Задачи на движение: алгебраический подход

Павел дошёл до Павловки за 30 минут, потому расстояние до неё равно км, далее он проехал км за 10 минут, откуда скорость автобуса равна км/ч. Пусть Иван шёл часов и ехал — , отсюда и , то есть , откуда длина пути от Ивановки до Успенского равна км.

Пусть поезда отправились за часов до момента встречи, и пусть - скорость первого поезда, - скорость второго. Тогда первый поезд прошёл расстояние от пункта до пункта встречи со вторым поездом, а второй поезд прошёл это же расстояние (после встречи с первым поездом) за 9 часов, поэтому . Аналогично второй поезд прошёл расстояние от пункта до пункта встречи, а первый поезд затем прошёл это расстояние за часа, поэтому Перемножая эти два уравнения, получим

Итак, поезда отправились в путь за часов до , т. е. в

Так как с момента встречи их первых вагонов до момента разъезда последних вагонов прошло секунд, то, так как вагоны одинаковые, через каждые секунды разъезжались очередные вагоны. Поэтому через секунд разъехались седьмые вагоны поездов, то есть седьмой вагон одного поезда поравнялся с восьмым вагоном другого. В этот момент третий, Сашин, вагон поравнялся с Валериным вагоном, имеющим номер

Пусть — скорость кролика, — скорость лисы. Пусть через время после первого момента настал второй момент. Получаем уравнение , откуда , то есть , поэтому лиса не догонит кролика.

За последнюю секунду Экспеллиармус пролетит метров, а Авада Кедавра — метров. В сумме получается метров, и именно таким было расстояние за секунду до встречи.

Замечание. Разумеется, ответ в данной задаче не зависит от расстояния, на котором находились друг от друга два волшебника.

Докажем, что количество промежутков между столбами равно разнице их номеров. В самом деле, рассмотрим произвольный столбец. Между ним и первым столбом промежутков столько, каков номер этого столба. Поэтому если мы рассматриваем столбы с номерами и , где , то между столбами и промежутков , а между столбами и промежутков . Когда мы считаем промежутки между столбами и , мы из промежутка от столба до столба номер должны вычесть лишние промежутки от столба до , то есть промежуток. Итого получаем промежутков.

Поэтому по условию промежутка Гарри пролетает за секунд. Между и столбами промежутков, и Гарри будет лететь между ними в раз дольше, то есть секунд, или минуты и секунд.

Поезд проехал треть пути за часа. Значит, ему оставалось ехать еще часов. В этот момент Невилл лег спать. По условию, спал Невилл до тех пор, когда ему осталось проехать половину пути, который он проспал. Значит, весь оставшийся путь можно поделить на три равные части: две из них он проспал, а еще одну ехал уже проснувшимся. Длительность одной части составляет часа, а спал Невилл две такие части, значит, он спал часа.

Во-первых, переведем длину пути в метры: . Поэтому без остановок Фред прошел бы этот путь за минут, а Джордж — за минут. Разница между ними составляет минут. Значит, на столько минут дольше отдыхал Джордж, чем Фред. По условию, Джордж отдыхал в раза дольше Фреда. Поэтому эти минут составляют половину времени, которое отдыхал Джордж. Значит, всего Джордж отдыхал минут.

Из условия следует, что Гарри и Драко летели только со скоростями км/ч и км/ч. Поэтому победил тот, кто летел со скоростью км/ч дольше. Гарри, по условию, пролетел со скоростью км/ч половину пути. Драко же пролетел с такой скоростью половину времени: значит, за это время он пролетел больше половины пути, иначе бы он не успел за такое же время пролететь оставшуюся часть пути. Таким образом, со скоростью км/ч Драко пролетел больше половины пути, значит, с такой скоростью он летел дольше, чем Гарри. Поэтому в этих соревнованиях победил Драко.

Сядем на плот и посмотрим, как относительно плота двигался пароход. Когда они плывут оба вниз, скорость парохода относительно плота равна собственной скорости парохода. Когда плот плывет вниз по Волге, а пароход — ему навстречу, их скорость сближения также равна скорости парохода: плот движется по течению, пароход против, поэтому скорость течения сокращается.

Таким образом, скорость одинакова в обоих случаях. Удалялся пароход 5 суток. Значит, возвращаться с той же скоростью он должен те же 5 суток.

Сначала подумаем, за счет чего вообще длина колонны уменьшится? Сначала колонна бежит относительно тренера со скоростью 25 км/ч. Когда первый спортсмен добежит до тренера, он развернется, и будет бежать относительно тренера уже со скоростью 15 км/ч, то есть новая скорость будет составлять от старой. Значит, и путь, который относительно тренера пробежит первый спортсмен, будет за то же время составлять пути, который относительно тренера пробежит последний спортсмен. Последний относительно тренера пробежал 50 метров, то есть длину всей колонны. Значит, первый спортсмен пробежал 30 метров, и именно такой получилась новая длина колонны.

Представим эскалатор как ленту, движущуюся по кругу. Хитрец бросает шапку на противоположную точку ленты. К шапке они оба побежали по движущейся ленте, и шапка при этом тоже находилась на этой ленте. Значит, движение ленты можно не учитывать, и Хитрец с Простаком пробегают одно и то же расстояние по этой ленте с одинаковой скоростью. Значит, они тратят на это поровну времени, и хватают шапку одновременно.

Будем смотреть на мир с точки зрения сына. То есть будем считать, что сын не двигается, а все двигается вокруг него (не с такими же скоростями, как в реальности, а с относительными). Обозначим за км/ч — реальную скорость сына по кругу, а за км/ч — реальную скорость отца.

Тогда отец в первой ситуации движется со скоростью км/ч относительно сына и проезжает целый круг, длину которого обозначим за км, за часов. Так как мы считаем все относительно сына, а сам сын будто не двигается, то отец проезжает всю длину круга, пока снова не встретит сына.

Когда сын сменил направление движения и начал двигаться навстречу отцу, относительная скорость отца стала км/ч. Так же, как и в первом случае, отцу нужно проехать целый круг, чтобы еще раз встретить сына, так как мы считаем, что сын не двигается. Проезжает он этот круг за часов.

Осталось составить уравнение, зная, что во втором случае отец встречает сына в 5 раз быстрее:

Обозначим скорость первого автомобиля за км/ч, второго — км/ч, третьего — км/ч. Когда выехал третий, расстояние от него до первого равнялось км, а до второго — км. Через час езды третьего, расстояния от него до первого стало км (первый проехал еще км, а третий — км и еще не обогнал первого), а до второго — (аналогично). По условию:

Следовательно,

Получаем ответ:

Покажем ситуацию, когда фляжка никогда не попадает к третьему. Зададим скорости первого и второго гонщика относительно третьего, то есть будем считать, что третий не двигается, а все остальное двигается с относительными скоростями. Пусть первый двигается относительно третьего по часовой стрелке со скоростью км/ч, а второй — против часовой стрелки тоже со скоростью км/ч. Тогда первый и второй встречаются всегда в двух противоположных точках окружности. Зададим эти две точки так, чтобы они не совпадали с точкой, где находится третий гонщик. Тогда, если в ближайшей от третьего по часовой стрелке точке встречи первого и второго, первый забирает фляжку у второго, а в другой точке встречи второй забирает фляжку у первого, то на дуге между точками встречи, где находится третий, все гонщики проезжают без фляжки.

Обозначим за м/мин скорость течения. Заметим, что время от момента потери шапки до момента броска палки равно времени от нахождения шапки до встречи палки, так как расстояние от шапки до палки в реке одинаковое в обоих ситуациях и скорости Барона также одинаковая. Значит, Барон обнаружил потерю через 10 минут. За это время шапка проплыла метров вниз, а Барон прошел метров вверх. Скорость сближения шапки и Барона после осознания потери стала равна . Следовательно, Барон поймал шапку через минут. Теперь он находится за метров от места осознания потери (где он бросил палку и начал бежать со скоростью м/мин). Чтобы вернуться на то место ему потребуется еще минут. Следовательно, он потерял в сумме минут.