Первое решение. Назовём быстрого и медленного таракана $B$ и $M$ соответственно. Если таракан бежит в том же направлении, что и в момент старта, то будем говорить, что он бежит вперёд, в противном случае будем говорить, что он бежит назад.

До первой встречи оба таракана бегут вперёд, между первой и второй встречами $B$ бежит вперёд, а $M$ — назад. Между второй и третьей встречами оба таракана бегут назад, а между третьей и четвёртой встречами $B$ бежит назад, а $M$ — вперёд. Наконец, на четвёртой встрече $B$ разворачивается, и они оба снова начинают бег вперёд.

Будем следить за перемещением $M.$ Если между двумя встречами тараканы бегут в противоположные стороны, между такими встречами всегда проходит одно и то же время, а значит, $M$ всегда пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, между первой и второй встречами, а также между третьей и четвертой встречами $M$ пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Аналогично, когда между двумя встречами тараканы бегут в одном направлении, это тоже всегда занимает одинаковое время, и $M$ пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, до первой встречи, а также между второй и третьей встречами $M$ также пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Стало быть, в момент четвертой встречи $M$ (а значит, и $B$ ) будет в точке старта.

Далее эта ситуация будет повторяться каждые $4$ встречи. Следовательно, в точке старта тараканы будут и в момент сотой встречи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Обозначим тараканов так же, как и выше; пусть их скорости равны $b> m$ м/с. Для определенности будем считать, что изначально тараканы бегут по часовой стрелке, и расстояние будем отмерять именно в этом направлении.

Когда тараканы бегут в одну сторону, скорость удаления $B$ от $M$ равна $b− m$ , поэтому до первой встречи они будут бежать $b−1m-$ секунд, и $M$ до встречи пробежит $bm−m$ метров. Дальше тараканы будут двигаться навстречу друг другу со скоростью сближения $b+ m,$ поэтому до второй встречи они будут бежать $b+1m$ секунд, и до этой встречи $M$ сместится от точки старта на

-m---−--m--= --2m2-- метров. b− m b +m b2− m2

Дальше оба таракана будут бежать против часовой стрелки в течение $-1- b−m$ секунд, поэтому общее смещение $M$ от точки старта будет равно

--2m2- --m-- --m-- b2− m2 −b − m = −b +m

т.е. в итоге он сместится на расстояние $m b+m$ против часовой стрелки. Наконец, после этого $M$ развернётся, и они будут бежать в противоположных направлениях $1 b+m$ секунд. Следовательно, их четвёртая встреча произойдёт на расстоянии

--m-- -m--- −b+ m + b+ m =0

от точки старта.

Таким образом, в четвёртый раз они обязательно встречаются в точке старта и после встречи снова побегут по часовой стрелке. Но тогда их сотая встреча также произойдет в точке старта.

Задачи на движение: алгебраический подход