Тема Алгебраические текстовые задачи

Задачи на движение: алгебраический подход

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103888

Пристань $A$ находится выше по течению реки, чем пристань $B.$ Из $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Достигнув пристани $A,$ моторная лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл $2∕3$ расстояния между $A$ и $B.$

Найти время, которое затрачивает плот на путь из $A$ в $B,$ если моторная лодка проплывает из $B$ в $A$ и обратно за $3$ ч.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим расстояние между пунктами как s, скорость реки за v, скорость лодки за w. Попробуем записать условие того, что время, которое плот потратил на 2/3 пути, равно времени, за которое лодка проплывет против течения, развернется и догонит лодку.

Подсказка 2

Это только первая часть условия, теперь нужно записать условие на то, как за 3 часа лодка проплывает туда и обратно.

Подсказка 3

Система может пугать, но можно заметить, что в ней нередко присутствует v/s и w/s. Поэтому имеет смысл сделать замену!

Подсказка 4

После замены x = v/s, y = w/s из первого уравнения можно прийти к квадратному относительно y, тогда можно выразить y через x ;)

Показать ответ и решение

Пусть $s$ — расстояние между пунктами $A$ и $B$ , $v$ — скорость течения реки, $w$ — скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда

{ 2s -s- --2s- 3vs = w−vs-+3(w+v) w−v + w+v = 3

Полагая $x = v,y = w- s s$ , запишем систему в виде

{ -2= -1- +--2-- 3x1- y−x1- 3(x+y) y−x + y+x =3

Первое из уравнений системы приводится к однородному уравнению $2y2− 5xy− 3x2 = 0$ , откуда $y =3x$ . Подставив это выражение во второе уравнение системы, получаем $x = 1 4$ , откуда $1 = 4 x$ .

Ответ: 4 часа

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103891

Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины $s,1 5$ часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по городским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна $v,$ а на городских улицах равна $16- 3 v.$ Скорость второго велосипедиста на стадионе равна $4v,$ а на городских улицах $16 5 v.$ Велосипедисты одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого один из них впервые совершит обгон другого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для каждого велосипедиста посчитаем время, за которое они проезжают полный круг!

Подсказка 2

Обе полученные величины выражаются через s/v, так что можно сделать замену! Теперь нам нужно проанализировать, кто кого догонит и при каких условиях?

Подсказка 3

Первый проезжает круг за 7a/20, а второй — за 6a/20, где a = s/v. Тогда второй обгонит первого, значит, нам надо посчитать, сколько же кругов должно произойти до обгона. Но для этого надо подумать, где же произойдет обгон.

Подсказка 4

Обгон произойдет на стадионе, поэтому необходимо обозначить за x часть пути, которую второй проедет по стадиону до обгона на своем последнем кругу до этого. Времени, которое выигрывает второй за счёт прохождения круга, должно хватить, чтобы пройти целый круг. Сколько тогда кругов пройдет второй до первого обгона?

Подсказка 5

Второй до первого обгона проедет 5 полных кругов! Осталось записать условие на то, что до обгона велосипедисты потратили одинаковое число времени, чтобы проехать свои дистанции.

Показать ответ и решение

Первый велосипедист проезжает полный круг за время

s 4s- 7 s t1 = 5v + 156v= 20a, где a = v, 3

а второй — за время

-s5 -45s -6 t2 = 4v + 165v= 20a.

Поэтому второй велосипедист догонит первого, если проедет на круг больше, чем первый, причём это произойдет на стадионе, поскольку там скорость второго больше, чем у первого.

Пусть $t$ — время от начала движения до момента, когда второй совершит обгон первого; $l$ — число целых кругов, пройденных до обгона вторым велосипедистом; $x$ — часть пути по стадиону, пройденная велосипедистами после $l$ кругов, пройденных вторым.

Так как на полный круг первый затрачивает на $τ = t2 − t1 = 120a$ больше, чем второй, то второй, отрываясь от первого, догонит первого, когда выигрыша во времени будет достаточно, чтобы второй проехал круг. Поэтому второму достаточно проехать 5 полных кругов $(l=5)$ , чтобы затем на стадионе обогнать первого. Из условия равенства времени $t$ движения каждого его участника с учётом пройденного пути получаем систему уравнений

{ t= (l− 1)2 70a+ xa5 t= l2 60a+ x 120a

откуда (при $l= 5$ ) находим

4⋅ 7-+ x =5 ⋅ 6-+ 1-x, x= 2, t= 23a 20 5 20 20 3 15

Ответ:

$-23s 15v$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125035

На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в $8:00$ и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в $8 :00$ и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в $8:10$ и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить Аню на выходе из её дома? (Скорость Ани всегда постоянна, скорость Бори тоже постоянна.)

Источники: Всеросс, 2025, РЭ, 9.1 (см olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Это обычная задача на движение. Давайте обозначим через S расстояние между домами, а через x и y - скорости Ани и Бори. Интерпретируйте информацию из условия с помощью этих переменных.

Подсказка 2:

Чтобы понять, во сколько Боре нужно выйти, нужно найти величину S/y. Именно столько времени ему идти до дома Ани.

Подсказка 3:

Скорее всего вы получили два равенства S = 30(y − x) = 40(y − x) − 10x. Попробуйте с их помощью выразить две переменные через третью.

Показать ответ и решение

Первое решение. Пусть $S$ — расстояни между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а $x$ и $y$ — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна $y− x.$ Поэтому в первый день Боря догнал Аню за $-S- y−x = 30$ мин. Во второй же день Аня успела отойти на $10x$ м, так что $S+10x y−x = 40$ мин. Отсюда имеем $S =30(y− x) =40(y− x)− 10x,$ откуда $10y = 20x$ и $y =2x.$ Поэтому $-S- S 30= y−x = x,$ а Боре надо потратить на путь между домами $S S- y = 2x = 15$ минут. Значит, выбежать ему надо в $7:45.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. 1), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента $8 :00$ ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых. Пусть график движения Ани начинается в точке $A,$ график движения Бори в первый и второй день — в точках $B1$ и $B2,$ и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как $M1$ и $M2$ соответственно. По условию, абсциссы точек $M1$ и $M2$ равны 30 и 50 соответственно.

Пусть $B0$ — точка, в которой должен начинаться график движения Бори. По теореме Фалеса, $BB01BB12 = MA1MM12-;$ последнее отношение равно отношению разностей абсцесс соответствующих точек, то есть $3200 = 32.$ Значит, $B0B1 =15,$ то есть точка $B0$ соответствует моменту $7 :45.$

$PIC$

Ответ:

$7 :45.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82781

Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (две окружности касаются друг друга попарно в точке $B$ внешним образом и третьей в точках $A$ и $C$ внутренним, причём $AC$ — диаметр третьей окружности). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $∘ 180$ . По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из двух $AB$ длиной $15$ км он проезжает за $7$ минут, любую из дуг $BC$ длиной $25$ км — за $11$ минут, а любую из дуг $AC$ — за $17$ минут. Выехав из точки $A$ , автомобиль через $1$ час $25$ минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?

$PIC$

Источники: Ломоносов - 2024, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала представим, как автомобиль будет ехать. Подумаем о четности. Сколько раз автомобиль может проехать по дугам AB, BC и AC?

Подсказка 2

Пусть автомобиль проехал по дуге AB i раз, по BC - j, по AC - k. Чтобы автомобиль приехал в ту же точку, с которой начал, нужно, чтобы i, j, k были все четные или все нечетные. Но что можно сказать про "четный" случай?

Подсказка 3

Этот случай не подходит, так как всего автомобиль проехал нечетное число минут. Осталось только решить уравнение в целых i, j, k.

Показать ответ и решение

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке $A$ автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку $C$ , т. е. путем $ABA$ .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( $AC$ или $ABC$ ) добраться до точки $C$ , сделать несколько кругов $CBC$ («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( $CA$ или $CBA$ ) в точку $A$ .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку $A$ .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг $AB$ , $BC$ , $AC$ .

Действительно, выехав из точки $A$ и сделав заданное нечетное число проходов $AB$ , мы окажемся в точке $B$ , после чего, сделав заданное нечетное число проходов $BC$ , мы окажемся в точке $C$ , а после заданного нечетного числа проходов $AC$ — снова в точке $A$ .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа $i$ , $j$ , $k$ , что

7i+11j+17k= 60+ 25= 85

Для $k$ возможны $3$ варианта: $5,3,1.$ Первый случай отбрасываем, так как для него получаем $i= j =0.$

Во втором случае имеем $7i+ 11j = 34$ . Если $j ≥ 3$ , то $i< 1.$ При $j = 1$ число $34− 11⋅1 =23$ не делится на $7$ .

Наконец, при $k= 1$ имеем $7i+ 11j =68$ . Для $j =5,3,1$ получим $7i=13,35,57$ , откуда $j = 3,$ $i= 35:7= 5,$ а пройденный путь равен $15⋅5+ 25⋅3+ 40⋅1= 190(км).$ Здесь $40= 15+ 25$ — длина дуги $AC$ , которую находим геометрически:

AC = πR= π(r1+ r2)=πr1+ πr2 = AB+ BC,

где $R,r1,r2$ — радиусы.

Ответ: 190

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83296

На стадионе имеются две беговые дорожки. Каждая из них является границей квадрата со сторонами $200$ м и $300$ м соответственно. Квадраты имеют общую вершину А и две стороны меньшего квадрата лежат на сторонах большего квадрата. Два друга Петя и Коля решили пробежаться, но выбрали для этого разные дорожки. Стартовали одновременно из точки А и бежали $3$ часа в одном направлении с одинаковой скоростью $100$ м/мин. Сколько минут за время тренировки ребята бежали рядом с друг другом?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём общую вершину А, а вершины малого квадрата, лежащие на сторонах большого - B и C. Пусть движение происходит от В к С. Тогда моменты встречи в В определяют начало промежутка в 4 минуты, когда ребята бегут вместе. Как бы найти эти моменты времени для каждого мальчика...

Подсказка 2

Верно, нужно рассчитать, сколько времени потребуется каждому, чтобы добраться до точки В, а затем найти, за сколько минут они пробегут целый круг и вернутся в В. Если мы умножим время, за которое каждый из мальчиков пробегает квадрат на какое-то целое число, и добавим соответствующее время добегания до точки В, то сможем найти все моменты времени, в которые ребята оказывались в этой точке.

Подсказка 3

Получаем 1+3t=2k. Обратите внимание на чётность)

Подсказка 4

Верно, t может быть только нечётным. Иначе говоря, t=2m-1 при нечётном m. Надо только подставить m в начальное уравнение времени касательно t и найти, при скольких m оно меньше 1000. Это и будет количество 4-минутных встреч. И не забудьте прибавить 2 минуты, что ребята вместе пробежали в самом начале!

Показать ответ и решение

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

$PIC$

Петя бежит по большой дорожке из точки $A$ , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку $B$ за $100$ минут бега, описываются сериями: $10+12t,6+ 8k$ (считаем в минутах, $t$ и $k$ — целые). Моменты встречи друзей в точке $B$ определяют начало промежутка времени в $4$ минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок $AC$ за $2$ минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: $10 +12t= 6+8k,1+3t= 2k$ . Видим, что если $t$ чётно, то не найдётся такого $k$ , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, $t= 2m − 1$ и серия, описывающая встречи в точке $B,$ имеет вид: $24m − 2$ . За 3 часа встречи происходили при $24m − 2 ≤180 =⇒ m≤ 7$ Значит, они пробегают вместе $2+7⋅4 =30$ минут.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#83954

Петя на мотороллере выезжает из Москвы в Мытищи, но приехав и поняв, что ему делать там нечего, тут же возвращается обратно, двигаясь всё время с постоянной скоростью. Через час после выезда Петя был на расстоянии $80$ км от Мытищ, а ещё через $3$ часа — в $80$ км от Москвы. Чему может равняться расстояние от Москвы до Мытищ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте скорость за переменную и выразите расстояние от Москвы до Мытищ.

Подсказка 2

Точки в 80 км от Мытищ и 80 км от Москвы для удобства обозначьте первую — точкой A, а вторую — точкой В. Как могут располагаться А и В на дороге от Москвы до Мытищ ? Рассмотрите два варианта.

Подсказка 3

Пусть на дороге от Москвы до Мытищ точка A расположена раньше, чем точка B. Тогда подумайте, как Петя мог попасть в точку В? Всего два случая: посетив Мытищи или так и не доехав до них.

Подсказка 4

Пусть теперь на дороге от Москвы до Мытищ точка A расположена позже, чем точка B. Посчитайте v и обратите внимание на расстояние между Москвой и точкой В и между Москвой и точкой А, может ли такое быть?

Показать ответ и решение

Пусть за час Петя проехал $x$ километров. Понятно, что $x$ не превосходит расстояния между Мытищами и Москвой, иначе бы Петя вернулся в Москву уже через $2$ часа после выезда.

Пусть $A$ — точка, которая находится в $80$ км от Мытищ, $B$ — точка в $80$ км от Москвы.

Пусть на дороге от Москвы до Мытищ точка $A$ расположена раньше, чем точка $B.$

$PIC$

Пете не хватило $80$ км, чтобы доехать до Мытищ через час после выезда от Москвы, то есть расстояние от Москвы до Мытищ равно $x +80$ километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее возможны два случая: либо еще через $3$ часа он оказался в точке $B,$ не доехав до Мытищ; либо Петя доехал до Мытищ и на пути в Москву оказался в точке $B.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Если Петя еще не доехал до Мытищ, то за $4$ часа пути он проехал путь от Москвы до точки $B,$ то есть удалился на $80$ км от Москвы. Тогда

x= 80= 20, 4

а расстояние от Москвы до Мытищ равно $x +80= 100$ километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Иначе от Мытищ до точки $B$ он успел проехать $(80+x)− 80= x$ километров.

Следовательно, за $3$ часа Петя проехал $80$ километров от точки $A$ до Мытищ и $x$ километров до точки $B$ от Мытищ.

С другой стороны, за каждый час он проезжает $x$ километров, поэтому за $3$ часа проехал $3x$ километров. Из полученного уравнения

x +80= 3x

находим $x =40.$ Расстояние от Москвы до Мытищ равно $x+ 80 =120$ километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть теперь на дороге от Москвы до Мытищ точка $A$ расположена позже, чем точка $B.$

$PIC$

Тогда за $3$ часа Петя доехал от точки $A$ до Мытищ и обратно от Мытищ до точки $B.$ Расстояние от Мытищ до $B$ равно $(80+x)− 80= x$ километров. В итоге, снова получаем уравнение

3x= 80+ x

Откуда $x= 40,$ но это противоречит тому, что точка $A$ правее точки $B$ по пути от Москвы. Такое расположение невозможно.

Ответ:

$100$ или $120$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#83956

Утёнок с гусёнком соревновались в триатлоне. Дистанция состояла из одинаковых по длине участков бега, плавания и полёта. Утёнок бежал, плыл и летел с одинаковой скоростью. Гусёнок бежал вдвое медленнее утёнка, зато плыл вдвое быстрее. Кто и во сколько раз быстрее летал, если и стартовали, и финишировали они одновременно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какими переменными определяется задача? Во-первых, есть скорость v Утенка, которая везде одинаковая, и все скорости, кроме той, которую надо найти, выражаются через эту переменную. Во-вторых, есть общее расстояние S. Но поскольку работаем мы со скоростями и временем, никаких расстояний в условии нет, все выражения будут пропорциональны S. И, наконец, переменная, означающая скорость x, с которой Гусенок летел — то, что нам надо отыскать, либо можно ввести х как отношение этой скорости к v.

Подсказка 2

Основное условие, которое позволяет составить уравнение — они оба прошли дистанцию за одно и то же время. Запишем это через расстояния и скорости, не забывая, что три отрезка пути одинаковы по длине, и из этого уравнения найдем, как скорость полёта Гусенка связана с v.

Показать ответ и решение

Пусть длина пути равна $1$ условной единице, а скорость бега, полета и плавания утенка равна $v.$ Тогда скорость бега гусенка по условию равна $v 2,$ а скорость его плавания — $2v.$ Пусть скорость полета гусенка равна $x.$

По условию утенок и гусенок потратили одинаковое время на весь путь. Кроме того, участок каждого вида движения имеет длину $1. 3$ Поэтому время, которое потратил утенок равно

1-+ 1-+ 1-= 1 3v 3v 3v v

Время, которое потратил гусенок, равно

-1+ -1-+ -1--= 1-+ -2+ -1 3x 3v2 3⋅2v 3x 3v 6v

Таким образом, получаем уравнение на затраченное время

1v = 31x +32v + 16v

Умножим обе части на $6xv,$ получим

6x =2v+ 4x+ x

Таким образом, $x= 2v.$ Значит, гусенок летел в $2$ раза быстрее утенка.

Ответ:

гусёнок в два раза быстрее

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85548

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/с модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость каждой из моделей считать постоянной. Время нахождения модели в воздухе определяется только ее техническими параметрами и не зависит от погодных условий.

Источники: ПВГ - 2024, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вопрос задачи «Какая из моделей пролетит большее расстояние...». То есть не обязательно находить каждое расстояние по отдельности. Можно просто выразить их разность!

Подсказка 2

Введите переменные и составьте уравнения по условию задачи. Внимательно посмотрите на уравнение, связанное с расстояниями: может, именно там и скрывается искомая разность, нужно лишь применить в нём имеющиеся знания про разность времени полётов.

Показать ответ и решение

Решим задачу в общем виде. В условии заданы: $u$ м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на $t$ секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на $l$ метров дальше.

Пусть $v1$ и $v2$ - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в $M ∕c$ ), $t1$ и $t2$ - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре $(v1− u)t1$ - дальность полета модели Альфа, $(v2− u)t2−$ дальность полета модели Бета. По условию:

t= t2− t1, l=(v1− u)t1− (v2− u)t2 =v1t1 − v2t2 +ut.

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

x= v1t1− v2t2 = l− ut.

Таким образом, $x> 0$ , если $l>ut;x< 0$ , если $l< ut;x =0$ , если $l= ut$ . При $u= 3,t=150$ и $l= 500$ получаем $x =500− 450 =50> 0$ . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Ответ: модель Альфа, на 50 м

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#96414

Два автомобиля одновременно отправляются в поездку на $560$ км. Первый едет со скоростью на $10$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к пункту назначения на $1$ час раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорость второго автомобиля за x км/час. Какова тогда скорость первого автомобиля? Что можно сказать о времени, в течение которого они двигались?

Подсказка 2

560/x часов был в пути второй автомобиль, а первый — 560/(x+10) часов. Отлично, теперь мы можем воспользоваться условием про прибытие первого!

Подсказка 3

Осталось лишь преобразовать уравнение 560/x + 560/(x+10) = 1 и решить! Для этого можно свести его к квадратному уравнению ;)

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч ( $x$ > 0). Тогда скорость первого автомобиля составляет ( $x+ 10$ ) км/ч. $560 x$ часов был в пути второй автомобиль, $-560- x+10$ часов — первый.

По условию задачи первый автомобиль приезжает в пункт назначения на $1$ час раньше второго, поэтому можем записать:

560 560 -x-− x+-10 = 1

560⋅(x+ 10)− 560⋅x = x⋅(x +10)

560x+ 5600− 560x =x2+ 10x

2 x + 10x− 5600= 0

По теореме Виета:

{ x1+ x2 = 70 − 80= −10 x1x2 = −80⋅70 =− 5600

x1 = 70, x2 = −80

$x2 =− 80$ не может являться решением задачи. Поэтому $x1 = 70$ км/ч — скорость второго автомобиля. А скорость первого автомобиля на $10$ км/ч больше.

Ответ: 80 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100432

От города А по течению реки отправились лодка и плот. Через некоторое время она доплыла до города Б, сразу же развернулась и поплыла обратно с такой же собственной скоростью. Лодка и плот встретились на расстоянии $1100$ метров от города А. Если бы скорость лодки была в два раза больше, то лодка и плот встретились бы на расстоянии $600$ метров от города А.

(a) Во сколько раз скорость лодки больше скорости реки?

(b) Какое расстояние между городами А и Б?

Показать ответ и решение

Пусть расстояние между городами А и Б равно $S,$ скорость течения реки равно $v, р$ собственная скорость лодки равна $v . л$ Тогда составим уравнение:

S S− 1100 tл = vл+-vр + vл-− vр

tп = 1100- vр

Так как они встретились на расстоянии $1100$ метров от города А, то это значит, что время, за которое они добрались до этой точки, будет одинаковое.

--S--- S-− 1100 1100 vл +vр + vл− vр = vр

Из условия получим второе уравнение:

S S− 600 600 2-⋅vл+-vр + 2⋅vл−-vр = vр

После преобразований получаем два уравнения:

{ vл(2Svр− 1100vр − 1100vл)= 0 vл(4Svр− 1200vр − 2400vл)= 0

Так как скорость лодки не может быть нулем, то этот корень мы исключаем. Выразим $S :$

( vл ||{ S =550+ 550vр || vл ( S =300+ 600vр

550+ 550 vл-= 300+ 600vл- vр vр

250= 50vл vр

vл= 5 vр

Тогда расстояние будет равно $550+ 550⋅5= 3300$ метров.

Ответ:

(a) $5$

(b) $3300$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67952

Из пункта $A$ в пункт $B$ по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13:00, а другой на час раньше, при этом в пункт $B$ они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в пункт $B,$ если скорость мотоциклиста в два раза больше скорости велосипедиста?

Источники: ПВГ-2023, 10.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интуитивно кажется, что велосипедист не может останавливаться на 2 часа: ведь он и так медленный, куда ему еще останавливаться....Попробуйте строго доказать это)

Подсказка 2

Если велосипедист останавливался на 2 часа, то уже не важно, раньше он выехал или позже: он будет ехать меньше времени, чем мотоциклист, а т.к. он еще и медленнее, то они точно не приедут в одно время) Осталось разобрать всего два случая: когда он выехал раньше, или когда мотоциклист выехал раньше.

Показать ответ и решение

Можно рассмотреть четыре случая (они соответствуют тому, что кто-то один из двоих стартовал первым, и кто-то один из двоих сделал остановку).

Но можно заметить, что если остановку делал велосипедист, то не важно, выехал он раньше или позже мотоциклиста, в движении он находился меньше времени, чем мотоциклист, и поэтому в В приедет позже. Значит, остановку делал мотоциклист. Тогда, обозначая через $t$ время движения велосипедиста и через $V$ его скорость, получаем два случая:
а) Если велосипедист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 3),$ откуда $t=6.$ Поэтому время финиша равно $12:00+ 6= 18:00.$
б) Если мотоциклист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 1),$ откуда $t= 2.$ Тогда время финиша равно $13:00+ 2= 15:00.$

Ответ:

$15:00$ или $18:00$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68513

Алина, Ралина и Галина стартовали одновременно в забеге на $100$ метров, и Алина пришла к финишу первой. Когда Алина пробежала половину дистанции, Ралина и Галина в сумме пробежали $85$ метров. Известно, что скорость каждой девочки постоянна на протяжении всей дистанции. Сколько метров в сумме оставалось пробежать до финиша Ралине и Галине, когда Алина пришла к финишу?

Источники: Лига Открытий - 2022

Показать ответ и решение

Пока Алина бежала половину пути, Ралина и Галина пробежали $85$ метров в сумме. Тогда в момент, когда Алина закончит забег, Ралина и Галина пробегут $170$ метров. Тогда им останется пробежать $200− 170= 30$ метров.

Ответ:

$30$ метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69373

Участник соревнований по триатлону на первом этапе плыл $1$ км. На втором ехал на велосипеде $25$ км, на третьем бежал $4$ км. Всю дистанцию он преодолел за $1$ час $15$ мин. Перед соревнованиями он опробовал трассу: плыл $1∕16$ часа, ехал на велосипеде и бежал по $1∕49$ часа, пройдя в сумме $5∕4$ км. На соревнованиях каждый этап он проходил с той же скоростью, что и на тренировке. Сколько времени он ехал на велосипеде и с какой скоростью?

Источники: Звезда - 2023, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорости спортсмена на разных участках за три различные переменные, а далее запишем систему уравнений, которая будет удовлетворять условию. Система выглядит как-то страшно, да и вообще переменных больше, чем уравнений. Хорошей идей здесь будет метод оценки, но подумайте, как его здесь можно применить и на что нам намекает тот факт, что в одном уравнении переменные в числителе, а в другом - в знаменателе.

Подсказка 2

Если мы сложим уравнения системы, то справа получим 5/2, а слева - три суммы, в которых переменные, то в числителе, то в знаменателе. При этом коэффициенты при переменных явно являются квадратами натуральных чисел. Такая конструкция нам намекает на применения одного классического неравенства для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными. Попробуйте догадаться, на какое именно.

Подсказка 3

Именно неравенство Коши в данном случае поможет нам оценить выражение в левой части уравнения. И если применить его для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными, то получится, что данное выражение не меньше 5/2. Но также мы знаем, что оно равно 5/2. Вспомните, при каком условии достигается равенство в неравенстве Коши.

Показать ответ и решение

Пусть $v ,v,v 1 2 3$ - скорости спортсмена на этапах $1,2,3$ соответственно. Из условия следует: $1-+ 25-+ 4-= 5 v1 v2 v3 4$ часа. $-1 1- -1 1- 5 16v1+ 16v1+ 49v2+ 49v3 = 4$ км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел $x,y$ выполнено неравенство $√ -- x+ y ≥ 2 xy$ , получим:

5 1 v1 25 v2 4 v3 2 =(v1 + 16)+ (v2 + 49)+ (v3 + 49)≥

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ( ) ≥ 2 1⋅-1 +2 25⋅ 1-+ 2 4⋅-1= 2 1+ 5+ 2 = 5 16 49 49 4 7 7 2

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

1- v1 25- v2 4- v3 v1 = 16;v2 = 49;v3 = 49

то есть $км км км- v1 = 4 ч ,v2 =35 ч ,v3 = 14 ч$

Ответ:

$2∕7$ часа со скоростью $14$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70160

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а из В в А вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, а скорость его была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько минут затратил пешеход на путь из В в А?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выделим основные моменты: скорость велосипедиста в 5 раз больше, чем пешехода (V=5P), когда кто-то двигается навстречу друг другу и встречается, то часто бывает полезно записать, что за время до встречи вместе они прошли весь путь от A до B за время t!

Подсказка 2

Верно, весь путь S = 6Pt! Идём дальше, после встречи велосипедист поехал обратно, а значит к моменту, когда он вернулся прошло ещё t минут, что тогда можно сказать про пешехода, сколько он прошёл за время 2t со старта и сколько ему осталось пройти?

Подсказка 3

Мы до сих пор не использовали то, что велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, но мы уже знаем через сколько минут вернулся велосипедист - 2t минут, а за это время наш пешеход протопал 2Pt. За сколько тогда пешеход прошёл оставшееся расстояние? Не забудьте, что нас спрашивали сколько времени он потратит на весь путь, а не на оставшийся, очень важно особое вниманию уделять тому, что именно нужно дать в ответе!

Показать ответ и решение

До встречи пешеход прошёл расстояние, в $5$ раз меньшее, чем проехал велосипедист, то есть $1 6$ всего пути. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошёл еще столько же, то есть ему осталось еще $2 3$ пути. На это он потратил $30$ минут. Следовательно, на все расстояние ему потребовалось в полтора раза больше времени, то есть $45$ минут.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#98069

Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в $3$ раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в $2$ раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет $3300$ метров?

Показать ответ и решение

Пусть Лёша идёт пешком со скоростью $x,$ тогда Саша едет на скейте со скоростью $3x,$ Лёша едет на скейте со скоростью $2x,$ а Саша идёт пешком со скоростью $1,5x.$ Раз они прибыли одновременно, при этом меняли способы передвижения тоже одновременно, тогда можем обозначить за $a$ — сколько времени Лёша шёл, а Саша ехал, и за $b$ — сколько времени Саша шёл, а Лёша ехал. Можем составить уравнение

ax+ 2bx = 3ax+ 1,5bx

bx= 4ax

А раз от дома до скейт-парка $3300$ метров, то

ax+2bx= 3300

9ax =3300

3ax =1100

В итоге Саша проехал 1100 метров на скейте.

Ответ: 1100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#34003

Поезд проходит (считая с момента, когда поезд начал въезжать на мост, до момента, когда он целиком съехал с него) мост длиной $450$ метров за минуту и полминуты идёт мимо телеграфного столба. Найдите длину и скорость поезда.

Показать ответ и решение

Чтобы проехать мост, поезд должен пройти расстояние, равное суммарной длине моста и поезда. Проезжая мимо столба, поезд проезжает только расстояние, равное длине самого поезда. По условию, он делает это за полминуты. Поэтому из той минуты, за которую поезд проезжает мост, он полминуты проезжает собственную длину, и за оставшиеся полминуты проезжает длину моста, то есть $450$ метров. Значит, за минуту поезд проезжает $900$ метров. Таким образом, скорость поезда равна $900$ метров в минуту, или $900⋅60:1000= 54$ км/час, а длина поезда равна $450$ метров.

Ответ: Длина равна 450 метров, а скорость $54$ км/час

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#34005

Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?

Показать ответ и решение

Обозначим время, которое барон шел со скоростью 5 км/ч, через $t$ часов. Тогда за это время он прошел $5t$ километров, что по условию равно половине пути.

Время, которое барон шел со скоростью 6 км/ч, никак не пересекается со временем, которое он шел со скоростью 5 км/ч. А так как по условию со скоростью 6 км/ч барон шел половину времени, то со скоростью 6 км/ч барон шел не менее $t$ часов. Тогда за это время он прошел не менее $6t$ километров, и, так как эти километры не пересекаются с теми, что он прошел со скоростью 5 км/ч, всего барон прошел хотя бы $5t+ 6t= 11t$ километров. Но тогда $5t$ километров не могут составлять половину пути, они меньше. Мы пришли к противоречию, значит, слова барона не могут быть правдой.

Ответ: Ошибся

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#34008

На тараканьих бегах пять тараканов выбегают друг за другом с интервалом в $1$ минуту и бегут с постоянными скоростями. Через минуту после своего старта каждый последующий таракан догоняет предыдущего. Через сколько секунд после своего старта последний таракан догнал первого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Расстояние меняется с течением времени, а вот скорость по условию постоянна, поэтому пусть v м/мин скорость первого таракана. Что тогда можно сказать о скоростях остальных тараканов?

Подсказка 2

Тогда до того, как второй таракан догнал первого, он двигался 2 минуты, то есть пробежал 2v метров. Это же расстояние второй таракан пробежал за минуту, значит, чему равна скорость второго таракана равна? Если рассуждать так дальше, то какие скорости у третьего, четвёртого и пятого тараканов?

Подсказка 3

Ни время, ни места встречи первого и пятого тараканов у нас нет. Но есть их скорости и расстояние между ними до того, как выбежал пятый. Какую скорость в таких случаях считают?

Подсказка 4

Правильно, скорость сближения!

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого таракана равна $v$ м/мин. Тогда до того, как второй таракан его догнал, он двигался $2$ минуты, то есть пробежал $2v$ метров. Это же расстояние второй таракан пробежал за минуту, значит, скорость второго таракана равна $2v.$ Рассуждая так дальше, получаем, что скорость третьего таракана равна $4v,$ четвертого — $8v,$ пятого $16v.$ Значит, скорость сближения пятого и первого тараканов равна $16v− v =15v.$ Первый таракан до того, как выбежал пятый, бежал $4$ минуты, значит, он пробежал $4v$ метров. Поэтому чтобы догнать первого таракана, пятый таракан должен бежать $4v :15v$ минут, или $16$ секунд.

Ответ:

$16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#34013

Группа туристов должна была прибыть на вокзал в 5 часов. К этому времени с турбазы за ними должен был прийти автобус. Однако, прибыв на вокзал в 2 ч 15 минут, туристы пошли пешком на турбазу. Встретив на дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 30 минут раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, за счет чего удалось выиграть 30 минут времени?

Подсказка 2

Автобусу не пришлось делать “крюк” от места их встречи до вокзала и обратно! А во сколько тогда произошла встреча?

Подсказка 3

Остается лишь определить время группы в пути и расстояние, которое им удалось пройти.

Показать ответ и решение

Так как туристы встретили автобус раньше, то автобусу не пришлось ехать от места встречи до вокзала и обратно, и именно за счет этого он сэкономил $30$ минут. Поэтому на путь от места встречи до вокзала один раз автобус тратит $30 :2= 15$ минут. Так как скорость автобуса равна $60$ км/ч, то за эти $15$ минут автобус бы проехал $15$ километров, значит, туристы прошли как раз $15$ километров.

Осталось посчитать, за какое время они это сделали. Автобус не доехал до вокзала 15 минут, значит, вместо того, чтобы встретиться ровно в 5 часов, автобус и туристы встретились в 4 часа 45 минут. Поэтому туристы шли с 2 ч 15 минут до 4 ч 45 минут, то есть 2,5 часа. Так как за это время они прошли 15 километров, то их скорость равна $15:2,5 =6$ км/ч.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#35245

На тараканьих бегах 20 тараканов выбегают друг за другом с интервалом в одну минуту и бегут с постоянными скоростями. Второй догнал первого через 2 минуты после своего старта, третий догнал второго через 3 минуты после своего старта, и так далее, двадцатый догнал девятнадцатого через 20 минут после своего старта. Через сколько минут после своего старта двадцатый таракан догнал первого?

Показать ответ и решение

Обозначим скорость первого таракана через $v м/мин$ . Второй таракан догнал его через 2 минуты после своего старта, или через 3 минуты после старта первого таракана. За это время первый таракан пробежал $3v$ метров, и это же расстояние второй пробежал за 2 минуты. Тогда есть скорость равна $3v∕2$ . Применим те же рассуждения для второго и третьего таракана: второй таракан до встречи с третьим бежит 4 минуты, а третий то же расстояние преодолевает за 3 минуты. Получаем, что скорость третьего равна $(3v∕2)⋅4:3= 2v м/мин$ .

Если проделать те же рассуждения ещё несколько раз, получаем, что скорость четвёртого таракана равна $2,5v$ , а пятого — $3v$ . Появляется гипотеза, что следующий таракан бежит со скоростью на $v∕2$ быстрее, чем предыдущий. Давайте докажем эту гипотезу в общем виде.

Пусть мы уже доказали, что $k$ -й таракан бежит со скоростью $(k+ 1)v∕2$ . Докажем, что $k+ 1$ -й таракан бежит со скоростью $(k+ 2)v∕2$ . По условию, $k +1$ -й таракан догнал $k$ -го спустя $k+ 1$ минут после старта. При этом $k$ -й таракан бежал на минуту дольше $k+ 1$ -го, поэтому скорость $k+1$ -го в $kk-++21$ раз больше, чем у $k$ -го, то есть равна $(k-+21)v⋅ kk++-21 = (k+22)v$ , что мы и хотели доказать.

Таким образом, 20-й таракан бежит со скоростью $21v∕2$ . Его скорость сближения с первым равна $(21v∕2)− v =19v∕2$ , при этом первый бежал на 19 минут больше, чем 20-й. За это время он пробежал расстояние в $19v$ метров, поэтому 20-й таракан догонит первого через $(19v):(19v∕2)= 2$ минуты.

Ответ: Через 2 минуты