорить, что он бежит назад.

До первой встречи оба таракана бегут вперёд, между первой и второй встречами бежит вперёд, а — назад. Между второй и третьей встречами оба таракана бегут назад, а между третьей и четвёртой встречами бежит назад, а — вперёд. Наконец, на четвёртой встрече разворачивается, и они оба снова начинают бег вперёд.

Будем следить за перемещением Если между двумя встречами тараканы бегут в противоположные стороны, между такими встречами всегда проходит одно и то же время, а значит, всегда пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, между первой и второй встречами, а также между третьей и четвертой встречами пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Аналогично, когда между двумя встречами тараканы бегут в одном направлении, это тоже всегда занимает одинаковое время, и пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, до первой встречи, а также между второй и третьей встречами также пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Стало быть, в момент четвертой встречи (а значит, и ) будет в точке старта.

Далее эта ситуация будет повторяться каждые встречи. Следовательно, в точке старта тараканы будут и в момент сотой встречи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Обозначим тараканов так же, как и выше; пусть их скорости равны м/с. Для определенности будем считать, что изначально тараканы бегут по часовой стрелке, и расстояние будем отмерять именно в этом направлении.

Когда тараканы бегут в одну сторону, скорость удаления от равна , поэтому до первой встречи они будут бежать секунд, и до встречи пробежит метров. Дальше тараканы будут двигаться навстречу друг другу со скоростью сближения поэтому до второй встречи они будут бежать секунд, и до этой встречи сместится от точки старта на

Дальше оба таракана будут бежать против часовой стрелки в течение секунд, поэтому общее смещение от точки старта будет равно

т.е. в итоге он сместится на расстояние против часовой стрелки. Наконец, после этого развернётся, и они будут бежать в противоположных направлениях секунд. Следовательно, их четвёртая встреча произойдёт на расстоянии

от точки старта.

Таким образом, в четвёртый раз они обязательно встречаются в точке старта и после встречи снова побегут по часовой стрелке. Но тогда их сотая встреча также произойдет в точке старта.

Можно рассмотреть четыре случая (они соответствуют тому, что кто-то один из двоих стартовал первым, и кто-то один из двоих сделал остановку).

Но можно заметить, что если остановку делал велосипедист, то не важно, выехал он раньше или позже мотоциклиста, в движении он находился меньше времени, чем мотоциклист, и поэтому в В приедет позже. Значит, остановку делал мотоциклист. Тогда, обозначая через время движения велосипедиста и через его скорость, получаем два случая:
а) Если велосипедист выехал раньше, то откуда Поэтому время финиша равно
б) Если мотоциклист выехал раньше, то откуда Тогда время финиша равно

Пока Алина бежала половину пути, Ралина и Галина пробежали метров в сумме. Тогда в момент, когда Алина закончит забег, Ралина и Галина пробегут метров. Тогда им останется пробежать метров.

Пусть - скорости спортсмена на этапах соответственно. Из условия следует: часа. км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел выполнено неравенство , получим:

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

то есть

До встречи пешеход прошёл расстояние, в раз меньшее, чем проехал велосипедист, то есть всего пути. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошёл еще столько же, то есть ему осталось еще пути. На это он потратил минут. Следовательно, на все расстояние ему потребовалось в полтора раза больше времени, то есть минут.

Пусть Лёша идёт пешком со скоростью тогда Саша едет на скейте со скоростью Лёша едет на скейте со скоростью а Саша идёт пешком со скоростью Раз они прибыли одновременно, при этом меняли способы передвижения тоже одновременно, тогда можем обозначить за — сколько времени Лёша шёл, а Саша ехал, и за — сколько времени Саша шёл, а Лёша ехал. Можем составить уравнение

А раз от дома до скейт-парка метров, то

В итоге Саша проехал 1100 метров на скейте.

Первое решение. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, то есть тоже поровну.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Нарисуем графики движения мальчиков по дорожке: на горизонтальной оси отмечаем время на вертикальной — положение мальчика, считая от начала дорожки.

Пусть — точки, соответствующие старту Пети, моменту, когда он перешёл с асфальтового участка на песчаный, и его финишу; пусть — аналогичные точки для Васи. Тогда графики движения мальчиков — это ломанные и при этом отрезки и горизонтальны (см. рисунок). По условию, середины отрезков и совпадают, откуда — параллелограмм. Аналогично, — параллелограмм. Значит, отрезки и параллельны и равны. Поэтому между моментами финиша Пети и Васи прошло столько же времени, сколько и между моментами их старта; отсюда и следует ответ.