Задачи на движение: алгебраический подход

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку , т. е. путем .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( или ) добраться до точки , сделать несколько кругов («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( или ) в точку .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг , , .

Действительно, выехав из точки и сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , после чего, сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , а после заданного нечетного числа проходов — снова в точке .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа , , , что

Для возможны варианта: Первый случай отбрасываем, так как для него получаем

Во втором случае имеем . Если , то При число не делится на .

Наконец, при имеем . Для получим , откуда а пройденный путь равен Здесь — длина дуги , которую находим геометрически:

где — радиусы.