Задачи на движение: алгебраический подход

Чтобы проехать мост, поезд должен пройти расстояние, равное суммарной длине моста и поезда. Проезжая мимо столба, поезд проезжает только расстояние, равное длине самого поезда. По условию, он делает это за полминуты. Поэтому из той минуты, за которую поезд проезжает мост, он полминуты проезжает собственную длину, и за оставшиеся полминуты проезжает длину моста, то есть метров. Значит, за минуту поезд проезжает метров. Таким образом, скорость поезда равна метров в минуту, или км/час, а длина поезда равна метров.

Обозначим время, которое барон шел со скоростью 5 км/ч, через часов. Тогда за это время он прошел километров, что по условию равно половине пути.

Время, которое барон шел со скоростью 6 км/ч, никак не пересекается со временем, которое он шел со скоростью 5 км/ч. А так как по условию со скоростью 6 км/ч барон шел половину времени, то со скоростью 6 км/ч барон шел не менее часов. Тогда за это время он прошел не менее километров, и, так как эти километры не пересекаются с теми, что он прошел со скоростью 5 км/ч, всего барон прошел хотя бы километров. Но тогда километров не могут составлять половину пути, они меньше. Мы пришли к противоречию, значит, слова барона не могут быть правдой.

Пусть скорость первого таракана равна м/мин. Тогда до того, как второй таракан его догнал, он двигался минуты, то есть пробежал метров. Это же расстояние второй таракан пробежал за минуту, значит, скорость второго таракана равна Рассуждая так дальше, получаем, что скорость третьего таракана равна четвертого — пятого Значит, скорость сближения пятого и первого тараканов равна Первый таракан до того, как выбежал пятый, бежал минуты, значит, он пробежал метров. Поэтому чтобы догнать первого таракана, пятый таракан должен бежать минут, или секунд.

Так как туристы встретили автобус раньше, то автобусу не пришлось ехать от места встречи до вокзала и обратно, и именно за счет этого он сэкономил минут. Поэтому на путь от места встречи до вокзала один раз автобус тратит минут. Так как скорость автобуса равна км/ч, то за эти минут автобус бы проехал километров, значит, туристы прошли как раз километров.

Осталось посчитать, за какое время они это сделали. Автобус не доехал до вокзала 15 минут, значит, вместо того, чтобы встретиться ровно в 5 часов, автобус и туристы встретились в 4 часа 45 минут. Поэтому туристы шли с 2 ч 15 минут до 4 ч 45 минут, то есть 2,5 часа. Так как за это время они прошли 15 километров, то их скорость равна км/ч.

Обозначим скорость первого таракана через . Второй таракан догнал его через 2 минуты после своего старта, или через 3 минуты после старта первого таракана. За это время первый таракан пробежал метров, и это же расстояние второй пробежал за 2 минуты. Тогда есть скорость равна . Применим те же рассуждения для второго и третьего таракана: второй таракан до встречи с третьим бежит 4 минуты, а третий то же расстояние преодолевает за 3 минуты. Получаем, что скорость третьего равна .

Если проделать те же рассуждения ещё несколько раз, получаем, что скорость четвёртого таракана равна , а пятого — . Появляется гипотеза, что следующий таракан бежит со скоростью на быстрее, чем предыдущий. Давайте докажем эту гипотезу в общем виде.

Пусть мы уже доказали, что -й таракан бежит со скоростью . Докажем, что -й таракан бежит со скоростью . По условию, -й таракан догнал -го спустя минут после старта. При этом -й таракан бежал на минуту дольше -го, поэтому скорость -го в раз больше, чем у -го, то есть равна , что мы и хотели доказать.

Таким образом, 20-й таракан бежит со скоростью . Его скорость сближения с первым равна , при этом первый бежал на 19 минут больше, чем 20-й. За это время он пробежал расстояние в метров, поэтому 20-й таракан догонит первого через минуты.

Пусть — расстояние между местом назначения и расположением велосипедиста, а — требуемая скорость. Тогда расстояние велосипедист с одной стороны проедет за время , а с другой — за . Приравнивая и сокращая на , получаем уравнение

откуда километров в час.

Пусть Алёна ехала в поезде часов. Тогда часов Алёна разговаривала по телефону. То есть телефон потерял долю заряда, равную . Также понятно, что при оставшейся части пути телефон потерял долю заряда, равную . Тогда имеем уравнение

Скорость Коли составляет от скорости Леши. В момент, когда Саша финишировал, Леша пробежал м, а Коля м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было м.

Предположим, что первая встреча произошла через час после выезда. Так как она случилась в пункте , то пока первый за час проезжает два промежутка — между и и между и , второй проезжает три — между и , и , и и . Теперь расстояние между ними равно десяти промежуткам, так как им надо проехать до противоположных пунктов, а затем развернуться и проехать навстречу друг другу. Значит, что следующая встреча произойдёт через два часа и первый проедет четыре промежутка, остановившись в пункте .

Пусть скорость Саши в начале месяца была равна . По условию  — целое число. Также, числа , и тоже целые. Перебирая всевозможные делители числа получаем, что это может выполняться только для числа .

Пусть поезд (из города ) ехал минут, откуда его скорость равна (км/мин), тогда поезд потратил минут и его скорость . Он потратит на километров минут и до места встречи будет добираться . Поезд же потратит на дорогу , а от места встречи будет добираться до ещё минуты. Составим уравнение на равенство пройденных расстояний:

Поскольку , то нам подойдёт только . Отсюда скорости равны км/мин и км/мин.

Пусть скорость велосипедиста равна км / мин, скорость автомобиля равна км / мин, а расстояние между пунктами равно км, тогда

Отсюда то есть велосипедист потратил на дорогу минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению:

Поскольку расстояние между пешеходом и велосипедистом увеличилось, за часа они успели встретиться и разъехаться на км. Пусть расстояние между пунктами и равно , и за час пешеход и велосипедист суммарно преодолевают расстояние . Возможны два случая. Если через час после начала движения они еще ни разу не встречались, то в течение второго часа они суммарно сдвинулись на км. Откуда расстояние между и равно км. Если же в течение первого часа они встречались, то км. Тогда км.

За время , которое пешеход двигался навстречу машине до встречи у начала моста, он прошёл длины моста. Следовательно, если бы пешеход продолжал идти вперёд, то за время он прошёл бы ещё длины моста и ему осталось бы пройти длины моста, а машина за время подъехала бы к началу моста, и, чтобы догнать пешехода, ей осталось бы проехать мост целиком. Значит, отношение скорости машины к скорости пешехода равно

Пусть с 12:00 до 12:30 группа прошла расстояние . Тогда с 12:30 до 14:00 группа пройдет еще . Штурман же с до 14:00 пробежит обратно до лагеря, а потом в нужном направлении. Итого за одно и то же время штурман пробежал , а группа прошла , откуда скорость штурмана в раз больше скорости группы, а так как группа проходит расстояние за 30 минут, то штурман пробежит расстояние за минут. Тогда в лагерь он прибежит в 12:48.

Отметим деревню город точку встречи автомобиля и велосипедиста, а также точку где оказался велосипедист в момент возвращения автомобиля в город. Поскольку скорости автомобиля и велосипедиста различаются в раза, то Поскольку автомобиль потратил на перемещения и одинаковое время, то и велосипедист потратил на соответствующие перемещения и одинаковое время. Следовательно,

Поскольку велосипедист потратил на перемещение ровно 35 минут, то на всё перемещение он потратил пропорциональное время: минут.

Обозначим через км/мин скорость пловца, через км/мин скорость реки. За 10 минут против течения пловец проплывает км. Следовательно, расстояние от точки поворота до точки, в которой пловец догонит плот, равно км. Это расстояние пловец должен преодолеть за мин. Решая уравнение

получим км/мин.

Пусть — скорость велосипедиста, — скорость мотоцикла. Тогда из условия “если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты” следует, что длина трассы , а из второго условия следует, что то есть

Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста каждые Тогда

Это значит за это время мотоцикл проедет от 2 кругов до 2.5 кругов.

Когда они едут навстречу друг другу, то до момента встречи он проезжает не больше половины круга, так как скорость велосипеда меньше. Так как оба места встречи находятся на одном расстоянии от начала и в одной и той же половине круга, то эти места встречи совпадают.

Пусть по дуге от начала место встречи находится на расстоянии Тогда

Отсюда получаем, что

Обозначим .

Оттуда Так как это отношение длины дуги ко всей окружности, то угол, который опирается на эту дугу из центра равен а угол, который опирается на эту дугу из точки на окружности равен По теореме синусов

Пусть — скорость бобра в неподвижной воде, — скорость течения реки (в м/мин). Заполним таблицу, отражающую связь между величинами, описывающими движение:

Поскольку бобёр проплывает одинаковые расстояния по течению реки и против течения то,

Таким образом, собственная скорость бобра в 7 раз больше скорости течения реки.

Обозначим всё расстояние за , а скорости путника, мотоцикла и грузовика за и соответственно (расстояние измеряем в километрах, а скорость в километрах в час). По условию мотоциклист догнал путника за один час. Их скорость сближения равна , а расстояние между ними , поэтому имеет место уравнение

Через полтора часа после начала движения встретились мотоцикл и грузовик. Их скорость сближения равна , а суммарное пройденное ими расстояние равно , поэтому имеет место уравнение

Преобразуем оба уравнения и получим

Вычтем из второго уравнения первое и получим

откуда находим

Следовательно, путник и грузовик встретились через часа после начала движения. Переводя это время в часы и минуты, получаем, что путник и грузовик встретились в 15:48.